・Bernoulli（ベルヌーイ）の定理

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1 ・Bernoulli（ベルヌーイ）の定理
第２回目講義　（2009年7月16日） 1 化学工学基礎 −後半の後半− 第２章　流　動 − 流体の輸送 ・容器（管）内における流体の動きを制御する ・そのためには、容器（管）内における流体の動きを解析する ・Bernoulli（ベルヌーイ）の定理 （エネルギー収支の解析） (

2 ・速度分布（Hargen-Poiseuilleの定理）
＜前回の復習＞ 2 （ハーゲン・ポアズイユ） ・速度分布（Hargen-Poiseuilleの定理） τW P1 力のバランス（静止している）を考える P2 ΔP = (P1 - P2) [Pa] 圧力損失 半径(r) ΔP × πr2 = 2πrL × τW ……..① (押す力と摩擦力が釣り合っている) 長さL [m] 層流を考えるとτWは剪断力でもあるので、 　　　　τW = ーμ（ｄＵ／ｄＲ） ……..② とも表現される。 ①と②から層流における速度分布の式を導く事ができる。 ・摩擦（Fanning） 摩擦応力τWとは、壁面における運動エネルギーの損失 ・f で表される（f : 摩擦係数） 2 ρＵ２ τW = 層流の場合、 f = 16/Re 乱流の場合、 Moodyチャートなどを利用

3 運動エネルギー、位置エネルギー、圧力エネルギーの
3 Bernoulli（ベルヌーイ）の定理 非粘性流体（μ = 0）の定常流では、 単位時間当たりの任意の流路断面において、 運動エネルギー、位置エネルギー、圧力エネルギーの 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　総和 W が一定である。 S2 u2 ・ z2 （μ = 0を想定してるが、 多くの実在流体に適応可能） S1 ・ u1 z1 基準面 ∫s ( u2・ρudS + gZ・ρudS + P・udS) = 一定 1 2

4 ∫s ( u2・ρudS + gZ・ρudS + P・udS) = 一定 1 2
Bernoulliの式 ∫s ( u2・ρudS + gZ・ρudS + P・udS) = 一定 1 2 u13ρ1S1 + gZ1ρ1u1S1 + P1u1S1 = u23ρ2S2 + gZ2ρ2u2S2 + P2u2S2 1 2 平均速度Uを用いると、<u3> = αU3 (層流；α = 2、乱流;α = 1.06) α α U13ρ1S1 + gZ1ρ1U1S1 + P1U1S1 = U23ρ2S2 + gZ2ρ2U2S2 + P2U2S2 ρ1 ρ2 2 2 U1S1 = U2S2 (連続式より) ρ1 = ρ2 (非圧縮性流体) 運動エネルギー 位置エネルギー αU12 + gZ1 + P1 = αU22 + gZ2 + P2 2 ρ1 ρ2 圧力エネルギー 各項目は流体単位質量当たりのエネルギー [J/kg]を表している （ m2/s2 = m2/s2 ・kg/kg = J/kg）

5 機械的エネルギー収支 5 z2 z1 ①と②での流体単位質量当たりの機械的エネルギー [J/kg]は、 ρ1 ρ2
実際の流体輸送系では、バルブ、 エルボ（管継ぎ手）などが使用されている。 基準面 ポンプ エルボ バルブ z1 z2 ① ② それらでは、管壁と同様に、 流体の粘性によるエネルギーの損失が生じる。 これらに打ち勝って流体を輸送するために、ポンプなどを用いる。 ①と②での流体単位質量当たりの機械的エネルギー [J/kg]は、 ポンプなどの加えられたエネルギー 損失エネルギーの総和 αU12 + gZ1 + P1 + W = αU22 + gZ2 + P2 + ∑F 2 ρ1 ρ2 W = （αU22ーαU12） + g（Z2 ーZ1）+ （P2 ーP1 ）+ ∑F 2 ρ （ρ1 = ρ2 ）

6 τW エネルギーの損失 ∑F = Fs + Fe + Fc + Fa 6 輸送管によるエネルギー損失（Fs）： 圧力損失 ΔP = ２L R
基準面 ポンプ エルボ バルブ Fs : 輸送管によるもの（圧力損失） Fe : 流路の拡大によるもの Fc : 流路の縮小によるもの Fa : 継ぎ手やバルブによるもの 輸送管によるエネルギー損失（Fs）： 圧力損失 τW ΔP = ２L R = 4 Lｆ Ｄ 2 ρＵ２ [Pa] = [J/m3] Fs [J/kg] = ΔP / ρ [J/m3・m3/kg] = 4 Lｆ Ｄ 2 Ｕ２ [J/kg] f : 摩擦係数（層流：f = 16/Re、乱流：Moodyチャート） 必要なパワー P[J/s] = w（質量流量[kg/s]） × W(仕事量[J/kg])　 = ΔP [J/m3] × Q[m3/s]

7 7 管継ぎ手やバルブ類によるエネルギー損失Fa [J/kg] 相当長さ（Le [m] = nD [m])を用いる場合、 　直管と同等になるため、FSを変形し Fa = 4f(Le/D)(U2/2) f : 摩擦係数[-] D : 管の直径[m] U : 平均速度[m/s] 損失係数を用いる場合 Fa = fa・U2/2

8 管路が急に拡大あるいは縮小すると流れが管路に沿って流れず、エネルギー損失FeあるいはFcをもたらす。
8 管路の急拡大・急縮小によるエネルギーの損失Fe, Fc　[J/kg] 管路が急に拡大あるいは縮小すると流れが管路に沿って流れず、エネルギー損失FeあるいはFcをもたらす。 管路拡大 Fe = fe・U12/2 管路縮小 ① S1, U1 ② S2, U2 Fc = fe・U22/2 管路拡大(Fe) Fe = ・ (U1-U2)2/2 = (U1 - S1・U1)2 = (1-S1/S2)U12/2 = feU12/2 S2 (定常流なので、U1S1 = U2S2 )