コラッツ予想の変形について 東邦大学　理学部　情報科 白柳研究室 5511104 山中　陽子

コラッツ予想とは 必ず1に到達するだろう。 この予想をコラッツ予想という。 任意の0でない自然数を初期値𝑛とし, 𝑛に対して以下の操作を行うとする。 3𝑛+1 (𝑖𝑓 𝑛 𝑚𝑜𝑑 2≡1) 　 𝑛 2 (𝑖𝑓 𝑛 𝑚𝑜𝑑 2≡0) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　この操作を繰り返す 必ず1に到達するだろう。 この予想をコラッツ予想という。 1937年にローター・コラッツが提示。 未だにこの主張が真かどうかは証明されていない。 まず、コラッツ予想について説明します。 任意の0でない自然数をnとし、 Nを2で割り、余りが1になる場合、つまり奇数の場合3n+1をし Ｎが２で割り切れる場合、つまり偶数のときに２で割るという操作を繰り返すと １に到達するであろうという予想をコラッツ予想といいます。 この予想は1937にローターコラッツという方が問題と提示したことからコラッツ予想、または、コラッツの問題と呼ばれています。 この主張が真かどうか証明されていないので数学の未解決問題とされています。

３×５＋1 = 16 16÷2 = 8 8÷2 = 4 4÷2 = 2 2÷2 = 1 計算例 初期値𝑛を10にして計算すると 10÷2 = 5 ３×５＋1 = 16 16÷2 = 8 8÷2 = 4 4÷2 = 2 2÷2 = 1 実際にnが１０として計算してみます。 ・ 最終的に１になります。これがコラッツ予想です。

研究目的 Ⅰ コラッツ予想の式を変形し、1に到達するかどう かを調べる。 Ⅱ できるだけ大きい値まで調べる。 （数式処理システムMapleを使用する） Ⅲ コラッツ予想以外の法則や特徴があれば見つ ける。 次に研究目的です。 コラッツ予想の式を変形し、1に到達するかどうかを調べる。 Ⅱ　数式処理システムMapleを使用し、できるだけ大きい値まで調べる。 Ⅲ　コラッツ予想以外の法則や特徴があれば見つけたいとおもいます。

( 2 + 1 ) n + { 2 –1 } = ( 2 + 1 ) n + { 2 – ( n mod 2 ) } コラッツ予想の式を変形 コラッツ予想の式を変形すると以下のようになる。 3 n + 1 = ( 2 + 1 ) n + { 2 –1 } 　　　　　　　　　この式を更に変形すると ( 2 + 1 ) n + { 2 –1 } = ( 2 + 1 ) n + { 2 – ( n mod 2 ) } 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一般化すると以下の式になる 𝒎 + 𝟏 𝒏 + 𝒎 – 𝒏 𝒎𝒐𝒅 𝒎 　( 𝒊𝒇 𝒎∤𝒏 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 𝒏 𝒎 　　　　　　　　　 ( 𝒊𝒇 𝒎|𝒏 ) この式を用いて、従来のコラッツ予想同様に1に到達するかどうかを調べる。 今回は、１桁のｍの値で調べた。（ｍ＝３～９） 次に考えた変形式について説明します。 コラッツ予想の式の3n+1というのは（２+１）ｎ+（２－１）に置き換えられます。 更に、（２+１）ｎ+（２－（ｎ　mod 2))に置き換え、式を一般化するとこのようになります。

計算例 36÷3 = 12 12÷3 = 4 ( 3 + 1 ) 4 + { 3 - (4 mod 3) } = 18 18÷3 = 6 　　ｍ＝３、ｎ＝３６の場合 36÷3 = 12 12÷3 = 4 ( 3 + 1 ) 4 + { 3 - (4 mod 3) } = 18 18÷3 = 6 6÷3 = 2 ( 3 + 1 ) 2 + { 3 - (2 mod 3) } = 9 9÷3 = 3 3÷3 = 1 計算していくと１に到達しました。 よって、ｍ＝３の時、３６で計算すると１に到達することが分かります。

m＝3の場合(ｎ＝１～１００００の範囲） １に到達する場合と、最小値が７になる場合の２通りになることが分 かった。 例 n = ９０、m = ３ ９０→３０→１０→４２→１４→５７→１９→７８→２６→１０５→３５ 　　　　　　　　　　　　→１４１→４７→１８９→６３→２１→７→３０→・・・ ループの中の最小値が７ Ｍの値が３の場合（ｎ＝１～１００００の値まで計算した結果）先ほどの計算例で１に到達したと言いましたが、 １に到達する場合と最小値７の無限ループのどちらかになることが分かった。 １になる場合は、先ほどの計算例でやって１になったので割愛させていただきます。 Ｎが９０で計算した場合、このように１に到達せず最小値が７のループになりました。 この青文字はループになっている範囲です。

ｍ＝４の場合(ｎ＝１～１００００） １に到達する場合と、最小値が２３になる場合の２通りになることが分 かった。 例 n = １０ １０→５２→１３→６８→１７→８８→２２→１１２→２８→７→３６→９ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→４８→１２→３→１６→４→１ n = ２９ ２９→１４８→３７→１８８→４７→２３６→５９→２９６→・・・→１１７ →５８８→１４７→７３６→１８４→４６→・・・→２３→１１６→２９→１４８ →３７→１８８→４７→２３６→５９→２９６→７４→３７２→９３→４６８ →１１７→・・・ 次にｍの値が４の場合を説明します。

ｍ＝５、７、８の場合(ｎ＝１～１００００） 全て１に到達することが確認できた。 例 n = ３０ ３０→６→４０→８→５０→１０→２→１５→３→２０→４→２５→５→１ n = １２ １２→９８→１４→２→２１→３→２８→４→３５→５→４２→６→４９ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→７→１ n = ３２ ３２→４→４０→５→４８→６→５６→７→６４→８→１ 次にｍの値が５，７，８の場合を説明します。

ｍ＝６の場合(ｎ＝１～１００００） １に到達する場合と、最小値が２３、８８になる場合の３通りになるこ とが分かった。 例 n = １７ １７→１２０→２０→１４４→２４→４→３０→５→３６→６→１ n = ８９ ８９→６２４→１０４→７３２→１２２→８５８→１４３→１００２→１６７ →１１７０→・・・→１３８→２３→１６２→２７→１９２→・・・→１３８→・・・ n = ８１ ８１→５７０→・・・→６１８→１０３→・・・→８８→６１８→１０３→・・・ 次にｍの値が６の場合を説明します。

ｍ＝９の場合(ｎ＝１～１００００） １に到達する場合と、最小値が３５になる場合の２通りになることが分 かった。 例 n = ２ ２→２７→３→３６→４→４５→５→５４→６→６３→７→７２→８→８１ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→９→１ n = ４５１ ４５１→４５１８→５０２→５０２２→５５８→６２→６２１→６９→６９３ →７７→７７４→８６→８６４→９６→９６３→１０７→１０７１→１１９ →１１９７→・・・→３５→３５１→３９→・・・→３５→３５１→３９→・・・　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 次にｍの値が９の場合を説明します。

考察 ・コラッツ予想の式を変形して計算した結果、 コラッツ予想と同様に１に到達する場合とそうでない 場合を発見できた。 ・ｍ＝５，７，８に関しては、全て１に到達するので、 コラッツ予想と関連性があると考えられる。 ・今回はｎの値を１～１００００まで調べたが、それ以降 の値も同じ結果が得られると考えられる。

今後の課題 ・ｍod mの値を増やす。（２桁以上） ・ｎの値の範囲を広げて更に実験を行う。 （１００００以上の値を計算する） ・新たな一般化式を考える。 今後の課題としては、 今回、１ケタのｍの値で計算したのでｍの値を増やすことと １～１００００までのＮの値の範囲を更に広げること（先ほどの考察ではそれ以降の値も同じであると言いましたが確認として計算する） そして、新たな一般化式を考えることです。 ご静聴ありがとうございますた。