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グラフの帯域幅連続多重彩色 を求めるアルゴリズム (Bandwidth Consective Multicolorings of Graphs)
西関研究室 西川和秀
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応用 －周波数帯域割当て －タスクスケジューリング
応用 －周波数帯域割当て －タスクスケジューリング 必要な帯域幅（MHｚ） 4 5 2 基地局間で干渉を起こさないために離す帯域幅（MHｚ） 4 2 3 7 2 1 10 11 1 連続した帯域を割り当てる 1 11MHｚ 3 4 5 6 使用帯域幅 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
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帯域幅連続多重彩色( 彩色) 4 10 5 11 6 1 5 6 12 13 1 条件 3 7 6 8 12 自然数(色)集合 グラフ
帯域幅連続多重彩色( 彩色) 自然数(色)集合 4 10 5 11 6 1 5 6 グラフ 1 2 3 2 3 7 4 正整数 点重み 最大 12 13 非負整数 辺重み 1 条件 各点 に連続した 個の 正整数(色)からなる集合 を割り当てる． 3 7 6 8 12 (2) 各辺 について， の色と の色は 以上離れている． ＝13 ＝11 の 彩色数 ＝11
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帯域幅連続多重彩色問題 ( 彩色問題) 入力: － グラフ － 重み関数 出力: 最適な 彩色 最小
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彩色 の簡単な表現 4 10 5 11 6 1 条件 各点 に連続した 個の 正整数(色)からなる集合 を割り当てる． (a) (b)
彩色 の簡単な表現 4 10 5 11 6 1 1 2 3 2 3 7 4 条件 各点 に連続した 個の 正整数(色)からなる集合 を割り当てる． (2) 各辺 について， の色と の色は 以上離れている． (a) (b) (c) for
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既存研究 点彩色 : 1かつ 0なる 彩色 多重彩色 : 0なる 彩色 (ただし連続でなくてもよい) 帯域幅彩色 : 1なる 彩色
点彩色 : 1かつ 0なる 彩色 多重彩色 : 0なる 彩色 (ただし連続でなくてもよい) 帯域幅彩色 : 1なる 彩色 本文の帯域幅連続多重彩色( 彩色)は，これらの一般化
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結果 P ? 本研究 木 NPC FPTAS O(n) FPTAS 部分3木 部分k木 直並列グラフ(部分2木) 一般のグラフ 点彩色
多重彩色 帯域幅彩色 ? FPTAS 帯域幅連続多重彩色 (b彩色) O(n) [AP’89] [ZN’04] [INZ’03] [MR’03] 擬多項式時間 厳密アルゴリズム FPTAS 本研究
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直並列グラフの再帰的定義 直並列グラフ 1. 直並列グラフ（直列接続） 2. 直並列グラフ 直並列グラフ（並列接続）
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なる 彩色 の最小スパン 10 8 2 1 2 1 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 2 1 存在しない
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直並列グラフ 普通の点彩色数 最大重み 補題1. だけを計算すればよい
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厳密アルゴリズム 直並列グラフ 条件 (a) 満たす (b) 満たさない (c) for
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時間計算量 並列接続 時間 直列接続 時間 の個数 の計算 直列接続または 並列接続の回数 が多項式ならば も多項式
直並列グラフ （並列接続） 直列接続 時間 直並列グラフ （直列接続） の個数 の計算 直列接続または 並列接続の回数 が多項式ならば も多項式
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FPTAS(Fully Polynomial-Time Approximation Scheme)
近似誤差率 を任意に選択 時間計算量 が直並列グラフならば 近似解:
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FPTAS(Fully Polynomial-Time Approximation Scheme)
2 1 4 7 任意のグラフ 近似誤差率 を任意に選択 縮尺率 を適切に決める 3 6 1 の最適解 正整数 1 2 4 重み なる 新しい重み 新しい最大重み 時間計算量 が直並列グラフならば の 彩色(近似解) 6 12 2 2 1 4 7 近似解
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結論 P ? 本研究 木 NPC FPTAS O(n) FPTAS 部分3木 部分k木 直並列グラフ(部分2木) 一般のグラフ 点彩色
多重彩色 帯域幅彩色 ? FPTAS 帯域幅連続多重彩色 (b彩色) O(n) [AP’89] [ZN’04] [INZ’03] [MR’03] 擬多項式時間 厳密アルゴリズム FPTAS 本研究
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今後の課題 時間計算量 などの改善
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参考文献 国際会議 K. Nishikawa, T. Nishizeki and X. Zhou, Algorithms for bandwidth consecutive multicolorings of graphs (Extended Abstract), Proc. FAW-AIIM 2012, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 7285, pp , 2012.
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2 1 3 7 4 2 1 3 7 4 1 2 4 1 2 4
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一般のグラフ :定数 部分 -木 部分3-木 直並列グラフ (部分2-木) 木 :点数
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彩色 の簡単な表現 逆に が(a)(b)(c)を満たす が(1)(2) を満たす 条件 (a) (b) 同値 (c) for
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彩色 の簡単な表現 条件 (a) (b) (c) for
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彩色 の簡単な表現 (c) for 正 条件(2)を満たす
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1．基本的な性質 補題1. どんな重み付きグラフ に対しても， 最大重み 普通の彩色数 1 2 3 色 の部分集合 証明. 独立 は 彩色
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1．基本的な性質 二部グラフや木に対しては線形時間で最適な 彩色が求まる 補題2. を二部グラフまたは木とし， とする．この時， 証明.
二部グラフや木に対しては線形時間で最適な 彩色が求まる 補題2. を二部グラフまたは木とし， とする．この時， は自明 を証明する 証明. 彩色 の部分集合 の部分集合
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の証明 3 6 1 ：最適な 彩色， for の向き付け 2 1 は無閉路的 閉路があるならば 閉路はない
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6 条件 3 1 の証明 なる無閉路的向き付け において へ行く最長有向道の長さ (a) (b) (c) 非負 正 2 1 2 2 2 1
の証明 なる無閉路的向き付け において へ行く最長有向道の長さ 6 (a) 条件 2 2 2 1 (b) 3 1 (c) のとき 非負 正
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6 条件 3 1 の証明 なる無閉路的向き付け において へ行く最長有向道の長さ (a) (b) 非負 正 (c) 2 1 2 2 1
の証明 なる無閉路的向き付け において へ行く最長有向道の長さ 6 条件 2 (a) 2 1 (b) 3 1 非負 正 (c) のとき なので矛盾 逆向き
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1．基本的な性質 ・ ・ ・ 補題3.どんな重み付きグラフ に対しても， 最長路 最長路 の無閉路向き付け の無閉路向き付け 有向道 の長さ
補題3.どんな重み付きグラフ に対しても， の無閉路向き付け の無閉路向き付け 最長路 ＝ ＝11 有向道 の長さ 有向道 の長さ 2 1 3 7 4 2 1 3 7 4 2 1 3 7 4 2 1 3 7 4 ＝ ＝8 ・ ・ ・ 最長有向道 の長さ ＝ ＝24 有向道 の長さ 有向閉路 最長路 ＝11 最長有向道 の長さ 無閉路向き付けではない 無閉路向き付け ＝24
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1．基本的な性質 ・ ・ ・ ・ ・ ・ =11 補題3.どんな重み付きグラフ に対しても， 最長路 最長路 ＝24 ＝11 2 2 4 4
補題3.どんな重み付きグラフ に対しても， =11 最長路 2 1 3 7 4 2 1 3 7 4 ・ ・ ・ 最長路 ＝24 ・ ・ ・ ＝11
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6 3 1 6 3 1 条件 の証明 ：最適な 彩色， の向き付け for は無閉路的 の最長有向道 道 (a) (a) (b) (c)
2 1 ：最適な 彩色， for の向き付け 3 6 1 2 1 は無閉路的 の最長有向道 道 条件 (a) (b) (c) for (a) (c) (c) (c) ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ (c)
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6 3 1 の証明 なる無閉路的向き付け において へ行く最長有向道の長さ は条件(a)(b)(c)を満たすので， は 彩色
2 1 の証明 なる無閉路的向き付け において へ行く最長有向道の長さ 6 2 2 1 は条件(a)(b)(c)を満たすので， 3 1 は 彩色 は最適とは限らない □
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直並列グラフ 直並列グラフ 直並列グラフ 直並列グラフ（並列接続） 直並列グラフ（直列接続）
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FPTAS(Fully Polynomial-Time Approximation Scheme)
任意のグラフ 2 1 4 7 近似誤差率 を任意に選択 3 6 1 の最適解 1 2 4 重み なる 縮尺率を適切に決める 6 12 2 の 彩色(近似解) 2 1 4 7 厳密アルゴリズムは と の多項式時間
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条件 条件 (a) (b) for (c) (a) (b) (c) for 条件(a)(b)(c)より， は 彩色 は の 彩色 両辺に 2
は の 彩色 条件 (a) (b) for (c) 両辺に 2 1 4 7 両辺に 3 6 1 の最適解 1 2 4 重み なる 両辺に 条件 (a) 6 12 2 (b) の 彩色(近似解) 2 1 4 7 (c) for 条件(a)(b)(c)より， は 彩色
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厳密アルゴリズム（直列接続） 直並列グラフ （直列接続） 時間
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厳密アルゴリズム（並列接続） 直並列グラフ （並列接続） 時間
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補題5. 任意のグラフ の任意の無閉路向き付け の最長路 任意の正整数 の重みが のグラフ と同じ向き付け の最長路 2 1 3 7 4 2
7 4 2 1 3 7 4 任意のグラフ の任意の無閉路向き付け の最長路 任意の正整数 の重みが のグラフ と同じ向き付け の最長路 1 2 4 1 2 4
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の証明 2 1 3 7 4 両辺に は最長 1 2 4 両辺を で割ると □
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補題4. 任意のグラフ 近似解 最適解 証明． が最小になる の無閉路向き付け の最長路 誤差 高々 補題３より 両辺に
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上の式 誤差 高々 の最長路 誤差 高々 証明は省略するが 誤差 高々 補題3より 両辺に 最長路が最小になる の向き付け 両辺に 両辺に
高々 の最長路 誤差 高々 証明は省略するが 両辺に 誤差 高々 補題3より 両辺に 両辺に 最長路が最小になる の向き付け □
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補題4. 誤差 証明． 高々 が最小になる の無閉路向き付け の最長路 誤差 高々 誤差 高々 最長路長が最小になる の無閉路向き付け
任意のグラフ 誤差 高々 近似解 最適解 証明． 誤差 高々 が最小になる の無閉路向き付け の最長路 誤差 高々 最長路長が最小になる の無閉路向き付け □
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近似解
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定理． グラフのクラス に対し， 彩色問題を， と に関する多項式時間 で解く厳密アルゴリズムがあるならば，クラス に対してFPTASが存在する． 直並列グラフに対し， 彩色問題を と に関する多項式時間 で解く厳密アルゴリズムがあるので， 系1． 直並列グラフの 彩色問題に対してFPTASが存在する． その時間計算量は 定理より，
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グラフの帯域幅連続多重彩色( 彩色) 彩色の基本的な性質 直並列グラフに対する擬多項式時間厳密アルゴリズム
グラフの帯域幅連続多重彩色( 彩色) 彩色の基本的な性質 直並列グラフに対する擬多項式時間厳密アルゴリズム 直並列グラフに対する近似アルゴリズム，FPTAS 部分 -木への拡張 結論 : 点数 : 任意の誤差率
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-木の再帰的定義 -木 1. 点からなる完全グラフは 木である． -木
点からなる完全グラフは 木である． -木 -木 が 木であり，その 点が完全グラフを誘導するとき，新しい１点を追加し， それら 点と辺で結んで得られるグラフも 木である． 2.
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3-木 3-木 3-木 1. 点からなる完全グラフは 木である． が 木であり，その 点が完全グラフを誘導するとき，新しい１点を追加し，
点からなる完全グラフは 木である． 3-木 が 木であり，その 点が完全グラフを誘導するとき，新しい１点を追加し， それら 点と辺で結んで得られるグラフも 木である． 2. 3-木
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部分 -木 部分 -木: -木の部分グラフ 3-木 部分3-木
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分解木 分解木 部分3-木
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分解木 分解木 ・ ・ ・ ・ ・ ・
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部分 -木 端子が +1個 ・ ・ ・ 補題1. なる 彩色 の最小スパン だけを計算すればよい
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時間計算量 接続 時間 擬多項式時間 厳密アルゴリズム の計算 の個数 接続の回数
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定理． グラフのクラス に対し， 彩色問題を， と に関する多項式時間 で解く厳密アルゴリズムがあるならば，クラス に対してFPTASが存在する． 部分 -木に対し， 彩色問題を と に関する多項式時間 で解く厳密アルゴリズムがあるので， 定理より， 系2． 部分 -木の 彩色問題に対してFPTASが存在する． その時間計算量は
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アルゴリズム ・ ・ ・ ・ ・ ・
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3-木 3-木 3-木 1. 点からなる完全グラフは 木である． が 木であり，その 点が完全グラフを誘導するとき，新しい１点を追加し，
点からなる完全グラフは 木である． 3-木 が 木であり，その 点が完全グラフを誘導するとき，新しい１点を追加し， それら 点と辺で結んで得られるグラフも 木である． 2. 3-木
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