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補講：アルゴリズムと漸近的評価
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アルゴリズム
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アルゴリズムと問題 「アルゴリズム」とは「問題」を解くために、 「基本操作」（命令）を有限個組み合わせ てできる手順。 色々な問題 命令
データのソート アルゴリズム 四則演算 2進数への変換 代入演算 連立方程式を解く 比較演算 組み合わせ方 最大公約数
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アルゴリズム例１ 25の2進数は？ 25/2 =12 ・・・1 12/2 = 6 ・・・0 6/2 = 3 ・・・0
１０進数を２進数に変換する方法 25の2進数は？ ２で割り算 商 余 25/2 =12 ・・・1 12/2 = 6 ・・・0 6/2 = 3 ・・・0 3/2 = 1 ・・・1 1/2 = 0 ・・・1
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最大公約数を求める方法（ユークリッドの互除法）
アルゴリズム例２ 最大公約数を求める方法（ユークリッドの互除法） 2つの自然数m,nの最大公約数を求めるアルゴリズム [step1]：mをnで割って余りをrとする。 [step2]:r=0ならアルゴリズム終了する。このときのnが 最大公約数 [step3]:r0なら、mにnを代入し、nにrを代入してstep1にもどる。 実行例 m=12 n=8 の最大公約数 1回前の余り で割り算 余り 次回の値 12/8=1・・・4 m=8 n=4 8/4=2 ・・・0 最大公約数は４
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アルゴリズムとプログラム アルゴリズム プログラミング プログラム ＋ プログラム言語 データ構造
int gcd(int m, int n){ int r; do { r= m % n; m=n; n=r; }while(r != 0); return m; } ユークリッドの互除法 ＋ 整数型データ
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アルゴリズムの評価
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問題の大きさ 同じ問題でも、 その大きさ毎に必要な演算数（総ステップ数、計算時間）は異なる。 大きさも考えた問題 n桁の足し算
n桁の10進数をmビットの２進数へ変換 n変数の連立方程式 n個のデータに対する、ソート n桁の数とm桁の数の最大公約数 通常入力サイズは、n,m等の文字で表します。
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アルゴリズムの評価 アルゴリズムは通常「問題」を解くためのものであり、 どんな大きさでも解けないといけない。
総ステップ数を、入力サイズnの関数T(n)で評価します。 （使用メモリ量を、入力サイズnの関数S(n)で 評価することもあります。）
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1000MIPS(1秒間に10億回の演算可能）の コンピュータで考えてみましょう。 関数 n 10秒 1秒 0．01秒 約 秒 20秒
計算時間と関数 1000MIPS(1秒間に10億回の演算可能）の コンピュータで考えてみましょう。 関数 n サイズ 10秒 1秒 0．01秒 約 秒 20秒 10秒 1秒 約3京世紀 30秒 1分40秒 1分40秒 甚大 40秒 16分40秒 約2時間47分 甚大 50秒 約2時間47分 約11.5日 甚大 1分 約１日 約3.2年 甚大
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関数の分類（オーダー記法） 関数の増加傾向により、 関数を大まかに分類したい。 指数(時間） 対数（時間） 多項式（時間）
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O記法
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Ｏ記法 定義 ２つの正の値しかもたない数列を とする。 ２つの定数 , が存在し、 なる全てのｎに対し, ならば、 と書き、 はオーダー
２つの正の値しかもたない数列を とする。 ２つの定数 , が存在し、 なる全てのｎに対し, ならば、 と書き、 はオーダー と読む。 注意１：Ｏ記法では、「＝」の左辺と右辺の交換は不可。
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Ｏ記法のイメージ
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Ｏ記法の例 とすれば、 に対して、 よって、 とすれば、 に対して、 よって、 注意2：通常Ｏ記法では、最も簡単な関数で表す。
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Ｏ記法の例 とすれば、 に対して、 よって、 とする。 なので、 に対して、 よって、
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Ｏ記法の練習 次の数列の一般項（関数）をＯ記法で表せ。
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プログラムと漸近的評価 仮定１ プログラム内の加減算は、ある定数 時間以下で実行できる。 仮定２
プログラム内の加減算は、ある定数 時間以下で実行できる。 仮定２ プログラム内の乗除算は、ある定数 時間以下で実行できる。 仮定３ プログラム内の比較は、ある定数 時間以下で実行できる。 仮定４ プログラム内の代入は、ある定数 時間以下で実行できる。 . プログラムでは、このように仮定できることが多い。
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プロうグラムの漸近的評価
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仮定１－４より、 なる をとると、 プログラム内の4則演算、比較等はある定数時間以下で実行できる。 つよめて プログラム内では、 繰り返し構造、 （再帰関数を含む）関数呼び出し、 以外は定数時間で実行できると仮定できることが多い。
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プログラムにおける計算時間の漸近評価例 function1() { for(k=0;k<n;k++) ・・・・ } この部分がｎ回
実行されることに 注意する。 function1の計算時間は、 である。
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プログラムにおける計算時間の漸近評価例2 function2() { for(k=0;k<n;k++)
for(j=0;j<n;j++) ・・・・ } この部分は 回 実行されることに 注意する。 この部分は 回 実行されることに 注意する。 この部分は 回 実行されることに 注意する。 function2の計算時間は、 で ある。
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プログラムにおける計算時間の漸近評価例3 function3の計算時間 を評価してみましょう。 function3() {
for(k=0;k<n;k++) for(j=0;j<k;j++) ・・・・・・ } function3の計算時間 を評価してみましょう。
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プログラムにおける計算時間の漸近評価例4 int function4(int n) { if(n＜1)
return(0); } else function4(n-1); function4の計算時間 を評価してみましょう。 この漸化式より、 である。
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プログラムにおける計算時間の漸近評価例5 int function5(int n) { if(n＜1)
return(0); } else function5(n/2); function5の計算時間 を評価してみましょう。 この漸化式より、 である。
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プログラムにおける計算時間の漸近評価例6 function6の計算時間 を評価してみましょう。 この漸化式より、 である。
int function6(int n) { if(n＜1) return; } else function6(n-1); function6の計算時間 を評価してみましょう。 この漸化式より、 である。
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プログラムにおける計算時間の漸近評価練習1
次のプログラムの計算時間をＯ記法で求めよ。 ただし、入力サイズは仮引数ｎに入っている数とする。
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（１） exercise1(int n) { for(j=0;j<n;j++) for(k=0;k<n;k++) ・・・・・・
} for(l=0;l<n;l++) ××××
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（2） exercise2(int n) { if(n＜2) return; } else exercise2(n-1)；
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