アトラス日本 QCD 勉強会　　　

尾高さんからの“宿題” Renormalization 尾高さんからの“宿題”　　　 Renormalization ・ EW では on-shell で良かったのに、QCD では何故いろいろな scheme があるのか？ ・ それらは何処が違うのか？ ・ 違いは計算結果にどの様な形で現れるのか？ ・ Renormalization scale はどういう指針で決めたら良いのか？ ・ Renormalization scale の不定性とはどういうことなのか？ ・ 何故、理論にその様な不定性があるのか？ PDF/Factorization ・ Factorization とは何？何故必要なのか？ ・ どんな場合に factorize 出来るのか？ ・ Factorization と PDF の関係は？ ・ PDF が energy scale に依存するというのはどういうことか？どの様なイメージを持ったら良いのか？ ・ PDF と initial-state PS (Parton Shower) との関係は？ ・ PDF にもいろいろあるが、その違いは？例えば CTEQ と MRST の違いや、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 CTEQ6L と CTEQ6M, CTEQ6D の違い。 ・ PDF と matrix element の整合性は？NLL (NLO) PDF と LO ME を繋げても良いのか？ ・ “Resummation” という言葉も聞くが、どういう事か？ NLO/NNLO ・ NLO/NNLO の計算はどれくらい大変なのか？ ・ 何処まで出来ているのか？ ・ 数年以内にどの辺まで出来そうか。 ・ alpha_s の摂動計算の order と matrix element の摂動の order の関係は？整合性の問題はないのか？ ・ Renormalization scale 依存性は radiative correction の結果として現れるはずなのに、何故 tree の 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　matrix element にも現れるのか？

アトラス日本 QCD 勉強会 （新年会？） Jiro Kodaira (Dept. of QCD*, Hiroshima) 　　　　　　　　　　　　　　　　（新年会？）　　　 Jiro Kodaira (Dept. of QCD*, Hiroshima) January 7-8, 2005 at KEK Renormalization and Related Issues Basics of pQCD Toward the Precision QCD Present Status and Future * Private

QCD : 美貌の裏に潜む影 美しき方程式 c 美しき物にはご注意を !! Einstein Eq. of Gravity QCD Quantization → 美しき物にはご注意を !!

1. Renormalization and Related Issues Lagrangian and Two Suspicions Normalization of ? What are m0 and g0 ? Both were Fixed at Classical (Tree) Level0 But m and g are parameters determined from “Experiments”

Very Important Lesson Renormalization One Must Define Coupling Constant g Corresponding to some (Arbitrary) Condition Very Important Lesson To Define Theory, a Scale μ is inevitable!! “Nature reads the books of free field theory” By Gell-Mann (’ 71) “God reads the books of interacting field theory” By J. K. (’ 05)

One Dimensional Toy Model Analysis Suppose for some Quantity F(p) Define “Renormalized Coupling Constant” such as NOTE: Renormalization Scheme = Choice of μ　(Renormalization Scale) + Relation between gR and F(μ) (Renormalization Prescription)

of Perturbation Theory Renormalization Scheme and Ambiguity One Can Choose Any Renormalization Scheme Different Scheme 　⇔　Different Definition of Z　 e.g. so Now, Tragedy and Destiny of Perturbation Theory

● EW-theory: Mass is Observable →　Can be an Input Parameter On-Shell Scheme is “Natural” (Scheme Dependence is Small due to Small Coupling) ● QCD: Quark and Gluon are Confined →　Can Not be Observed What does On-Shell Mean? (Scheme Dependence is Large due to Large Coupling)

尾高さんからの“宿題” 〆 Renormalization 尾高さんからの“宿題”　　　 〆　Renormalization ・ EW では on-shell で良かったのに、QCD では何故いろいろな scheme があるのか？ ・ それらは何処が違うのか？ ・ 違いは計算結果にどの様な形で現れるのか？ ・ Renormalization scale はどういう指針で決めたら良いのか？ ・ Renormalization scale の不定性とはどういうことなのか？ ・ 何故、理論にその様な不定性があるのか？ PDF/Factorization ・ Factorization とは何？何故必要なのか？ ・ どんな場合に factorize 出来るのか？ ・ Factorization と PDF の関係は？ ・ PDF が energy scale に依存するというのはどういうことか？どの様なイメージを持ったら良いのか？ ・ PDF と initial-state PS (Parton Shower) との関係は？ ・ PDF にもいろいろあるが、その違いは？例えば CTEQ と MRST の違いや、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 CTEQ6L と CTEQ6M, CTEQ6D の違い。 ・ PDF と matrix element の整合性は？NLL (NLO) PDF と LO ME を繋げても良いのか？ ・ “Resummation” という言葉も聞くが、どういう事か？ NLO/NNLO ・ NLO/NNLO の計算はどれくらい大変なのか？ ・ 何処まで出来ているのか？ ・ 数年以内にどの辺まで出来そうか。 ・ alpha_s の摂動計算の order と matrix element の摂動の order の関係は？整合性の問題はないのか？ ・ Renormalization scale 依存性は radiative correction の結果として現れるはずなのに、何故 tree の 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　matrix element にも現れるのか？

2. Basics of pQCD Basic Idea 1. Basic Ingredients ● Renormalization Group Equation Physical Quantity e.g. Cross Section CAN NOT Depend on μ (Renormalization Scale) ● Asymptotic Freedom When μ → Large , g (μ)　→　Small

If we Apply Perturbative Expansion from the Beginning 2. General Strategy In QCD when μ→∞　, g (μ)　→　0 What will Happen? If we Apply Perturbative Expansion from the Beginning to Quark and Gluon System In Real World, Quark and Gluon are Confined ↑ Relation to Real Observable will be Considered Later Consider “Observable” in Quark and Gluon World Q = Typical Momentum , p = Mom. of External Particle Neglect Mass Effects for Simplicity

Infrared Singularity (1st Case)

Factorization (2nd Case) Specified state in the Process e.g. DIS, Drell-Yan, 1PI, …… →　Mass Singularity Remains!! Singularity Should be Factorized to Obtain Well Defined Perturbative Part 1. Strategy and Scenario (for DIS)

What we Should (Want to) Show Mass Singularity is Factorized into Γ 　　　　　　　 　with C and q being Finite Where q0 is “Bare” Distribution Function inside Hadron To Prove this, we take Normally

Processes for which Factorization Holds (Typical Examples)

We Call f PDF , ( C Hard Part ) 2. DGLAP Equation “Observable” Should Not Depend on Factorization Scale ↓ 　　　　　　　　 　DGLAP Equation We Call f PDF , ( C Hard Part ) f Contains Non-Perturbative Information so, Not Calculable in Perturbation Theory but its μF Dependence is Calculable 　　　　　 　if

μF is the Analyzing Power of our Microscope PDF Depends on the SCALE!! QCD Improved Parton Model might be a Good Starting Point Partons (Quark and Gluon) Spread their Size due to QCD Interaction μF is the Analyzing Power of our Microscope so μF Shows μF-1 Scale Structure of Quark-Gluon Systems

3. Factorization Scheme Dependence There is Ambiguity in Definition of C and f ↑ 　　　　　　　　　　Definition of Γ For Simplicity, Consider DIS and Take “Moments” and so

4. Importance of Factorization Theorem (Physical) (Arbitrary) (Arbitrary) Factorization　 →　Well Defined 　　　　　　　　　　　　　　　　Pert. and Non-Pert. Objects ● Universal Objects Fix by Some Experiments → Prediction for Other Exp. ● Simple Objects e.g. Light-Cone DAs Possibility to Go Ahead → Analytically, Lattice, etc.

5. Miscellany Difficult Question by Odaka-san 　　 “どんな場合に　Factorize できるのか？” My Answer: I Do NOT Know, Process Dependent at Moment

尾高さんからの“宿題” 〆 Renormalization 尾高さんからの“宿題”　　　 〆 Renormalization ・ EW では on-shell で良かったのに、QCD では何故いろいろな scheme があるのか？ ・ それらは何処が違うのか？ ・ 違いは計算結果にどの様な形で現れるのか？ ・ Renormalization scale はどういう指針で決めたら良いのか？ ・ Renormalization scale の不定性とはどういうことなのか？ ・ 何故、理論にその様な不定性があるのか？ 半分 〆 PDF/Factorization ・ Factorization とは何？何故必要なのか？ ・ どんな場合に factorize 出来るのか？ ・ Factorization と PDF の関係は？ ・ PDF が energy scale に依存するというのはどういうことか？どの様なイメージを持ったら良いのか？ ・ PDF と initial-state PS (Parton Shower) との関係は？ ・ PDF にもいろいろあるが、その違いは？例えば CTEQ と MRST の違いや、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 CTEQ6L と CTEQ6M, CTEQ6D の違い。 ・ PDF と matrix element の整合性は？NLL (NLO) PDF と LO ME を繋げても良いのか？ ・ “Resummation” という言葉も聞くが、どういう事か？ NLO/NNLO ・ NLO/NNLO の計算はどれくらい大変なのか？ ・ 何処まで出来ているのか？ ・ 数年以内にどの辺まで出来そうか。 ・ alpha_s の摂動計算の order と matrix element の摂動の order の関係は？整合性の問題はないのか？ ・ Renormalization scale 依存性は radiative correction の結果として現れるはずなのに、何故 tree の 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　matrix element にも現れるのか？

3. Toward the Precision QCD To Reduce Theoretical Ambiguities (Error ≦ 10%) ● Scale （Scheme） Dependence X-Sections do not Depend on μ（R,F,…) BUT Truncation Does Induce Scale Dep. !! → LO (Nonsense) → NLO → NNLO → … ● Edge of Phase Space Perturbative Parts: Free From Singularity BUT In Edge Region of Phase Space Large Log Corrections → Resummation ● PDF , PFF Fitting (Non-Pert. Object) Data (HERA + TEVATRON + LEP) + Theory Used

(NLO = 1-loop Hard part + 2-loop DGLAP) PDF 1. Status until ‘04 (NLO = 1-loop Hard part + 2-loop DGLAP) To Determine PDF, Two Errors Enter Data + Theory　(μR2 = μF2 = Q2 : fixed )

2. Status this Year NNLO = 2-loop Hard Part + 3-loop DGLAP Available !! Moch, Vermaseren and Vogt (’04) Error: NLO (10-20%) to NNLO (a few – 10%) 3. MRST vs. CTEQ Differ in the Input Functional Form of PDF and Data Used Must Parametrize PDF at some Scale ≒ 1 ～3 GeV MRST: Conventional (Regge …..) CTEQ: Pragmatic (Best Fits …)

PFF (Heavy Quark Production) Total X-section, b-tagged Jets Theory and Data: Almost Consistent pT Distribution of B Meson Cacciari and Nason (’02) Controversy ? But Fragmentation Functions FONLL by Cacciari, Greco and Nason (’98)

Example of Higgs Production (gg → H) at LHC (NNLO) NLO/NNLO Example of Higgs Production (gg → H) at LHC (NNLO) ● LO (tree) Georgi, Glashow, Machacek and Nanopoulos ’78 ● NLO (1-loop) Dawson ’91 Spira et al. ’91 ( Mt → ∞ ) 　　　　　　　　　 Spira et al. ’95 ( Exact ) NLO Correction 　～ 100 % !!!!! ● NNLO (2-loop) Harlander ’00 ( Virtual ) Catani et al. ’01 Harlander and Kilgore ’01 ( Soft ) Harlander and Kilgore ’02 ( Numerical ) Anastasiou and Melnikov ’02 Ravindran et.al ’03 ( Exact ) NNLO Correction ～　Moderate

Physically Natural One Choice of Scale ← No Answer Physically Natural One Check Stability with [pb]

→ Does Not Mean Good Perturbation Resummation Program : Finite in Distribution Sense !! →　Does Not Mean Good Perturbation In Edge Region of Phase Space Two Scale Problem vs. One Scale Problem Ex. 1 Structure Function Small x ( s >> Q2) , Large x ( s << Q2) Ex. 2 Drell – Yan Type Process Threshold Logs Recoil or QT Logs Large αS ln 2 ( Ratio of Two Scales) Appear

Structure of PT with Two Different Scales Putting Rearrange Perturbative Series such that

Two Explicit Examples for D-Y Type Process →　Resummation of Large Logs. to All Orders In Both Cases, with

尾高さんからの“宿題” 〆 Renormalization 尾高さんからの“宿題”　　　 〆 Renormalization ・ EW では on-shell で良かったのに、QCD では何故いろいろな scheme があるのか？ ・ それらは何処が違うのか？ ・ 違いは計算結果にどの様な形で現れるのか？ ・ Renormalization scale はどういう指針で決めたら良いのか？ ・ Renormalization scale の不定性とはどういうことなのか？ ・ 何故、理論にその様な不定性があるのか？ 〆 PDF/Factorization ・ Factorization とは何？何故必要なのか？ ・ どんな場合に factorize 出来るのか？ ・ Factorization と PDF の関係は？ ・ PDF が energy scale に依存するというのはどういうことか？どの様なイメージを持ったら良いのか？ ・ PDF と initial-state PS (Parton Shower) との関係は？ ・ PDF にもいろいろあるが、その違いは？例えば CTEQ と MRST の違いや、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 CTEQ6L と CTEQ6M, CTEQ6D の違い。 ・ PDF と matrix element の整合性は？NLL (NLO) PDF と LO ME を繋げても良いのか？ ・ “Resummation” という言葉も聞くが、どういう事か？ 半分 〆 NLO/NNLO ・ NLO/NNLO の計算はどれくらい大変なのか？ ・ 何処まで出来ているのか？ ・ 数年以内にどの辺まで出来そうか。 ・ alpha_s の摂動計算の order と matrix element の摂動の order の関係は？整合性の問題はないのか？ ・ Renormalization scale 依存性は radiative correction の結果として現れるはずなのに、何故 tree の 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　matrix element にも現れるのか？

Key Points: 4. Present Status and Future ● PDF （NNLO) and PFF (FONLL ?) ● NNLO Calculation (Present Status!!) 2 → 2, 2 → 3, … Two-loop Glover, Gehrmann, Remiddi, Bern, Dixon, Kosower, Chetyrkin, Tkachov, Giele, ……. ● NNLL Resummation (Present Status!!) ● Interplay between Perturbative ⇔ Non-Perturbative ● MC Simulation of Events Ref. e.g. W. J. Stirling, ICHEP04

●　Present Status of NNLO Calculation

Some Caveat for the List An Example for the Sum rule (e.g. Bj Sum Rule) Once upon a time, some people claim inclusion of higher order correction to C1 improves the agreement of Th. with Exp. BUT Exp. (Left Hand Side) uses the NLO Formula!!

● Scale Ambiguity at NNLO (Jet Production) with C not known, so C = 0, ±B2/A E.W.N.Glover

●　NNLO (3-loop) DGLAP (MVV) Small x behavior is Interesting !!?? related to BFKL

●　Higher Order Calculations at NNLO 2 →2　Amplitude Master Integral: Almost Finished(?) 2 →n Amplitude Very Difficult !!!!!!!!! Ask Dr.Yasui Maximum Helicity Violating (MHV) Amplitude Parke and Taylor (’ 86) Witten (’ 03) String Theory in Twistor Space?? Cachazo, Svrcek and Witten (’ 04) ……..

尾高さんからの“宿題” は終わった？ Renormalization 尾高さんからの“宿題” は終わった？　　　 Renormalization ・ EW では on-shell で良かったのに、QCD では何故いろいろな scheme があるのか？ ・ それらは何処が違うのか？ ・ 違いは計算結果にどの様な形で現れるのか？ ・ Renormalization scale はどういう指針で決めたら良いのか？ ・ Renormalization scale の不定性とはどういうことなのか？ ・ 何故、理論にその様な不定性があるのか？ PDF/Factorization ・ Factorization とは何？何故必要なのか？ ・ どんな場合に factorize 出来るのか？ ・ Factorization と PDF の関係は？ ・ PDF が energy scale に依存するというのはどういうことか？どの様なイメージを持ったら良いのか？ ・ PDF と initial-state PS (Parton Shower) との関係は？ ・ PDF にもいろいろあるが、その違いは？例えば CTEQ と MRST の違いや、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 CTEQ6L と CTEQ6M, CTEQ6D の違い。 ・ PDF と matrix element の整合性は？NLL (NLO) PDF と LO ME を繋げても良いのか？ ・ “Resummation” という言葉も聞くが、どういう事か？ NLO/NNLO ・ NLO/NNLO の計算はどれくらい大変なのか？ ・ 何処まで出来ているのか？ ・ 数年以内にどの辺まで出来そうか。 ・ alpha_s の摂動計算の order と matrix element の摂動の order の関係は？整合性の問題はないのか？ ・ Renormalization scale 依存性は radiative correction の結果として現れるはずなのに、何故 tree の 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　matrix element にも現れるのか？