電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁.

Presentation on theme: "電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁."— Presentation transcript:

1 電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁

2 ひずみ波交流 電気回路では、様々な要因(素子の非線形性など)によって信号波形が歪むことがある
その歪み方は、基本周波数の波(基本波)にその整数倍の周波数の波(高調波)が重畳されたものとなることが多い そのような波形をひずみ波交流と呼ぶ (基本波) ひずみ波交流の瞬時値 𝑓 𝑡 = 𝑛=0 ∞ 𝐴 𝑛 sin 𝑛𝜔𝑡+ ∅ 𝑛 𝑛=0: 直流成分 𝑛=1: 基本波 𝑛≥2: 第 n 高調波(n 次高調波) 𝐴 𝑛 : n 次高調波の振幅 ∅ 𝑛 : n 次高調波の位相 周期 Tの波に周期 T/3 の波(第3高調波)が重畳された波形 𝐴 3 =1/3, ∅ 3 =𝜋

3 ひずみ波交流 波形そのものを問題視する通信系や制御系では、高調波の位相関係も重要となる
波形そのものを問題視する通信系や制御系では、高調波の位相関係も重要となる 一方で、電力系や音声伝送系では位相関係はあまり重要ではなく、高調波の振幅比のみに着目することが多い 高調波の振幅比のみを見れば、前のスライドの波形も左の波形も同じ 周期 Tの波に周期 T/3 の波(第3高調波)が重畳された波形 基本波と n 次高調波の振幅 𝐴 3 =1/3, ∅ 3 =0

4 エネルギー ある波の瞬時値を f(t) とすると、その絶対値の2乗積分は、その波のエネルギー 波のエネルギー= −∞ ∞ 𝑓 𝑡 2 𝑑𝑡
波のエネルギー= −∞ ∞ 𝑓 𝑡 2 𝑑𝑡 f(t) が電圧或いは電流であれば、単位抵抗(1Ωの抵抗)で消費されるエネルギー 従って、f(t) がある時間範囲だけ存在する波(孤立波)でなければ、周期的波動など、そのエネルギーは無限大となってしまう しかし、時間平均をとれば有限であり、 (平均)電力= 𝑓 𝑡 2 = lim 𝑎→∞ 1 2𝑎 −𝑎 𝑎 𝑓 𝑡 2 𝑑𝑡 周期 T の周期波(ひずみ波交流)の電力は、 T t 電力= 1 𝑇 𝑡 𝑡+𝑇 𝑓 𝑡 2 𝑑𝑡 であり、 t はどの時刻であっても値は同じ 正でかつ有限な平均電力を有する波形を、電力信号と呼ぶ

5 エネルギー ひずみ波交流の電圧 e(t) および電流 i(t) を、n = 1, 2, 3, …として
𝑒 𝑡 = 𝐸 0 + 𝑛=1 ∞ 2 𝐸 𝑛𝑒 sin 𝑛𝜔𝑡+ ∅ 𝑛 𝑖 𝑡 = 𝐼 0 + 𝑛=1 ∞ 2 𝐼 𝑛𝑒 sin 𝑛𝜔𝑡+ ∅ 𝑛 − 𝜃 𝑛 と表すことにすれば、Ene および Ine はそれぞれ第 n 高調波の電圧および電流の実効値 1周期 T についての平均電力 𝑃= 𝑒𝑖 を求めれば、 𝑃= 1 𝑇 0 𝑇 𝑒 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐸 0 𝐼 0 + 𝑛=1 ∞ 𝐸 𝑛𝑒 𝐼 𝑛𝑒 cos 𝜃 𝑛 ひずみ波交流の電力は、各調波電力の和に等しい

6 実効値と力率 実効値とは、平均電力が等しくなる直流に相当する電圧或いは電流値のこと
従って、ひずみ波交流の電圧および電流の実効値は、直流成分は 0 として(0で無い場合はそれを除いて)以下の様に表せる 𝐸 𝑒 = 1 𝑇 0 𝑇 𝑒 2 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐸 1𝑒 𝐸 2𝑒 2 +⋯ 電圧の実効値 𝐼 𝑒 = 1 𝑇 0 𝑇 𝑖 2 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐼 1𝑒 𝐼 2𝑒 2 +⋯ 電流の実効値 また、ひずみ波交流の有効電力、皮相電力は、 皮相電力=𝐸 𝑒 𝐼 𝑒 = 𝑛=1 ∞ 𝐸 𝑛𝑒 𝑛=1 ∞ 𝐼 𝑛𝑒 2 有効電力= 𝑛=1 ∞ 𝐸 𝑛𝑒 𝐼 𝑛𝑒 cos 𝜃 𝑛 となり、力率は 力率= 有効電力 皮相電力 = 𝑛=1 ∞ 𝐸 𝑛𝑒 𝐼 𝑛𝑒 cos 𝜃 𝑛 𝐸 𝑒 𝐼 𝑒

7 ひずみ率 本来は基本波成分のみの正弦波交流に対して、何らかの要因で高調波成分が含まれるようになってしまった信号波形に対して、以下の量が用いられる ひずみ率(Klirrfactor):𝑘= 基本波を除いたものの実効値 基本波の実効値 = 𝐸 2𝑒 𝐸 3𝑒 2 +⋯ 𝐸 1𝑒 波形率(form factor)=(実効値)/(絶対値の平均) 波高率(peak factor)=(最大値)/(実効値) リップル率(ripple factor) 𝑟= 𝐸 1𝑒 𝐸 2𝑒 2 +⋯ 𝐸 0 E0 は直流成分 E0 ブリッジ構成による全波整流回路 全波整流波形

8 周期波 周期波(periodic wave)とは、ある一定の時間間隔 T をもって同じ振動を繰り返す波形
𝑓 𝑡 =𝑓 𝑡+𝑇 が全ての t に対して成り立ち、T のうち最も小さい値をその波形の周期(period)と呼ぶ。 𝑓 𝑡 =𝑓 𝑡+𝑛𝑇 , 𝑛=0, ±1, ±2⋯ (a) 整流波形 (b) 鋸歯状波形 (c) パルス列 様々な周期波の例

9 周期波のフーリエ級数展開 我々が通常扱う周期波 f(t) は、以下の様にフーリエ級数に展開可能
ただし f(t) は実関数で、任意の時刻 t に関して、𝑡− 𝑇 2 から 𝑡+ 𝑇 2 までを1周期と考えて、 𝜔 0 = 2𝜋 𝑇 を基本周期 T に対する基本角周波数とする。また、正の整数 n により、𝑛 𝜔 0 ≡ 𝜔 𝑛 と書けば、 𝑓 𝑡 = 𝑏 0 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 cos 𝜔 𝑛 𝑡+ 𝑎 𝑛 sin 𝜔 𝑛 𝑡 フーリエ(三角)級数 𝑏 0 = 1 𝑇 −𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑛 = 2 𝑇 −𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑡 cos 𝜔 𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑛=1, 2,⋯ 𝑎 𝑛 = 2 𝑇 −𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑡 sin 𝜔 𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑛=1, 2,⋯ ここで、b0, bn, an をフーリエ係数と呼ぶ

10 例題3.2.1 −𝜋 より +𝜋 までを基本周期とする関数 f(x) を、
𝑓 𝑥 = 𝑏 0 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 cos 𝑛𝑥 + 𝑎 𝑛 sin 𝑛𝑥 　　　　　　　　　　　　　　式 1 上式の両辺を−𝜋 から +𝜋 まで積分すると、 −𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 0 −𝜋 𝜋 𝑑𝑥 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 −𝜋 𝜋 cos 𝑛𝑥𝑑𝑥 + 𝑎 𝑛 −𝜋 𝜋 sin 𝑛𝑥𝑑𝑥 =2𝜋 𝑏 0 ∴ 𝑏 0 = 1 2𝜋 −𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 次に、式(1)の両辺に cos 𝑚𝑥 (m は整数)を掛けて−𝜋 から +𝜋 まで積分すると、 −𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 cos 𝑚𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 0 −𝜋 𝜋 cos 𝑚𝑥 𝑑𝑥 + −𝜋 𝜋 cos 𝑚𝑥 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 cos 𝑛𝑥𝑑𝑥 + −𝜋 𝜋 cos 𝑚𝑥 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 sin 𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 −𝜋 𝜋 cos 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 −𝜋 𝜋 cos 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥

11 例題3.2.1 ここで、以下の三角関数の公式を用いると、
cos 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 = cos 𝑚+𝑛 𝑥 + cos 𝑚−𝑛 𝑥 , cos 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 = sin 𝑚+𝑛 𝑥 − sin 𝑚−𝑛 𝑥 −𝜋 𝜋 cos 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 −𝜋 𝜋 cos 𝑚+𝑛 𝑥 + cos 𝑚−𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑚−𝑛 𝑥 𝑚−𝑛 + sin 𝑚+𝑛 𝑥 𝑚+𝑛 −𝜋 𝜋 = 0 𝑚≠𝑛 のとき 𝜋 𝑚=𝑛 のとき −𝜋 𝜋 cos 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 −𝜋 𝜋 sin 𝑚+𝑛 𝑥 − sin 𝑚−𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =− cos 𝑚+𝑛 𝑥 𝑚+𝑛 − cos 𝑚−𝑛 𝑥 𝑚−𝑛 −𝜋 𝜋 =0

12 例題3.2.1 −𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 cos 𝑚𝑥 𝑑𝑥 =𝜋 𝑏 𝑛 𝑏 𝑛 = 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 cos 𝑛𝑥𝑑𝑥 従って、
同様に、式(1)の両辺に sin 𝑚𝑥 (m は整数)を掛けて−𝜋 から +𝜋 まで積分すると、 −𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 sin 𝑚𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 0 −𝜋 𝜋 sin 𝑚𝑥 𝑑𝑥 + −𝜋 𝜋 sin 𝑚𝑥 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 cos 𝑛𝑥𝑑𝑥 + −𝜋 𝜋 sin 𝑚𝑥 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 sin 𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 −𝜋 𝜋 sin 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 −𝜋 𝜋 sin 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥 =𝑎 𝑚 −𝜋 𝜋 sin 2 𝑚𝑥 =𝜋 𝑎 𝑚 𝑎 𝑛 = 1 𝜋 −𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 sin 𝑛𝑥𝑑𝑥 従って、 ここで変数変換、𝑛𝑥= 𝜔 𝑛 𝑡 を行うと、𝑥=±𝜋 に対して 𝑡=± 𝑛𝑥 𝜔 𝑛 =± 𝑛𝜋 𝜔 𝑛 で、これが半周期 ± 𝑇 2 に等しく、かつ 𝑑𝑥= 𝜔 𝑛 𝑑𝑡 𝑛 であるから、基本周期 T の周期波 f(t) のフーリエ級数およびフーリエ係数の式が導き出せる。

13 高調波成分の大きさ ところで、b0 は f(t) の時間平均であるから、直流成分の大きさを表す。
従って、 f(x) に直流成分が無い時には b0 はゼロとなり、また、 𝑏 𝑛 cos 𝜔 𝑛 𝑡 + 𝑎 𝑛 sin 𝜔 𝑛 𝑡 = 𝑎 𝑛 2 + 𝑏 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 2 + 𝑏 𝑛 2 cos 𝜔 𝑛 𝑡 + 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 2 + 𝑏 𝑛 2 sin 𝜔 𝑛 𝑡 = 𝑎 𝑛 2 + 𝑏 𝑛 2 cos 𝜔 𝑛 𝑡−𝜃 𝜃= tan −1 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 となるところから、第 n 高調波の大きさは、 𝑎 𝑛 2 + 𝑏 𝑛 2 によって与えられる。 さらに、f(x) が奇関数の時、フーリエ係数の内の b0 および bn はゼロとなり、 𝑓 𝑡 = 𝑛=1 ∞ 𝑎 𝑛 sin 𝜔 𝑛 𝑡 のように、フーリエ・サイン(正弦)級数で表される。 一方、f(x) が偶関数の時はフーリエ係数の内の an はゼロとなり、 𝑓 𝑡 = 𝑏 0 + 𝑛=1 ∞ 𝑏 𝑛 cos 𝜔 𝑛 𝑡 のように、フーリエ・コサイン(余弦)級数で表される。

14 方形波のフーリエ(三角)級数 t 1 -1 -T/2 T/2
1 -1 -T/2 T/2 𝑓 𝑡 =− −𝑇 2< 𝑓 𝑡 = (0<𝑡< 𝑇 2 ) 奇関数なので、フーリエ係数の内の b0 および bn はゼロである。 𝑎 𝑛 = 2 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑥 sin 𝜔 𝑛 𝑑𝑡 = 2 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑥 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡𝑑𝑡 =− 2 𝑇 − 𝑇 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 𝑑𝑡 + 2 𝑇 0 𝑇 2 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 𝑑𝑡 = 4 𝑇 0 𝑇 2 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 𝑑𝑡 =− 2 𝑛𝜋 cos 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 0 𝑇 2 = −2 𝑛𝜋 cos𝑛𝜋 𝑡 + 2 𝑛𝜋 = 2 𝑛𝜋 1− −1 𝑛 従って、方形波のフーリエ(三角)級数は、 𝑓 𝑡 = 𝑛=1 ∞ 2 1− −1 𝑛 𝑛𝜋 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 = 4 𝜋 sin 2𝜋 𝑇 𝑡 + 4 3𝜋 sin 6𝜋 𝑇 𝑡+ 4 5𝜋 sin 10𝜋 𝑇 𝑡+ ⋯

15 鋸波(直線波)のフーリエ(三角)級数 t 1 -1 -T/2 T/2 𝑓 𝑡 = 2 𝑇 𝑡 −𝑇 2<𝑡< 𝑇 2
1 -1 -T/2 T/2 𝑓 𝑡 = 2 𝑇 𝑡 −𝑇 2<𝑡< 𝑇 2 奇関数なので、フーリエ係数の内の b0 および bn はゼロである。 𝑎 𝑛 = 2 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑥 sin 𝜔 𝑛 𝑑𝑡 = 2 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑥 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡𝑑𝑡 = 2 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 𝑇 𝑡 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 𝑑𝑡 = 4 𝑇 0 𝑇 𝑇 𝑡 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 𝑑𝑡 = 8 𝑇 2 𝑡 −𝑇 2𝑛𝜋 cos 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 0 𝑇 2 − 8 𝑇 𝑇 2 𝑇 2𝑛𝜋 cos 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 𝑑𝑡 = −2 𝑛𝜋 cos 𝑛𝜋 − 8 𝑇 𝑇 2 4 𝑛 2 𝜋 2 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 0 𝑇 2 = −2 (−1) 𝑛 𝑛𝜋 従って、方形波のフーリエ(三角)級数は、 𝑓 𝑡 = 𝑛=1 ∞ 2 (−1) 𝑛+1 𝑛𝜋 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 = 2 𝜋 sin 2𝜋 𝑇 𝑡 − 1 𝜋 sin 4𝜋 𝑇 𝑡+ 2 3𝜋 sin 6𝜋 𝑇 𝑡+ ⋯

16 三角波のフーリエ(三角)級数 t 1 -1 -T/2 T/2 𝑓 𝑡 =1−4 𝑡 𝑇 −𝑇 2<𝑡< 𝑇 2
1 -1 -T/2 T/2 𝑓 𝑡 =1−4 𝑡 𝑇 −𝑇 2<𝑡< 𝑇 2 偶関数なので、フーリエ係数の内の an はゼロである。 また、図から直流成分は無いことが分かるが、敢えて計算をすると、 𝑏 0 = 1 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑡 = 1 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 1−4 𝑡 𝑇 𝑑𝑡 = 2 𝑇 0 𝑇 2 1−4 𝑡 𝑇 𝑑𝑡 = 2 𝑇 𝑡−2 𝑡 2 𝑇 0 𝑇 2 = 2 𝑇 𝑇 2 − 𝑇 2 =0

17 三角波のフーリエ(三角)級数 一方、 𝑏 𝑛 = 2 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑥 cos 𝜔 𝑛 𝑑𝑡 = 2 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝑥 cos 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡𝑑𝑡 = 2 𝑇 − 𝑇 2 𝑇 2 1−4 𝑡 𝑇 cos 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡𝑑𝑡 = 4 𝑇 0 𝑇 2 1−4 𝑡 𝑇 cos 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡𝑑𝑡 = 2 𝑛𝜋 1−4 𝑡 𝑇 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 0 𝑇 2 − 2 𝑛𝜋 0 𝑇 2 −4 𝑇 sin 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 𝑑𝑡 = −2 𝑛𝜋 sin 𝑛𝜋 + 8 𝑛𝜋𝑇 −𝑇 2𝑛𝜋 cos 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 0 𝑇 2 = 4 𝑛 2 𝜋 2 1− cos 𝑛𝜋 = 4 𝑛 2 𝜋 2 1− −1 𝑛 従って、方形波のフーリエ(三角)級数は、 𝑓 𝑡 = 𝑛=1 ∞ 4 𝑛 2 𝜋 2 1− −1 𝑛 cos 2𝑛𝜋 𝑇 𝑡 = 8 𝜋 2 cos 2𝜋 𝑇 𝑡 𝜋 2 cos 6𝜋 𝑇 𝑡 𝜋 2 cos 10𝜋 𝑇 𝑡 ⋯