Download presentation
Presentation is loading. Please wait.
1
ディジタル信号処理 Digital Signal Processing
第19講 Z変換(2)
2
2.3.2 逆z変換法 z変換 x(nT)・・→Z[x(nT)]→X(z) 逆z変換 X(z)・・→Z-1[X(z)]→x(nT)
4
P1(z) P2(z) P3(z) Pm(z) (1)部分分数展開法 X(z)= + + +・・・・+
Q1(z) Q2(z) Q3(z) Qm(z) のとき,逆変換は m Pi(z) m Z-1[X(z)]= Σ Z-1[ ] = Σ xi(nT) i= Qi(z) i=1
10
例題2.13 逆z変換を求めよ 部分分数に展開して 逆変換は
12
例題2.14 部分分数展開により逆z変換を求めよ 分子を分母で割った後,部分分数展開すると 従って逆z変換は
14
例 X(z)=(1-e-αT)/{(z-1)(z-e-αT)} を逆変換せよ
表より x(nT)=U0(nT) -e-αT
15
(2)連続除法(冪級数展開法)
17
a0+a1z-1+a2z-2+・・・・+aMz-M
Z(z)= b0+b1z-1+b2z-2+・・・・+bNz-N を展開して Z(z)=c0+c1z-1+c2z-2+・・・・+cM-Nz-(M-N) を得ると,次式が得られる。
18
例 X(z)=(1-e-αT)/{(z-1)(z-e-αT)} を逆変換せよ
冪級数展開すると X(z)=(1-e-αT)z-1+ (1-e-2αT)z-2+ (1-e-3αT)z-3+・・・・+ (1-e-nαT)z-1+・・・・ ∴ x(nT)= 1-e-nαT 4枚前の例と比べると, U0(nT) が1に変わっているが 同じ結果である。
19
留数定理による逆z変換 教科書外
20
極 解析関数の孤立特異点の一種で、その点の周りでの関数のローラン展開の主要部(負べきの項)が有限項となるような点を極という。
特異点(singularity)は、ある基準 (regulation) の下、その基準が適用できない (singular な) 点である。したがって、特異点は基準があって初めて認識され、「 - に於ける特異点」「 - に関する特異点」という呼ばれ方をする。特異点という言葉は、数学と物理学の両方で用いられる。 複素解析における正則関数の正則性 (regularity) に関する特異点とは、複素関数で微分不可能な点をさす。具体的には、可除特異点 (removable singularity)、極 (pole)、真性特異点 (essential singularity) の3種の孤立点がある。有理関数 1/x に於ける特異点は、x = 0 であり、これは 1 位の極である。
21
関数の特異点 数学において、特異点とは一般に、与えられた数学的な対象が定義されない点、または微分可能性のように、ある性質が保たれなくなるような例外的な集合に属する点をいう。 例えば、関数 f(x)=1/x は x = 0 で ±∞ に発散し、定義されないので、このとき x = 0 は特異点であるという。 絶対値関数 g(x) = | x | は x = 0 で微分できないので、このとき x = 0 は特異点であるという。 また、y2 = x で定義されるグラフは、点 (0,0) で垂直な接線を持つので特異点であるという。 (x,y) 座標系の y2 = x2 で定義される代数集合は、点 (0,0) で接線を持たないので特異点であるという。
22
留数について 解析学において、解析関数 f(z) の孤立特異点 z = a における微分形式 f(z)dz の留数(りゅうすう、residue)Res[f, a], Resz=af(z) とは、以下の積分値である:ただし、i は虚数単位、積分路 γ は点 z = a を中心とする十分小さな円(実際には、積分路は、それが複素数平面から切り取る有界領域が z = a 以外に f(z) の特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い)。
23
留数の計算方法 孤立特異点 z = a が f(z) の n 位の極であるなら、(z − a)nf(z) は正則で、とくに
とテイラー展開されるので、 つぎのように計算される。
24
留数定理 単純閉曲線 γ と、γ が囲む有界領域 D を考える。D 上で定義される関数 f(z) が D 内に孤立特異点 a1, a2, ・・・・, an をもち、それ以外で正則であるならば、 が成り立つ。ただし、積分は γ を D の内点からの偏角が正の向き(領域を左に望む方向)に進む。これを留数定理(residue theorem)と呼ぶ。
25
P(z) (3)留数定理 X(z)= ,Q(z)=Π(z-zi)ki とすると Q(z) 1 x(nT)= ∮ΓX(z)zn-1dz 2πj
コーシーの留数定理から 1 x(nT)= ∮ΓX(z)zn-1dz 2πj ={X(z)zn-1の極ziにおける留数Riの和} (5.11) ただし,ΓはX(z)のすべての極を含む反時計回りの周回積分路
26
ziがm位の極(ki=m)であるときその留数Riは
27
例 X(z)=(1-e-αT)/{(z-1)(z-e-αT)} を逆変換せよ
留数は (1) z=1 のとき (2) z=e-αT のとき よって
28
留数定理による逆z変換終わり
29
2.3.3 z変換のシステム解析への応用
37
参考資料 零状態応答と零入力応答
41
また,別の資料では
42
引用終わり 零状態応答:入力(が入ってきたり,変化したとき)に対する応答。初期状態には左右されない。
零入力応答(自由応答):初期状態に対する応答。入力信号の有無には左右されない。
43
システムの応答を求める 下図はフィルタの一般的な構造である
44
前図のシステムを差分方程式で表現すると となるが,この差分方程式の解がz変換を用いて 容易に求められることを示す 例えば,差分方程式が次式の場合 教科書 p.33 z変換すると が得られ,
45
これをY(z)について解くと,次式が得られる
(2.94) これを逆z変換すれば,システムの応答が求められる 上式の第1項は零状態応答,第2項は零入力応答とよ ばれる これらの和として表される応答を完全応答という 前例 の場合,システムが 零状態にあり,かつx(nT)=δ(nT)であるとき,X(z)=1, y(-T)=0とすると, 逆z変換すると となる
46
この式は,システムのインパルス応答になっている。
z変換を用いると,解(インパルス応答)が求まることになる。
47
ステップ応答の場合 上の差分方程式で,x(nT)=u(nT)とすると,z変換の結果は となる。部分分数展開し,整理すると
となる。逆z変換すると,次式が得られる
48
ステップ応答の第1項は,大きさ1/(1-n)のステップ信号であり,どの時刻でも値は変わらない定常項である。・・・定常応答
第2項は{b/(1-n)}×bnとなり,時刻を表す数nによって変化する。|b|<1なら0に収束する過渡項である。・・・過渡応答 収束する前を過渡状態,収束後を定常状態という。 ちなみに,インパルス応答は過渡項がけである。だから,過渡応答特性はインパルス応答を調べればよい。
49
上式で,T=0,b=0.5,y(-T)=0とすと,
y(nT)=2u(nT)+4×0.5n となる。図示すると,
50
例を変えて,FIR系を考える y(nT)=a0x(nT)+a1x(nT-T)+a2x(nT-2T)
となるので,逆z変換すると が得られる。第1項は定常項,第2~3項は過渡項である。
51
例題2.15 差分方程式→z変換 z変換→インパルス応答
例題2.15 差分方程式→z変換 z変換→インパルス応答 z変換すると X(z)=1を代入して,逆z変換すると
Similar presentations
© 2025 slidesplayer.net Inc.
All rights reserved.