5.2 多値信号の伝送 Multiamplitude signal transmission 1 つの信号波形で複数のビットを表す Transmit multiple bit per signal waveform 振幅レベルの信号波 Signal waveform with 4 amplitude level 0≤t≤T(5.2.1) A m は m 番目の波の振幅， g(t) は方形パルス Am is the amplitude of the mth waveform and g(t) is a rectangular pulse (5.2.2) g(t) のエネルギーは 1 に規格化 Energy in the pulse is normalized to unity 信号レベルが等間隔で 4 つ設定される。 {A m }={-3d –d d 3d} の場合 Signal amplitude takes on one of four possible equally space values d=0,1,2,3(5.2.3) 2d は隣接する 2 つのレベルのユークリッド距離 2d is the Euclidien distance between two adjacent amplitude level パルス振幅変調 (PAM) Pulse amplitude modulated signal

波形あたり 2 ビットを送信できる。 Four PAM signal waveform can transmit 2 bits of information per waveform 4 つの波形に対し情報ビットを次のように割り当てる。 Assign the following pairs of information bits to the 4 signal waveforms 00→s 0 (t) ， 01→s 1 (t) ， 11→s 2 (t) ， 10→s 3 (t) シンボル：情報ビット { } の各ペア（シンボル間隔 T ） Each pair of information bits { } is called a symbol. ビットレートが R=1/T b のときシンボル間隔は T=2T b If bit rate is R=1/T b the symbol interval is T=2T b 信号波形は信号の基底関数 g(t) の伸縮で，これらの信号は実軸上の点で表現可能。 All signal waveforms are scale version of the signal basis function g(t), these are represented geometrically as points on the real line. PAM 信号波が AWGN 伝送路を使って送信されるとき，受信信号は PAM signal waveform are transmitted through an AWGN channel. Received signal is i=0,1,2,30≤t≤T(5.2.4) n(t) は，電力スペクトル密度 N 0 /2 (W/Hz ）を持つ白色ガウス雑音。 N(t) is a sample function of a white Gaussian noise process with power spectrum N 0 /2 (W/Hz ） 受信機の役割： 0≤t≤T で受信信号 r(t) を観測し， 4 つのどの信号が送信されたのかを決定す る。 The task of the receiver: determine witch of the 4 signal waveforms are transmitted after observing the received signal r(t) in the interval 0≤t≤T 最適受信機：シンボル誤りを最小化にするよう設計 Optimum receiver: design to minimize the probability of a symbol error

6.2.2 AWGN 伝送路の最適受信機 Optimum receiver for the AWGN channel 受信機：相関器またはマッチドフィルタと振幅判定器で構成。 Receiver is consisted of correlator or matched filter and amplitude detector ここでは相関器を考える。 Here, consider correlator. 相関器は信号パルス g(t) と受信信号 r(t) の相関を取って t=T で出力。 Signal correlator cross-correlates the received signal r(t) with the signal pulse g(t) 相関器の出力は Signal correlator outputs n は中央値 ，分散 N is a Gaussian random variable with 0 mean and variance を持つガウス乱数。相関器の出力の確率密度関数は The probability density function for the output r of the signal correlator is (5.2.9) A i は 4 つの振幅値のひとつ A i is one of the four possible amplitude values.

判定器：相関器の出力を観測し，その信号区間で 4 つのどの PAM 信号が送られ たのかを決定。 Detector: Observe the correlator output r and decides which of the 4 PAM signals was transmitted in the signal interval. 最適な振幅判定器：相関器の出力 r と 4 つの振幅レベルを比較し，ユークリッド 距離が r に最も近い振幅レベルを選択。すなわち， i=0,1,2,3(5.2.10) を計算し，最も小さい距離に対応する振幅を選択。 Optimum amplitude detector compares the correlator output r with the 4 possible transmitted level. It selects an amplitude level that is closest in Euclidean distance to r. 判定誤り：雑音 n が振幅レベル間の半分の距離を越えたとき，すなわち |n|>d の とき発生。 Decision error: the noise variable n exceed in magnitude one half of the distance between amplitude level that is |n|>d 振幅レベル 3d または -3d が送信された時，誤差は 1 方向だけで発生。 When amplitude level 3d or -3d is transmitted, an error can occur in one direction only. 4 つの振幅レベルが同じ確率で発生すれば，平均シンボル誤り率は Since the four amplitude levels are equally probable, the average probability of a symbol error is

d 2 =E av /5 から 各送信シンボルは 2 つの情報ビットを持つ。 Each transmitted symbol consists of 2 bits. ビットあたりの送信平均エネルギーは E av /2=E avb である。 The transmitted average energy per bit is E av /2=E avb 10log 10 (E avb /N 0 ) で定義した SNR と平均誤り率 P 4 の関係 P4 is plotted as a function of the SNR defined as 10log 10 (E avb /N 0 ) (5.2.13) 4 値信号 4 level PAM2 値信号 binary PAM (antipodal) 平均誤り率を信号エネルギーで表す。シンボルあたりの平均信号エネルギーは The average probability of error can be expressed by the signal energy. The average transmitted signal energy per symbol is

例 5-2 PAM シミュレーション Multiamplitude signal simulation 相関器を使った PAM 通信システムのモンテカルロシミュレーションを実行せよ。 シミュレーションシステムのモデルは図 5.19 に示される。 Perform a Monte Calro simulation of the four-level PAM communication system that employs a signal correlator. The model for the system is shown in following figure 1. 判定器の入力 r ：振幅レベル A m に割り当てる 4 値のシンボル系列を発生。 Generate a sequence of quaternary symbols mapped into amplitude level A m (0,1) で一様乱数を発生させ， (0,0.25) (0.25,0.5) (0.5,0.75) (0.75,1) の区間 に分 割し， 各区間について 00 ， 01 ， 11 ， 10 を割り当て，振幅レベル (-3d 、 -d 、 d 、 3d) に対 応させる。 Generate a uniform random number in the range (0,1). The range is subdivided into four equal intervals (0,0.25) (0.25,0.5) (0.5,0.75) (0.75,1). The subintervals correspond to the symbol 00, 01, 11, 10. The RNG is mapped into the corresponding signal amplitude (-3d, -d, d, 3d). Uniform RNG Mapping to amplitude level Gaussian random number simulator detector compare Error counter

2. 中央値 0 で分散 σ 2 の加法性雑音成分をガウス乱数発生器で発生。 The additive noise component having mean 0 and variance σ 2 距離パラメータ d を 1 に規格化し σ 2 を変化させる。 Normalize the distance parameter d=1 and vary σ 2 3. 判定器では， r=A m +n と 4 つの信号レベル間の距離を計算。その出力 は， 最小の距離に対応する信号の振幅レベル。 The detector observes r=A m +n and compute the distance between r and 4 possible transmitted signal amplitude. Its output is the signal amplitude level corresponding to the smallest distance. ４．を実際の送信信号レベルと比較し，判定器で発生した誤りを計数 is compared with the actual transmitted signal level. Error counter counts the errors made by detectors. N=10000 シンボルについてのシミュレーション結果 Results of the simulation for the transmissions of N=10000 symbols at different values of average bit SNR (5.2.14) で定義した平均ビット SNR とシンボル誤り率の関係も示す。

function.m ファイルの sig Sig in function m file main.m の erfc 関数の引数 Argument of erfc function in main.m 例 6-1 より (5.2.14) より (5.2.11) より

6.2.3 多数の振幅レベルを持つ信号波形 Signal waveform with multiple amplitude level 4 つ以上のレベルを持つ複数振幅信号。 M=2 k のレベルを持つ信号波形 Construct multiamplitude signals with more than four levels. A set of M=2 k multiamplitude signal waveform is 0≤t≤Tm=0,1,..,M-1(5.2.15) M 振幅値が等間隔で区切られる場合 M amplitude values are equally spaced m=0,1,..,M-1(5.2.16) g(t) は方形パルス（式 (5.2.2) ）で定義される。 G(t) is a rectangular pulse defined by 各信号波形は情報の k=log 2 M ビットを伝送。 Each signal waveform conveys k=log 2 M bits of information. ビットレートが R=1/T b の時，シンボルレートは 1/T=1/(kT b ) 。 When the bit rate is R=1/T b, the corresponding symbol rate is 1/T=1/(kT b ) 。 最適受信機： m=0,1,..,M-1 について式 (5.2.10) で与えられるユークリッド距離を 計算する振幅判定器と相関器 ( またはマッチドフィルタ ) で構成。最も小さい距 離に対応する振幅レベルを探し，シンボルを判定。 Optimum receiver consists of a signal correlator and an amplitude detector that computes the Euclidean distance. The decision is made in favor of the amplitude level that corresponds to the smallest distance.

M=2,4,8,16 の M 値 PAM のシンボル誤り率 Symbol error probability for M level PAM for 2,4,8,16 M 値 PAM システムの最適受信機の誤り率 The probability of error for the optimum detector in an M level PAM (5.2.17) E avb は情報ビットの平均エネルギー E avb is the average energy for an information bit