電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁.

Presentation on theme: "電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁."— Presentation transcript:

1 電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁

2 信号波解析 電気通信系或いは制御系のように、電気エネルギーよりはむしろ情報を対象にする系では、非常に複雑に変化する波を扱うことになる。このような系での電圧或いは電流を、信号波(signal)と呼んでいる。 例) 電話を通じて会話する時、電話線に流れる電流波形のようなもの

3 パルス(pulse)信号 ある有限の時間範囲にのみ信号が存在し、それ以外ではゼロか無視できるほど小さい値であるような信号をパルス信号(pulse)と呼んでいる。 従って、信号のエネルギーは有限 0< −∞ +∞ 𝑓 2 𝑑𝑡 <∞ パルス信号の例

4 パルス信号のフーリエ変換 パルス信号のフーリエ変換 周期関数において定義されていたフーリエ級数を、周期性の無いパルス信号にも適用してみる
𝑓 𝑡 = 𝑛=−∞ ∞ 𝐴 𝑛 𝑒 𝑗𝑛 𝜔 0 𝑡 = 𝑛=−∞ ∞ 𝑒 𝑗𝑛 𝜔 0 𝑡 𝑇 −𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝜉 𝑒 −𝑗𝑛 𝜔 0 𝜉 𝑑𝜉 = An ここで、周期 T を無限に大きくして、T → ∞ の極限を考えると、f(t) は繰り返しのない波形となり、即ち周期性の無い場合にも拡張できる。 この時、 𝜔 0 = 2𝜋 𝑇 であるから、 T → ∞ で ω0 → 0 である。 f(t) f(t) t 周期: T

5 フーリエ変換 二つの隣り合う振動成分周波数の差が連続的に変化することになるので、
これが 0 に収束することは、nω0 が n の変化で連続的に変化することになる。そこで、 nω0 = ω と書く。また、ω0 → dω より、 𝑓 𝑡 = lim 𝑇→∞ 𝑛=−∞ ∞ 𝑒 𝑗𝑛 𝜔 0 𝑡 𝑇 −𝑇 2 𝑇 2 𝑓 𝜉 𝑒 −𝑗𝑛 𝜔 0 𝜉 𝑑𝜉 = 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 −∞ ∞ 𝑓 𝜉 𝑒 −𝑗𝜔𝜉 𝑑𝜉 = F(jω) とフーリエ積分で表される。上式を書き直すと、以下の式が得られる。 𝐹 𝑗𝜔 = −∞ ∞ 𝑓 𝜉 𝑒 −𝑗𝜔𝜉 𝑑𝜉 フーリエ変換 𝑓 𝑡 = 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝐹 𝑗𝜔 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 フーリエ逆変換 F(jω)を f(t) のフーリエ変換(Fourier transform)、F(jω)から f(t) を得る変換をフーリエ逆変換と言う。 前出の An と同様に、F(jω)を 周波数スペクトルと呼び、 f(t) に含まれる周波数成分の分布を表している。

6 パルスのフーリエ変換 例4.1.1 孤立した方形波(パルス)のフーリエ変換を求める t t0 -t0 E f(t)
𝑓 𝑡 = −∞<𝑡<− 𝑡 0 𝐸 − 𝑡 0 <𝑡<+ 𝑡 𝑡 0 <𝑡<∞ フーリエ変換の定義に従い 𝐹 𝑗𝜔 =𝐸 − 𝑡 0 𝑡 0 𝑒 −𝑗𝜔𝜉 𝑑𝜉 = 𝐸 −𝑗𝜔 𝑒 −𝑗𝜔𝜉 − 𝑡 0 𝑡 0 = 𝐸 −𝑗𝜔 𝑒 −𝑗𝜔 𝑡 0 − 𝑒 𝑗𝜔 𝑡 0 = 𝐸 −𝑗𝜔 cos 𝜔 𝑡 0 −𝑗 sin 𝜔 𝑡 0 − cos 𝜔 𝑡 0 −𝑗 sin 𝜔 𝑡 0 = 2𝐸 𝜔 sin 𝜔 𝑡 0 π 2π 3π 4π -π -2π ωt0 F(jω) 2Et0

7 正規パルスのフーリエ変換 例4.1.3 正規パルス(ガウス信号波形)のフーリエ変換を求める t f(t) 𝑓 𝑡 = 𝑒 −𝑎 𝑡 2
1 𝑓 𝑡 = 𝑒 −𝑎 𝑡 2 は区分的に滑らかで連続で、 −∞ +∞ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = −∞ +∞ 𝑒 −𝑎 𝑡 2 𝑑𝑡 = 𝜋 である。 正規パルス(ガウス波形) 𝐹 𝑗𝜔 = 𝜋 𝑎 𝑒 − 𝜔 2 4𝑎 フーリエ変換を求めると、 𝐹 𝑗𝜔 = −∞ +∞ 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = −∞ +∞ 𝑒 −𝑎 𝑡 2 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 　　　　 = −∞ +∞ 𝑒 − 𝑎 𝑡 2 +𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = −∞ +∞ 𝑒 −𝑎 𝑡 2 + 𝑗𝜔 𝑎 𝑡− 𝜔 2 4 𝑎 2 − 𝜔 2 4𝑎 𝑑𝑡 　　　　 = −∞ +∞ 𝑒 −𝑎 𝑡+ 𝑗𝜔 2𝑎 2 − 𝜔 2 4𝑎 𝑑𝑡 = 𝑒 − 𝜔 2 4𝑎 −∞ +∞ 𝑒 −𝑎 𝑡+ 𝑗𝜔 2𝑎 2 𝑑𝑡 　　　　 = 𝜋 𝑎 𝑒 − 𝜔 2 4𝑎 正規パルス(ガウス信号波形)のフーリエ変換はまた正規パルスとなる

8 各種パルス信号の周波数スペクトルF(jω)

9 エネルギー密度スペクトル パルス信号は連続スペクトル 周期波は離散(線)スペクトル
信号の持つエネルギーを、式(3.2)の定義式に基づいて計算してみる エネルギー= −∞ ∞ 𝑓 𝑡 2 𝑑𝑡 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝐹 𝑗𝜔 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 𝑑𝑡 積分の順序を入れ替えて、 エネルギー= −∞ ∞ 𝑓 𝑡 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝐹 𝑗𝜔 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔 𝑑𝑡 = 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝐹 𝑗𝜔 −∞ ∞ 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜔 = 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝐹 𝑗𝜔 −∞ ∞ 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜔 = 1 2𝜋 −∞ ∞ 𝐹 𝑗𝜔 𝐹 𝑗𝜔 𝑑𝜔 = −∞ ∞ 𝐹 𝑗𝜔 𝐹 𝑗𝜔 𝑑𝜔 2𝜋 = −∞ ∞ 𝐹 𝑗𝜔 2 𝑑𝑓 となる。 これは、孤立波形についてのパーシバルの公式(Parseval formula)と呼ばれる。

10 エネルギー密度スペクトル |F(jω)|2 をエネルギー(密度)スペクトルと呼ぶ この面積は等しく、信号のエネルギーを表す t t0 -t0
|f(t)|2 π 2π 3π -π -2π f |F(jω)|2 同様のことは、周期波の線スペクトルについても言えて、 周期波の電力に対して、以下の関係式が成り立つ。 𝑓 2 = 𝑛=−∞ ∞ 𝐴 𝑛 2 周期波におけるパーシバルの公式に相当

11 連続スペクトルと線スペクトル 周期 T の信号波形 f2(t) と、時間 −T/2 ~ T/2 においては f2(t) と全く同じ波形でそれ以外の時刻ではゼロであるパルス信号 f1(t) を考える。 パルス信号のフーリエ変換 𝐹 𝑗𝜔 = −𝑇 2 𝑇 2 𝑓 1 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 周期信号のフーリエ級数 t f1(t) T/2 −T/2 𝐴 𝑛 = 1 𝑇 −𝑇 2 𝑇 2 𝑓 2 𝑡 𝑒 −𝑗𝑛 𝜔 0 𝑡 𝑑𝑡 パルス t T/2 f2(t) −T/2 周期 T

12 連続スペクトルと線スペクトル 時間 −T/2 ~ T/2 においては f1(t) と f2(t) とは全く同じ波形であるから、
ω = nω0 (n = 0, 1, …) では、 𝐴 𝑛 = 1 𝑇 𝐹 𝑗𝑛 𝜔 0 が成り立つ。 即ち、f2(t) の線スペクトル An は、f1(t) の連続スペクトルの nω0 における値に 1/T を乗じた値に等しい。つまり、線スペクトルの包絡線が連続スペクトル曲線に一致。 ω 1 𝑇 𝐹 𝑗𝜔 ω0 nω0 An

13 連続スペクトルと線スペクトル 例4.1.4 方形パルスと方形パルス列(方形波)のスペクトル比較
T → ∞ の極限では連続スペクトルとなり、F(jω) と一致

14 時間シフト波形のフーリエ変換 例4.1.5 方形パルスを時間 T だけ正の方に動かした波形のフーリエ変換 f(t) t0
𝑓 𝑡 = −∞<𝑡<𝑇− 𝑡 0 𝐸 𝑇− 𝑡 0 <𝑡<𝑇+ 𝑡 𝑇+𝑡 0 <𝑡<∞ 𝐹 𝑗𝜔 =𝐸 𝑇− 𝑡 0 𝑇+𝑡 0 𝑒 −𝑗𝜔𝜉 𝑑𝜉 = 𝐸 −𝑗𝜔 𝑒 −𝑗𝜔𝜉 𝑇− 𝑡 0 𝑇+ 𝑡 0 = 𝐸 −𝑗𝜔 𝑒 −𝑗𝜔 𝑇+𝑡 0 − 𝑒 −𝑗𝜔 𝑇−𝑡 0 = 𝐸 −𝑗𝜔 𝑒 −𝑗𝜔 𝑡 0 − 𝑒 𝑗𝜔 𝑡 0 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 = 𝐸 −𝑗𝜔 cos 𝜔 𝑡 0 −𝑗 sin 𝜔 𝑡 0 − cos 𝜔 𝑡 0 −𝑗 sin 𝜔 𝑡 0 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 = 2𝐸 𝜔 sin 𝜔 𝑡 0 𝑒 −𝑗𝜔𝑇 即ち、時間を動かす前の波形のフーリエ変換を F0(jω) とすれば、 F(jω) = F0(jω)e−jωT となる。スペクトルの大きさは変わらない。 一般的には、波形 f(t) を時間 T だけ遅らせた波形 f(t−T) のフーリエ変換は、 e−jωT の因数を掛けたものとなり、 e−jωT を遅延演算子と呼ぶ。

15 時間シフト波形のフーリエ変換 例4.1.6 (2m+1)個の方形パルスが間隔 T で続いて現れた波形のフーリエ変換 f(t) (2m+1)個
1個だけの方形パルスを f1(t) で表すとすれば、図の波形 f(t) は、 𝑓 𝑡 = 𝑛=−𝑚 𝑚 𝑓 1 𝑡+𝑛𝑇 従って、f(t) のフーリエ変換 F(jω) は f1(t) のフーリエ変換 F1(jω) によって 𝐹 𝑗𝜔 = 𝐹 1 𝑗𝜔 𝑛=−𝑚 𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑛𝑇 と与えられる。

16 孤立パルスと周期パルス波との関係 ここで三角関数の公式から sin 𝑘−1 𝜙 − sin 𝑘+1 𝜙 =−2 sin 𝜙 cos 𝑘𝜙
であるから、 𝜙= 𝜔𝑇 2 , 𝑘=2𝑚 とすると、 m =1 のとき、 k =2 であるから、 sin 𝜔𝑇 2 − sin 3𝜔𝑇 2 =−2 sin 𝜔𝑇 2 cos 𝜔𝑇 従って、 1+2 cos 𝜔𝑇 = sin 3𝜔𝑇 sin 𝜔𝑇 2 従って、 𝐹 3 𝑗𝜔 = 𝐹 1 𝑗𝜔 𝑒 ―𝑗𝜔𝑇 +1+ 𝑒 𝑗𝜔𝑇 = 𝐹 1 𝑗𝜔 1+2 cos 𝜔𝑇 = 𝐹 1 𝑗𝜔 sin 3𝜔𝑇 sin 𝜔𝑇 2 m =2 のとき、 k =4 であるから、 sin 3𝜔𝑇 2 − sin 5𝜔𝑇 2 =−2 sin 𝜔𝑇 2 cos 2𝜔𝑇 従って、 2 cos 2𝜔𝑇 = sin 5𝜔𝑇 2 − sin 3𝜔𝑇 sin 𝜔𝑇 2 従って、 𝐹 5 𝑗𝜔 = 𝐹 3 𝑗𝜔 + 𝐹 1 𝑗𝜔 𝑒 ―𝑗2𝜔𝑇 + 𝑒 𝑗2𝜔𝑇 = 𝐹 3 𝑗𝜔 + 𝐹 1 𝑗𝜔 2 cos 2𝜔𝑇 = 𝐹 1 𝑗𝜔 sin 3𝜔𝑇 sin 𝜔𝑇 𝐹 1 𝑗𝜔 2 cos 2𝜔𝑇 = 𝐹 1 𝑗𝜔 sin 3𝜔𝑇 sin 𝜔𝑇 cos 2𝜔𝑇 = 𝐹 1 𝑗𝜔 sin 5𝜔𝑇 sin 𝜔𝑇 2 m =m のときも同様に、 𝐹 2𝑚+1 𝑗𝜔 = 𝐹 1 𝑗𝜔 sin 2𝑚+1 𝜔𝑇 sin 𝜔𝑇 2 この様子を図示すると、

17 孤立パルスと周期パルス波との関係 方形波の数を増すに従い線スペクトルに移行 sin 𝑘𝑥 sin 𝑥 は、k が奇数で
大きくなると、π の整数倍になる x で値 k を示し、その他の xでは殆ど 0 となる関数

18 孤立パルスと周期パルス波との関係 m =∞ のとき、 ω ω0 変数 ω に対する周期インパルス列 u(ω) を考える。
面積 = 1 A0 A1 A2 A-1 変数 ω に対する周期インパルス列 u(ω) を考える。 個々のインパルスの大きさ(高さ)は ∞ で幅は 0 であるが、面積は 1 と仮定する。また、インパルスの間隔を ω0 とすると、 u(ω) のスペクトルはフーリエ級数の係数であるから、 𝐴 𝑘 = 1 𝜔 0 − 𝜔 𝜔 𝑢 𝜔 𝑒 −𝑗𝑘𝑡𝜔 𝑑𝜔 = 1 𝜔 0 −0 +0 𝑢 𝜔 𝑑𝜔 = 1 𝜔 0 ただし、k は整数 一方、インパルスが1個だけ ω = 0 に現れる関数を u0(ω) で表せば、 ω = kω0 に生ずるインパルスは u0(ω − kω0) である。従って、 𝑢 𝜔 = 1 𝜔 0 𝑘=−∞ +∞ 𝑒 𝑗𝑘𝜔𝑇 = 𝑘=−∞ +∞ 𝑢 0 𝜔−𝑘 𝜔 0 の関係がある。ただし、T = 2π/ω0 𝐹 ∞ 𝑗𝜔 = 𝐹 1 𝑗𝜔 𝜔 0 𝑘=−∞ +∞ 𝑢 0 𝜔−𝑘 𝜔 0 従って、 となり、変数 ω を f に替えれば、 F∞(jω)は、f = kf0 に生起するインパルス列であり、各インパルスの面積は、(1/T)F1(jk2πf0) で与えられる。 𝐹 ∞ 𝑗𝜔 = 1 𝑇 𝐹 1 𝑗𝜔 𝑘=−∞ +∞ 𝑢 0 𝑓−𝑘 𝑓 0 となる。

19 フーリエ変換の諸公式 F(jω) が f(t) のフーリエ変換であるとき、 ℱ 𝑓 𝑡 =𝐹 𝑗𝜔 或いは 𝑓 𝑡 ↔𝐹 𝑗𝜔
ℱ 𝑓 𝑡 =𝐹 𝑗𝜔 或いは 𝑓 𝑡 ↔𝐹 𝑗𝜔 と記すことがある またフーリエ変換には、以下の性質がある (1) 重ね合せ 𝑎 1 𝑓 1 𝑡 + 𝑎 2 𝑓 2 𝑡 ↔ 𝑎 1 𝐹 1 𝑗𝜔 + 𝑎 2 𝐹 2 𝑗𝜔 (2) 符号反転 𝑓 −𝑡 ↔𝐹 −𝑗𝜔 (3) 尺度変更 𝑓 𝑎𝑡 ↔ 𝐹 𝑗𝜔 𝑎 𝑎 (拡大定理) (4) 遅延 𝑓 𝑡−𝜏 ↔𝐹 𝑗𝜔 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗 𝜔 0 𝑡 ↔𝐹 𝑗 𝜔− 𝜔 0 (移動定理) 𝑑 𝑛 𝑓 𝑡 𝑑 𝑡 𝑛 ↔ 𝑗𝜔 𝑛 𝐹 𝑗𝜔 𝑡 𝑛 𝑓 𝑡 ↔ 𝑗 𝑛 𝑑 𝑛 𝐹 𝑗𝜔 𝑑 𝜔 𝑛 (5) 微分 −∞ +∞ 𝑓 𝜉 𝑑𝜉 ↔ 𝐹 𝑗𝜔 𝑗𝜔 (6) 積分 ただし、 −∞ +∞ 𝑓 𝜉 𝑑𝜉 =𝐹 0 =0 のとき −∞ +∞ 𝑓 1 𝜏 𝑓 2 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 ↔ 𝐹 1 𝑗𝜔 𝐹 2 𝑗𝜔 (7) 相乗積分 ただし、 𝑓 1 𝑡 ↔ 𝐹 1 𝑗𝜔 , 𝑓 2 𝑡 ↔ 𝐹 2 𝑗𝜔

20 フーリエ変換の諸公式の証明 (1) 重ね合せ 𝑎 1 𝑓 1 𝑡 + 𝑎 2 𝑓 2 𝑡 ↔ 𝑎 1 𝐹 1 𝑗𝜔 + 𝑎 2 𝐹 2 𝑗𝜔
𝑎 1 𝑓 1 𝑡 + 𝑎 2 𝑓 2 𝑡 ↔ 𝑎 1 𝐹 1 𝑗𝜔 + 𝑎 2 𝐹 2 𝑗𝜔 ℱ 𝑎 1 𝑓 1 𝑡 + 𝑎 2 𝑓 2 𝑡 = −∞ ∞ 𝑎 1 𝑓 1 𝑡 + 𝑎 2 𝑓 2 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎 1 −∞ ∞ 𝑓 1 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 + 𝑎 2 −∞ ∞ 𝑓 2 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎 1 𝐹 1 𝑗𝜔 + 𝑎 2 𝐹 2 𝑗𝜔 (2) 符号反転 𝑓 −𝑡 ↔𝐹 −𝑗𝜔 ℱ 𝑓 −𝑡 = −∞ ∞ 𝑓 −𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 t → −t’ に変数変換すると、積分範囲は ∞ → −∞ , −∞ → ∞ 、dt = −dt’ 従って、 ℱ 𝑓 −𝑡 =− ∞ −∞ 𝑓 𝑡 ′ 𝑒 +𝑗𝜔 𝑡 ′ 𝑑 𝑡 ′ = −∞ ∞ 𝑓 𝑡 ′ 𝑒 +𝑗𝜔 𝑡 ′ 𝑑 𝑡 ′ =𝐹 −𝑗𝜔

21 フーリエ変換の諸公式の証明 (3) 尺度変更 𝑓 𝑎𝑡 ↔ 𝐹 𝑗𝜔 𝑎 𝑎 (拡大定理) a > 0の時、
𝑓 𝑎𝑡 ↔ 𝐹 𝑗𝜔 𝑎 𝑎 (拡大定理) a > 0の時、 ℱ 𝑓 𝑎𝑡 = −∞ ∞ 𝑓 𝑎𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 at → t’ に変数変換すると、積分範囲は −∞ → −∞ , +∞ → +∞ 、dt = (1/a) dt’ 従って、 ℱ 𝑓 𝑎𝑡 = 1 𝑎 −∞ ∞ 𝑓 𝑡 ′ 𝑒 −𝑗𝜔 𝑡 ′ 𝑎 𝑑 𝑡 ′ = 1 𝑎 𝐹 𝑗𝜔/𝑎 a < 0の時同様に、 at → t’ に変数変換すると、積分範囲は −∞ → +∞ , +∞ → −∞ 、dt = (1/a) dt’ 従って、 ℱ 𝑓 𝑎𝑡 = −∞ ∞ 𝑓 𝑎𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑎 ∞ −∞ 𝑓 𝑡 ′ 𝑒 −𝑗𝜔 𝑡 ′ 𝑎 𝑑 𝑡 ′ =− 1 𝑎 𝐹 𝑗𝜔/𝑎 ℱ 𝑓 𝑎𝑡 = 1 𝑎 𝐹 𝑗𝜔/𝑎 従って、a > 0 及び a > 0 の場合をまとめると、

22 フーリエ変換の諸公式の証明 (4) 遅延 𝑓 𝑡−𝜏 ↔𝐹 𝑗𝜔 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗 𝜔 0 𝑡 ↔𝐹 𝑗 𝜔− 𝜔 0
𝑓 𝑡−𝜏 ↔𝐹 𝑗𝜔 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗 𝜔 0 𝑡 ↔𝐹 𝑗 𝜔− 𝜔 0 (移動定理) ℱ 𝑓 𝑡−𝜏 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡−𝜏 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 t−τ → t’ に変数変換すると、積分範囲は −∞ → −∞ , +∞ → +∞ 、dt =dt’ 従って、 ℱ 𝑓 𝑡−𝜏 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡′ 𝑒 −𝑗𝜔 𝑡 ′ +𝜏 𝑑𝑡′ = −∞ ∞ 𝑓 𝑡′ 𝑒 −𝑗𝜔 𝑡 ′ 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑑𝑡′ = 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 −∞ ∞ 𝑓 𝑡′ 𝑒 −𝑗𝜔 𝑡 ′ 𝑑𝑡′ = 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝐹 𝑗𝜔 一方、 ℱ 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗 𝜔 0 𝑡 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗 𝜔 0 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 = −∞ ∞ 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑗 𝜔−𝜔 0 𝑡 𝑑𝑡 =𝐹 𝑗 𝜔− 𝜔 0

23 相乗積分(たたみこみ積分) −∞ +∞ 𝑓 1 𝜏 𝑓 2 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 を相乗積分、畳み込み積分(convolution)などと呼び、
−∞ +∞ 𝑓 1 𝜏 𝑓 2 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 を相乗積分、畳み込み積分(convolution)などと呼び、 𝑓 1 𝑡 ∗ 𝑓 2 𝑡 = −∞ +∞ 𝑓 1 𝜏 𝑓 2 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 などと記す 例4.2.1 相乗積分の公式の証明 ℱ 𝑓 1 𝑡 ∗ 𝑓 2 𝑡 = −∞ +∞ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 −∞ +∞ 𝑓 1 𝜏 𝑓 2 𝑡−𝜏 𝑑𝜏 𝑑𝑡 積分の順序を変更して、 ℱ 𝑓 1 𝑡 ∗ 𝑓 2 𝑡 = −∞ +∞ 𝑓 1 𝜏 −∞ +∞ 𝑓 2 𝑡−𝜏 𝑒 −𝑗𝜔 𝑡−𝜏 𝑑𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏 = −∞ +∞ 𝑓 1 𝜏 𝐹 2 𝜔 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 = 𝐹 2 𝜔 −∞ +∞ 𝑓 1 𝜏 𝑒 −𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏 = 𝐹 1 𝜔 𝐹 2 𝜔 が得られる。 例4.2.2 −∞ 𝑡 𝑓 𝜏 𝑑𝜏 =𝑓 𝑡 ∗ 𝑢 −1 𝑡 と表すことができる。 ここで、 u-1(t) は単位ステップ関数