Presentation on theme: ""— Presentation transcript:

1 𝜃= 𝓁 𝑟 ラジアンの復習 平面角 𝜃 復習 radian ラジアン 半径１の円上の弧の長さ。 0から2πの範囲。 似た単語
ラジアンの復習　平面角 radian　ラジアン 似た単語 　radius 半径 半径１の円上の弧の長さ。 0から2πの範囲。 単位：ラジアン(rad) 　　　　無次元量 扇形の半径が𝑟, 弧の長さが𝓁の時、 中心角は、 1 𝜃 𝜃= 𝓁 𝑟 O 数式○

2 無次元量とは 教科書p.383 物理の４つの基本単位で表せない量 m(メートル） 長さ kg(キログラム）質量 s （秒） 時間
　　　A (アンペア）　電流-> 後期の電磁気でやります。 例： 　　個数　N （個） 　　角度　θ（ラジアン）

3 比率 ratio 同じ単位の物の割り算 例：あるクラスの女子の比率は1/2 = 女子の人数/全体の人数
　同じ単位の物の割り算 例：あるクラスの女子の比率は1/2 = 女子の人数/全体の人数 例２：雨が降る日は1/4 = 雨が降る日/全部の日数 ・比率は一般には足せない。 　　上記の1/2 + 1/4 = 3/4　を求めても、意味がない。 ・分母が同じなら足せる場合もある。 　　例：ずっと晴れている日は1/3=晴れの日/全部の日数 上記の数字と足して、1/4 + 1/3 = 7/12 　　　　　晴れた日か雨が降る日になる確率

4 波動１　弦の場合

5 補足 ≅ 「ほぼ等しい」 　　という記号 ≒

6 cos 𝑦=cos 𝜃 𝜃 が小さいとき、 cos 𝜃 ≅1 1 𝑦=cos 𝜃 𝜃

7 補足：差を微分で表す 𝑓 ′ (𝑥) = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 教科書 微分の定義 limを省略すると
微分の定義　　　 𝑓 ′ (𝑥) = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 limを省略すると　　 𝑓 ′ 𝑥 ≅ 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 ∆𝑥 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥 ≅∆𝑥 𝑓 ′ 𝑥 ∆𝑥 が小さいときは、関数の差を微分で書くことができる。

8 tanと傾き 𝜃 𝜃 傾き 高校の数学１ の復習 𝑦=𝑚𝑥 𝑦 𝑦=𝑚𝑥 直線 がx軸となす角を とすると、 𝑥 𝑚= tan 𝜃 (1)
𝑚= tan 𝜃 𝑥 (1) 傾き 問題 (1)式を証明しなさい。 （前ではやりません。各自やっておいてください) ヒント：点P(1,m)からx軸に垂線を下ろした点をQとする。 　三角形POQを考える。

9 𝑑𝑓 𝑑𝑡 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥
微分の図形的意味 復習 𝑑𝑓 𝑑𝑡 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 y y=f(x) f(x+Δx) 接線 f(x) x x x+Δx 𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥 青い点線の傾きが Δxが0に近づくと、青い実線に近づいていく。 𝑑𝑓 𝑑𝑥 は接線の傾きを表す。 9

10 tanと微分の関係 𝜕𝑢 𝜕𝑥 tan 𝜃= 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑥 教科書p.129-131 𝑢 点Pでの接線のx軸からの角度をθとすると ∆𝑢
∆𝑥 一方、微分 𝜕𝑢 𝜕𝑥 も接線の傾き 𝑥 よって tan 𝜃= 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑥 場所xを表す

11 波動

12 振動と波動 振動：ある場所で揺れる。 簡単な例：ばねにつながった質点 応用：筋肉の伸び、皮膚を押すとへこむ 波動：振動が隣に伝わる。
　簡単な例：ばねにつながった質点 　応用：筋肉の伸び、皮膚を押すとへこむ 波動：振動が隣に伝わる。 　簡単な例：弦の振動 　応用：音波、光、電磁波、海の波

13 弦の振動 教科書p.129-131 𝑢 𝑥 𝑇 Q 𝜎 １本の弦を考える 線密度 張力 で両側から引っ張る 𝑇 P 𝑇
線密度　 𝜎 張力　で両側から引っ張る 𝑇 P 𝑇 弦の平衡な位置をx軸にとる 𝑢 𝑥+∆𝑥 𝑢 𝑥 xにおける弦の変位 𝑢 𝑥,𝑡 𝑥 ∆𝑥 𝑥 𝑥+∆𝑥 点Pと点Qの間の部分の運動方程式を 考える。PQとx軸のなす角は十分小さいとする。

14 string 弦（げん） 弧 Ａ 数学では： ２点を結ぶ線分。 物理では： Ｂ 直線状の細い線。 弦 弦 棒 太いと弦ではない 弦の例
数学では：　２点を結ぶ線分。 物理では： 　　直線状の細い線。 Ｂ 弦 弦 棒 太いと弦ではない 弦の例 　・バイオリン、ギターなど弦楽器の弦

15 いろいろな密度 分子 密度：割合 分母 普通の密度は体積あたり 体積当たり 質量(kg)/体積(m3)
分子が質量でない場合もある。 　　電荷密度：後期に出てきます。 　　人口密度：人数/面積。

16 弦の振動 教科書p.129-131 𝑢 𝑥 𝑇 Q １本の弦を考える 線密度 𝜎 張力 で両側から引っ張る 𝑇 P 𝑇
線密度　 𝜎 張力　で両側から引っ張る 𝑇 P 𝑇 弦の平衡な位置をx軸にとる 𝑢 𝑥+∆𝑥 𝑢 𝑥 xにおける弦の変位 𝑢 𝑥,𝑡 𝑥 ∆𝑥 𝑥 𝑥+∆𝑥 点Pと点Qの間の部分の運動方程式を 考える。PQとx軸のなす角は十分小さいとする。 問題 PとQの間の弦の質量が　　　であることを説明せよ (2) Pにかかる力のx方向の成分が-Tにほぼ等しいことを示せ。 (3) Pにかかる力のu方向の成分が　　　　 であることを示せ (4) Qにおける力のx成分とu成分を求めよ。 (5) (3)と(4)の力の和を求めよ。 PQ間のu方向の弦の運動方程式 　　が次のようになることを示せ。 σ∆𝑥 - 𝑇 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑥 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 = 𝑇 𝜎 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2

17 波動２　波の形と進行

18 1次元の波動方程式 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 = 𝑣 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴sin 𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑 𝑣 𝑘 𝜔
𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 = 𝑣 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 (1) 問題１ 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴sin 𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑 (2) 𝜑 は定数 が(1)の解であることを確かめなさい。 𝑣 を 𝑘 と 𝜔 で表しなさい。 教科書p.134 問題２ 𝑢 𝑥,𝑡 =𝑓(𝑥−𝑣𝑡) が(1)の解であることを示しなさい。 ヒント： 𝑦=𝑥−𝑣𝑡 とおいてみる。

19 位相 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴sin 𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑 𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑 いそう phase sinの中身、 の部分を位相という。 位相がそろう
位相がずれる 位相が逆になる。

20 参考：景気の波 このページは試験に 出ません。 好況 後退 回復 不況 →　時間 波のどの辺にいるかが、フェーズ（phase)。　

21 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴sin 𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑 波の例 振動の所で述べたように、 角振動数 周期 xの係数 を 波数と呼ぶ
𝑇= 2𝜋 𝜔 𝜔 角振動数 周期 xの係数　　　を 𝑘 波数と呼ぶ 位相が2𝜋となる長さを波長とよび、λと書く。 𝜆= 2𝜋 𝑘 𝑘𝜆=2𝜋 問題１　ωとTの単位を書きなさい。 問題２　λとkの単位を書きなさい。 問題３　横軸がx, 縦軸がuのグラフを描き、λがどこか示しなさい。

22 波の形の例 縦波 振動による変位と波が進む方向が同じ 音波など 横波 振動による変位と波が進む方向が垂直。 電磁波（光も含まれる）など
　振動による変位と波が進む方向が同じ 　音波など 教科書p131 教科書p159 横波 　振動による変位と波が進む方向が垂直。 　電磁波（光も含まれる）など

23 音と光の比較 電磁波（光） 音 後期に詳しく学ぶ 空気中を伝わる 真空でも伝わる 電場と磁場が進行方向に垂直に振動する 進行方向に振動する
電磁波（光）　 　　後期に詳しく学ぶ 　真空でも伝わる 　電場と磁場が進行方向に垂直に振動する 光の速度：3.0×108m/s 振動数や波長の違い： 　　光の色 音 　空気中を伝わる （真空では音は伝わらない） 　進行方向に振動する 　音の速度：340 m/s 振動数や波長の違い： 　　音の高さ

24 単位を知るには 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 sin (𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑) sinの中の(𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑)の単位は、rad 無次元量。
𝑥 の単位はm 𝑡の単位はs(秒) 𝑘の単位はrad/mまたは1/m 𝜔の単位はrad/sまたは1/s

25 v=𝜆𝜈 v= 𝜔 𝑘 𝜔 𝑘 𝜆 T 𝜔𝑇=2𝜋 𝑇=2𝜋/𝜔 𝑘𝜆=2𝜋 𝜆=2𝜋/𝑘 𝜈 𝜈= 1/T =𝜔/2𝜋
𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 sin (𝑘𝑥−𝜔𝑡+𝜑) 波長と振動数 𝐴 振幅 v= 𝜔 𝑘 𝜔 𝑘 角振動数 rad/s 波数 rad/m 𝜆 波長 m ラムダ T 周期 s 位相が２πになる時間 位相が２πになる長さ 𝜔𝑇=2𝜋 𝑇=2𝜋/𝜔 𝑘𝜆=2𝜋 𝜆=2𝜋/𝑘 𝜈 振動数 ニュー 𝜈= 1/T =𝜔/2𝜋 1/s Hz ヘルツ v=𝜆𝜈 を示しなさい 　（前ではやりません。） 問題

26 波長と振動数 v=𝜆𝜈 速度 m/s 波長 m 振動数 1/s=Hz ヘルツ

27 𝜈 角振動数と振動数の違い 𝜔=2𝜋𝜈 𝜔 角振動数 振動数 １秒間に振動した回数 １秒間に回転した 角度（ラジアン） オメガ ニュー
単位：rad/s または　1/s 単位：1/s 振動数の単位を 　　Hz ヘルツ と書くことがある。 Hzは角振動数には使わない。

28 波の性質 干渉 　２つの波の位相がそろうと強めあう。 回折 　障害物の向こうにも波が進む。 　　例：壁の向こうの人の声が聞こえる。

29 熱力学 力学で学んだ ・力 ・運動方程式 ・仕事 ・運動量、力積 ・運動エネルギー が必要 詳細は２年後期の「エネルギー反応論」 で学ぶ

30 圧力 pressure 単位面積当たりの力 圧力＝力/面積 𝑝= 𝐹 𝑆 surface 𝑆 詳しくは、面に垂直な力/面積

31 1mol = 6.02 x 1023 個 モル 𝑁 𝐴 = 6.02 x 1023 個/mol 𝑛 𝑁 𝑁/𝑛= 𝑁 𝐴 個/mol
アボガドロ数 𝑁 𝐴 = 6.02 x 1023 個/mol 𝑛 モル数 𝑁 粒子数 𝑁/𝑛= 𝑁 𝐴 個/mol

32 絶対温度 𝑇 𝑡 セ氏温度 との関係 𝑇=𝑡+273 t T 0℃　　273K 100℃　　373K -273℃　　0K

33 𝑝𝑉=𝑛𝑅𝑇 𝑅 𝑝 𝑉 𝑛 𝑇 理想気体の状態方程式 圧力 N/m2 m3 体積 モル数 mol 絶対温度 K 8.31J/K・mol
理想気体： 　十分希薄 　力を及ぼしあわない 𝑝𝑉=𝑛𝑅𝑇 𝑝 圧力 N/m2 𝑉 体積 m3 𝑛 モル数 mol K 𝑇 絶対温度 𝑅 気体定数 8.31J/K・mol

34 𝑝𝑉=𝑛𝑅𝑇 𝑝 𝑉 𝑛 𝑇 気体分子運動論 分子１個ずつの運動 気体分子全体 質量 圧力 速度 体積 運動量 モル数 絶対温度
𝑚 圧力 𝑝 v 速度 体積 𝑉 運動量 𝑚v モル数 𝑛 絶対温度 1 2 𝑚v 2 𝑇 運動エネルギー 𝑝𝑉=𝑛𝑅𝑇 気体定数 R

35 気体分子運動論 教科書p207-210 問題 質量mの分子 N個の気体が１辺 L の立方体の箱の中にあるとする。
ある粒子の速度のx成分をvxとする。 x軸に垂直な１つの壁に　この分子は毎秒何回衝突するか。 (2) 分子の１回の壁との衝突で運動量の変化を求めなさい。 (3) 分子の衝突により、壁が受ける１秒あたりの力積を 　　求めなさい。 (4) 壁が受ける圧力を、気体分子の速度で表しなさい。 (5) 気体の運動エネルギーの平均値と温度の関係を求めなさい。

36 補足:変化 変化＝後（あと）－前（まえ） 例：朝1000円持っていたが、 晩には300円になっていた。 変化は？
(1) 変化＝後（あと）－前（まえ） 例：朝1000円持っていたが、 　晩には300円になっていた。 　変化は？ 　　　 =-700円

37 𝑚𝒂=𝑭 運動方程式 からわかること 𝒑=𝑚𝒗 𝑑𝒑 𝑑𝑡 =𝑭 𝒑 2 − 𝒑 1 = 𝑡 1 𝑡 2 𝑭𝑑𝑡 復習 前ではやりません。
運動方程式　　　　　からわかること　　　　　　　　　 𝑚𝒂=𝑭 復習 前ではやりません。 問題１： 𝒑=𝑚𝒗 運動量 を使って、 運動方程式は 運動量： 運動の勢いを表す。 𝑑𝒑 𝑑𝑡 =𝑭 教科書p.51-52 と書けることを示せ。 問題２：前問の結果より、 𝒑 2 − 𝒑 1 = 𝑡 1 𝑡 2 𝑭𝑑𝑡 力積により 運動量が変化する。 を示せ。 教科書p.55

38 補足:２次元ベクトルの長さ ２次元ベクトル に対して ベクトルの長さ𝐴は、 三平方の定理を使う 一方、ベクトルの２乗は、
𝑦 ２次元ベクトル 𝐴 𝑥 , 𝐴 𝑦 𝑨=( 𝐴 𝑥 , 𝐴 𝑦 ) に対して 𝐴 𝑦 𝑨 ベクトルの長さ𝐴は、 𝑥 O 𝐴 𝑥 𝐴 2 = 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 2 三平方の定理を使う 一方、ベクトルの２乗は、 𝑨 𝟐 =𝑨∙ 𝑨 =𝐴 𝑥 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦 𝐴 𝑦 = 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 2 よって、ベクトルの２乗と長さの２乗は同じ。 𝑨 𝟐 = 𝐴 2

39 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 補足:三平方の定理 斜辺 直角三角形 𝑐 𝑏 𝑎 問題（前ではやりません） 三平方の定理を証明せよ
　三平方の定理を証明せよ ヒント：右の図形の面積を考える 𝑐 𝑏 𝑎

40 補足：３次元の場合 ３次元ベクトル に対して ベクトルの長さ𝐴は、 (1) 𝑧 𝐴 𝑥 , 𝐴 𝑦 , 𝐴 𝑧 𝐴 𝑧 𝑨 𝑦
𝑨=( 𝐴 𝑥 , 𝐴 𝑦 , 𝐴 𝑧 ) に対して 𝐴 𝑦 ベクトルの長さ𝐴は、 𝑥 𝐴 2 = 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 2 O 𝐴 𝑥 (1) 𝑦 𝑥𝑦面 問題（前ではやりません） (1)式を示せ 　　ヒント： 　　　先にxy面を考える（右図） 𝐴 𝑦 𝑥 O 𝐴 𝑥

41 補足:平均の性質 (1) 平均を< >で表すことがある。
𝐴 = 1 𝑁 𝐴 1 + 𝐴 2 +…+ 𝐴 𝑁 = 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝐴 𝑖 平均の性質 (1) 𝑘𝐴 =𝑘 𝐴 𝐴+𝐵 = 𝐴 + 𝐵 (2) 問題（前ではやりません） (1)(2)を示しなさい。