ディジタル信号処理 Digital Signal Processing

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1 ディジタル信号処理 Digital Signal Processing
第19講 Z変換(2)

2 2.3.2 逆z変換法 z変換   x(nT)・・→Z[x(nT)]→X(z) 逆z変換  X(z)・・→Z-1[X(z)]→x(nT) 

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4 P1(z) P2(z) P3(z) Pm(z) (1)部分分数展開法 X(z)= + + +・・・・+
      Q1(z)  Q2(z)  Q3(z)    Qm(z) のとき,逆変換は m Pi(z) m Z-1[X(z)]= Σ Z-1[  ] = Σ xi(nT) i= Qi(z) i=1

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10 例題2.13 逆z変換を求めよ 部分分数に展開して 逆変換は

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12 例題2.14 部分分数展開により逆z変換を求めよ 分子を分母で割った後,部分分数展開すると 従って逆z変換は

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14 例 X(z)=(1-e-αT)/{(z-1)(z-e-αT)} を逆変換せよ
表より  x(nT)=U0(nT) -e-αT

15 (2)連続除法(冪級数展開法)

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17      a0+a1z-1+a2z-2+・・・・+aMz-M
Z(z)= b0+b1z-1+b2z-2+・・・・+bNz-N を展開して Z(z)=c0+c1z-1+c2z-2+・・・・+cM-Nz-(M-N) を得ると,次式が得られる。

18 例 X(z)=(1-e-αT)/{(z-1)(z-e-αT)} を逆変換せよ
冪級数展開すると X(z)=(1-e-αT)z-1+ (1-e-2αT)z-2+ (1-e-3αT)z-3+・・・・+ (1-e-nαT)z-1+・・・・ ∴ x(nT)= 1-e-nαT 4枚前の例と比べると, U0(nT) が1に変わっているが 同じ結果である。

19 留数定理による逆z変換 教科書外

20 極 解析関数の孤立特異点の一種で、その点の周りでの関数のローラン展開の主要部(負べきの項)が有限項となるような点を極という。
特異点(singularity)は、ある基準 (regulation) の下、その基準が適用できない (singular な) 点である。したがって、特異点は基準があって初めて認識され、「 - に於ける特異点」「 - に関する特異点」という呼ばれ方をする。特異点という言葉は、数学と物理学の両方で用いられる。 複素解析における正則関数の正則性 (regularity) に関する特異点とは、複素関数で微分不可能な点をさす。具体的には、可除特異点 (removable singularity)、極 (pole)、真性特異点 (essential singularity) の3種の孤立点がある。有理関数 1/x に於ける特異点は、x = 0 であり、これは 1 位の極である。

21 関数の特異点 数学において、特異点とは一般に、与えられた数学的な対象が定義されない点、または微分可能性のように、ある性質が保たれなくなるような例外的な集合に属する点をいう。 例えば、関数 f(x)=1/x は x = 0 で ±∞ に発散し、定義されないので、このとき x = 0 は特異点であるという。 絶対値関数 g(x) = | x | は x = 0 で微分できないので、このとき x = 0 は特異点であるという。 また、y2 = x で定義されるグラフは、点 (0,0) で垂直な接線を持つので特異点であるという。 (x,y) 座標系の y2 = x2 で定義される代数集合は、点 (0,0) で接線を持たないので特異点であるという。

22 留数について 解析学において、解析関数 f(z) の孤立特異点 z = a における微分形式 f(z)dz の留数(りゅうすう、residue)Res[f, a], Resz=af(z) とは、以下の積分値である:ただし、i は虚数単位、積分路 γ は点 z = a を中心とする十分小さな円(実際には、積分路は、それが複素数平面から切り取る有界領域が z = a 以外に f(z) の特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い)。

23 留数の計算方法 孤立特異点 z = a が f(z) の n 位の極であるなら、(z − a)nf(z) は正則で、とくに
とテイラー展開されるので、 つぎのように計算される。

24 留数定理 単純閉曲線 γ と、γ が囲む有界領域 D を考える。D 上で定義される関数 f(z) が D 内に孤立特異点 a1, a2, ・・・・, an をもち、それ以外で正則であるならば、 が成り立つ。ただし、積分は γ を D の内点からの偏角が正の向き(領域を左に望む方向)に進む。これを留数定理(residue theorem)と呼ぶ。

25 P(z) (3)留数定理 X(z)= ,Q(z)=Π(z-zi)ki とすると Q(z) 1 x(nT)= ∮ΓX(z)zn-1dz 2πj
コーシーの留数定理から 1 x(nT)= ∮ΓX(z)zn-1dz 2πj ={X(z)zn-1の極ziにおける留数Riの和} (5.11) ただし,ΓはX(z)のすべての極を含む反時計回りの周回積分路

26 ziがm位の極(ki=m)であるときその留数Riは

27 例 X(z)=(1-e-αT)/{(z-1)(z-e-αT)} を逆変換せよ
留数は (1)  z=1 のとき (2)  z=e-αT のとき よって

28 留数定理による逆z変換終わり

29 2.3.3 z変換のシステム解析への応用

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37 参考資料 零状態応答と零入力応答

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41 また,別の資料では

42 引用終わり 零状態応答:入力(が入ってきたり,変化したとき)に対する応答。初期状態には左右されない。
零入力応答(自由応答):初期状態に対する応答。入力信号の有無には左右されない。

43 システムの応答を求める 下図はフィルタの一般的な構造である

44 前図のシステムを差分方程式で表現すると となるが,この差分方程式の解がz変換を用いて 容易に求められることを示す 例えば,差分方程式が次式の場合 教科書    p.33 z変換すると が得られ,

45 これをY(z)について解くと,次式が得られる
(2.94)  これを逆z変換すれば,システムの応答が求められる  上式の第1項は零状態応答,第2項は零入力応答とよ ばれる  これらの和として表される応答を完全応答という  前例                 の場合,システムが 零状態にあり,かつx(nT)=δ(nT)であるとき,X(z)=1, y(-T)=0とすると, 逆z変換すると となる

46 この式は,システムのインパルス応答になっている。
z変換を用いると,解(インパルス応答)が求まることになる。

47 ステップ応答の場合 上の差分方程式で,x(nT)=u(nT)とすると,z変換の結果は となる。部分分数展開し,整理すると
となる。逆z変換すると,次式が得られる

48 ステップ応答の第1項は,大きさ1/(1-n)のステップ信号であり,どの時刻でも値は変わらない定常項である。・・・定常応答
第2項は{b/(1-n)}×bnとなり,時刻を表す数nによって変化する。|b|<1なら0に収束する過渡項である。・・・過渡応答 収束する前を過渡状態,収束後を定常状態という。 ちなみに,インパルス応答は過渡項がけである。だから,過渡応答特性はインパルス応答を調べればよい。

49 上式で,T=0,b=0.5,y(-T)=0とすと,
   y(nT)=2u(nT)+4×0.5n  となる。図示すると,

50 例を変えて,FIR系を考える y(nT)=a0x(nT)+a1x(nT-T)+a2x(nT-2T)
となるので,逆z変換すると が得られる。第1項は定常項,第2~3項は過渡項である。

51 例題2.15 差分方程式→z変換 z変換→インパルス応答
例題2.15 差分方程式→z変換       z変換→インパルス応答 z変換すると X(z)=1を代入して,逆z変換すると

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