数理統計学 西　山

前回の最後 クイズ 確率変数Xは、一様分布に従い0から1までの任意の値を等しい可能性でとる。いま変数Yを𝑌= 𝑋 と定義すると、𝑌はどんな分布に従い、期待値はいくらになるか？ 6月10日（火）授業までに提出（任意）。中間試験・問４の理解度判定の参考にする。

変数Xは一様分布 𝑋 2 は小さい値をとりやすい 𝑋 は大きい値をとりやすい

各自、R＠情報処理センターで確かめること > x <- runif(10000) > par(mfrow=c(3,1)) > hist(x,prob=T) > hist(x^2,prob=T) > hist(sqrt(x),prob=T)

Xが一様分布ということは 𝐹 𝑥 =𝑥 𝑥 1 𝐸 𝑋 = 1 2 𝑉 𝑋 = 1 12 𝑓 𝑥 = 𝐹 ′ 𝑥 =1 X 1 期待値の計算をすると（例題１７） 1 𝐸 𝑋 = 1 2 𝑉 𝑋 = 1 12 𝑓 𝑥 = 𝐹 ′ 𝑥 =1 X 𝑥 1 （任意のある値）

問題はYの分布の形がどうなるか？ 確率（＝面積）に着目する ２

次の目標＜教科書第3章＞ 標本分布（サンプリング分布） 標本分布とは何のことか？ 出やすいデータ、出にくいデータ・・・まとめて考えます。 ここは統計の勉強全体で最大の難関 （今までは） 教科書：　第３章の頁99～111、特に108頁の例題29

【最初の例】データの出方 vs サンプルの結果の出方 サイコロを2回振って出る目の数を合計します。予測できますか？ １ ２ ３ ４ ５ ６ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 出やすい目はない。しかし、2回の合計は７になりやすい。

『合計７が出やすい』 本当か？確認しよう Ｒの実行例 上の実験で「合計が７になった」割合は、確率の理論計算とほぼ一致したか？ > sample(1:6,2,replace=T) [1] 4 4 > sum(sample(1:6,2,replace=T)) [1] 3 [1] 7 > jikken <- replicate(6000,sum(sample(1:6,2,replace=T))) > barplot(table(jikken)) ←　その時によって出る目は違う 上の実験で「合計が７になった」割合は、確率の理論計算とほぼ一致したか？ > sum(jikken==7)/6000 [1] 0.1651667

実験結果（6千回） 頻度 2回の合計

【発展】サイコロを10回振った平均 10回の平均値はどんな値が、どう出るのか？ サンプルの平均値の出方を「標本分布」という Ｒの実行例 > sample(1:6,10,replace=T) [1] 3 3 2 3 4 4 2 3 1 3 [1] 2 5 3 6 6 6 3 2 3 6 データの出方は分かっている 10回の平均値はどんな値が、どう出るのか？ > mean(sample(1:6,10,replace=T)) [1] 3.8 [1] 3.5 [1] 3.4 サンプルの平均値の出方を「標本分布」という

実験結果（1万回） 平均値の標本分布 定理８（106頁） > mean(jikken) [1] 3.49604 > sd(jikken) [1] 0.5330016

他にも、サンプルの分散、標準偏差、最大値 第3章のテーマ 標本分布 合計の出方（＝分布） 平均の出方（＝分布） 他にも、サンプルの分散、標準偏差、最大値 サイコロを6回振って、2番目に大きい目

理論的説明 さいころを10回振る問題＜合計＞ 独立 𝑌= 𝑋 1 + 𝑋 2 +⋯+ 𝑋 10 値 確率 １ 1 6 ２ ３ ４ ５ ６

合計の期待値と分散・標準偏差

【続】合計の特徴　⇔　平均の特徴

正規分布を当てはめる！ ＜＜ データは30～100個以上が目安 最も有名な統計学の定理 中心極限定理 木曜 ここに戻る 同じ母集団からＮ個のサンプルをとって合計を求めるとき、Ｎが十分大きくなれば、合計や平均に当てはまる確率分布は（常に）正規分布に近づく。 教科書：　定理10 正規分布を当てはめる！　＜＜　データは30～100個以上が目安

サイコロ10回の平均値 実験結果（1万回） 平均値の出方には 正規分布が当てはまる

【例題】社会の視聴率15% 300人への視聴率調査 何人くらいが「みた」と答えるか？ 300人のサンプルの結果は視聴率何％くらいか？

アンケート調査： ゼロイチデータ 同じように考える アンケート調査：　ゼロイチデータ 同じように考える 無作為データ、故に互いに独立 𝑌= 𝑋 1 + 𝑋 2 +⋯+ 𝑋 300 値 確率 ０ 0.85 １ 0.15 このあとどうなる？次に、分散V 𝑌 は？

データはすべて０か１である データの出方 （どれも同じ） 結果の出方 （300個合計）

実験結果（1万回） 人数（合計） 平均値 （合計÷人数） 正規分布が 当てはまる > mean(jikken1); sd(jikken1) [1] 45.0199 [1] 6.197979 人数（合計） > mean(ritu1); var(ritu1); sd(ritu1) [1] 0.1500663 [1] 0.0004268327 [1] 0.02065993 正規分布が 当てはまる 平均値 （合計÷人数）

定理８（106頁）が重要ポイント 証明は合計の公式ですぐできる 母集団の特徴は、平均がμ、標準偏差がσ N個のサンプルをとると 合計値 平均値（定理８）

【クイズ】 サイコロを40回振って出る 目の数の平均値は？ 期待値±標準偏差（＝1シグマ区間）で結果を予想せよ。 木曜 ここから 前に戻る

理論的計算の検証（1万回） > mean(jikken40) [1] 3.499728 > sd(jikken40) [1] 0.2704703 > jikken <- replicate(10000,mean(sample(1:6,40,replace=T)))

【解答】 母集団 データの特徴 𝜇=3.5 σ=1.7 （サイコロの目） 平均値の出方は？ サンプル 結果

【クイズ】１００個の０-１変数の合計 値 確率 －１０ ０．５ ＋１０ 1000 100回後の標準偏差？ 100日目 －1000