これまでのあらすじ chapter 1: 情報を測る エントロピー，情報量，情報源の性質 chapter 2: 情報をコンパクトに表現する レポート課題 ... 本日締め切り

chapter 2: 情報をコンパクトに表現する

chapter 2の目的 情報源からの記号（列）を，効率よく（コンパクトに）符号化する 情報源符号化 データ圧縮 情報源符号化の目的: 通信に適した表現方式への変換 情報の中の無駄な部分を整理し，捨て去る 目標とする符号化方式： できるだけ正確に元の情報を復元できること できるだけコンパクトな情報表現を与えること 0101101 符号化 情報源

議論の順序 情報源符号化の基礎 一意復号可能性 瞬時復号可能性 ハフマン符号 ハフマン符号の構成法 ハフマン符号の拡張 データ圧縮の理論限界 今日の目標

用語について はじめに，情報源の記号ごとに符号化を行う方式を考える 𝑀: 情報源が生成する記号の集合 𝑀 の各記号に対し，{0, 1}上の系列を対応付ける 符号語: 𝑀の記号に対応付けられた{0, 1}上の系列 符号語の長さは，同一である必要ない（非等長符号） 符号: 符号語の集合 2種類の文字 {0, 1} を使用...2元符号 M 晴 曇 雨 C 00 010 101 符号語は３つ; 00, 010, 101 符号 C = {00, 010, 101} 011 は符号語ではない

符号化と復号 符号化... 与えられた記号から，対応する符号語を求めること 復号 ... 与えられた符号語から，対応する記号を求めること 晴 曇 雨 00 010 101 符号化 復号 encode = 符号化 decode = 復号 符号語間に，スペース，コンマ等の区切り記号は使わない 01000101101はOK， 010 00 101 101 はNG 「区切り記号 ＝ 第3の文字」 ⇒ 「3元」符号を考えることになってしまう

一意復号可能性 符号は，一意に復号可能でないといけない 異なる記号が同じ符号語を持つのは，当然ＮＧ 異なる記号が異なる符号語を持つ，だけでも不十分 異なる記号系列は，異なる0-1系列に符号化されること a1 a2 a3 a4 C1 00 10 01 11 C2 011 111 C3 C4 C4 を使う場合... a1 a3 a1 a4 a2 0110 OK OK NG NG

一意性だけで十分か？ C2 を使ってa1, a4, a4, a1を符号化，1bit/secでデータ送信 受信者が，最初の記号を確定できるのはいつか？ ７秒経過後 ... 0111111 まで受信 次に 0 が来ると，0 - 111 - 111 - 0  a1, a4, a4, a1 次に 1 が来ると， 01 - 111 - 111  a2, a4, a4 7秒後でも，最初の記号すら確定できない  受信データのバッファが必要，復号遅延の問題...  動画ダウンロードだったら，どうなるか a1 a2 a3 a4 C2 01 011 111

× 瞬時復号可能性 実用的なシステムでは，瞬時に復号可能であることが望ましい 「符号語のパターンが出現したら，即時に復号して良い」 一意復号可能性の「上位」の性質 「瞬時復号可能」ならば「一意復号可能」である 符号 𝐶 が瞬時復号可能である必要十分条件： 任意の系列 𝑠∈ 0,1 ∗ に対し， 𝑠= 𝑐 1 𝑠 1 となる符号語 𝑐 1 ∈𝐶が存在するならば， 𝑠=𝑐 2 𝑠 2 となる他の符号語 𝑐 2 ∈𝐶 が存在しない × 𝑐1 𝑠1 𝑐2 𝑠2 =

語頭条件 符号が瞬時復号可能でないならば， 𝑠= 𝑐 1 𝑠 1 = 𝑐 2 𝑠 2 となる 系列𝑠∈ 0,1 ∗ と，二つの異なる符号語 𝑐 1 , 𝑐 2 が存在する 𝑐1 𝑠1 𝑐 1 と 𝑐 2 の長さは異なる 𝑐 1 は 𝑐 2 の語頭である，という （ 𝑐 1 のほうが短い場合） = 𝑐2 𝑠2 補題: 符号 C が瞬時復号可能である必要十分条件は，他の符号語の語頭となる符号語が存在しないこと (prefix condition, 語頭条件) a1 a2 a3 a4 C2 01 011 111 “0” は “01” と “011”の語頭 “01” は “011”の語頭

雑談：語頭条件とユーザインタフェース 語頭条件は，情報理論以外でも重要 graffiti (ver. 2) ２画の文字が出現 Palm Vx 1999発売 Sony Clie PEG-TH55 2004年発売 graffiti (ver. 2) ２画の文字が出現 語頭条件に反する “3-1”と書いたつもりが “3+” に... graffiti (ver. 1) すべて一筆書きでＯＫ

語頭条件を確保するには 語頭条件を満たす符号の作り方: 全ての符号語を，同じ長さで設計する; 等長符号 符号語の最後（だけ）に「特殊パターン」を置く C = {011, 1011, 01011, 10011} ; “コンマ符号” ... どちらも，（後述する）効率がよくない 木構造を利用して符号語を選ぶ (「符号木」) 2元符号の場合，次数が2の木を利用 𝑘元符号の場合，次数が𝑘の木を利用 次数3の 符号木

符号の構成法（𝑘元の場合） 𝑀個の符号語を持ち，語頭条件を満たす𝑘元符号の作り方 葉を𝑀個持つような，次数𝑘の木𝑇を構成する 𝑇の各枝に，0から𝑘−1の値をラベル付けする 兄弟が同じラベルを持つことは禁止 根節点から葉節点まで木をたどり，途中のラベルを連接する  連接の結果得られる系列を符号語とする

構成例 𝑀=4個の符号語を持つ𝑘=2元符号を構成する Step 1 Step 2 Step 3 1 1 00 01 10 11 1 1 00 01 10 11 構成された符号は {00, 01, 10, 11}

構成例（続き） 他の構成方法もアリ; 異なる木を使う，異なるラベル付けを行う... C1={0, 10, 110, 111} 1 1 1 1 C1={0, 10, 110, 111} C2={0, 11, 101, 100} 1 C3={01, 000, 1011, 1010} どのように作っても，語頭条件は保証される  瞬時復号可能な符号となる

? 「最良な」瞬時復号可能符号 1 1 C1={0, 10, 110, 111} C3={01, 000, 1011, 1010} 1 1 C1={0, 10, 110, 111} C3={01, 000, 1011, 1010} C1の符号語のほうが，C3の符号語より短そう... 符号語の長さ = [1, 2, 3, 3] vs. [2, 3, 4, 4] もっとコンパクトな瞬時復号可能符号はあるか？ たとえば 符号語の長さ= [1, 1, 1, 1]? 符号語の長さ = [1, 2, 2, 3]? 符号語の長さ = [2, 2, 2, 3]? ? どこに壁がある？

クラフトの不等式 定理: A) 𝑘元符号 {𝑐1, …, 𝑐𝑀} （| 𝑐 𝑖 | = 𝑙 𝑖 とする）が瞬時復号可能なら， 𝑘 − 𝑙 1 +…+ 𝑘 − 𝑙 𝑀 ≤1 （クラフトの不等式）が成り立つ ... 次ページで証明 B) もし 𝑘 − 𝑙 1 +…+ 𝑘 − 𝑙 𝑀 ≤1なら， 瞬時復号可能な 𝑘元符号 {𝑐1, …, 𝑐𝑀} で |𝑐𝑖| = 𝑙 𝑖 となるものが存在する ... 深さ 𝑙 𝑖 に葉節点を配置していけばよい

定理Ａパートの証明（𝑘=2の場合） A) 2元符号 {𝑐1, …, 𝑐𝑀} （| 𝑐 𝑖 | = 𝑙 𝑖 とする）が瞬時復号可能なら， 2 − 𝑙 1 +…+ 2 − 𝑙 𝑀 ≤1 （クラフトの不等式）が成り立つ 証明：ℎ= max 𝑙 𝑖 とし， 2 ℎ− 𝑙 1 +…+ 2 ℎ− 𝑙 𝑀 ≤ 2 ℎ を示せばよい 高さℎの完全２分木を考える 深さℎにある節点の総数＝ 2 ℎ 符号語 𝑐 𝑖 ＝深さ 𝑙 𝑖 の節点，先祖・子孫に他の符号語ナシ 深さℎにある 𝑐 𝑖 の子孫の数＝ 2 ℎ− 𝑙 𝑖 よって 2 ℎ− 𝑙 𝑖 ≤ 2 ℎ 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 2 ℎ ℎ=4 2 ℎ−2 2 ℎ−3 2 ℎ−4

具体例に戻って考える できるだけコンパクトな瞬時復号可能な 2元符号を作りたい 符号語の長さ = [1, 2, 2, 3]? … 2 −1 + 2 −2 + 2 −2 + 2 −3 = 9 8 >1 瞬時復号可能な符号は構成できない 符号語の長さ = [2, 2, 2, 3]? … 2 −2 + 2 −2 + 2 −2 + 2 −3 = 7 8 <1 瞬時復号可能な符号を構成可能...符号木を使えば簡単

次の段階へ 情報源符号化の基礎 一意復号可能性 瞬時復号可能性 ハフマン符号 ハフマン符号の構成法 ハフマン符号の拡張 データ圧縮の理論限界

「コンパクトさ」の指標 情報をコンパクトに表現する符号を作りたい 1個の記号を表現する符号語の長さの期待値を小さくしたい ＝ 平均符号語長 𝑎1 𝑎2 : 𝑎𝑀 確率 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑀 符号語 𝑐1 𝑐2 𝑐𝑀 長さ 𝑙1 𝑙2 𝑙𝑀 平均符号語長は 𝑖=1 𝑀 𝑝 𝑖 𝑙 𝑖 ビット （記号）

平均符号語長の計算例 記号 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 確率 0.4 0.3 0.2 0.1 𝐶1 10 110 111 𝐶2 111 110 10 110 111 𝐶2 111 110 10 𝐶3 00 01 10 11 𝐶1: 0.4×1+ 0.3×2+ 0.2×3+ 0.1×3 = 1.9 𝐶2: 0.4×3+ 0.3×3+ 0.2×2+ 0.1×1 = 2.6 𝐶3: 0.4×2+ 0.3×2+ 0.2×2+ 0.1×2 = 2.0 𝐶1 が最も効率よく（＝コンパクトに）情報を表現できる（はず）

ハフマン符号 ハフマンアルゴリズム： 平均符号語長の小さな瞬時復号可能符号を作る方法 M 個の節点を準備し，各節点に記号の 確率を付与する （節点 ＝ サイズ １の木） 木が一個になるまで，以下の操作を繰り返す 確率最小の木を二個選択 ... T1, T2 とする 新しい節点を導入し， T1, T2 を新節点の子とする （二個の木を一個に併合） T1, T2 の確率の和を，併合してできた木の確率とする David Huffman 1925-1999

例 “資本の小さな会社の合併劇” 0.05 D 0.1 C 0.25 B 0.6 A 0.05 D 0.1 C 0.15 0.25 B 0.4 0.6 A 0.05 D 0.1 C 0.15 0.25 B 0.4 0.6 A 1.0 1

練習問題 A B C D E 確率 0.2 0.1 0.3 符号語 「等長符号」と平均符号語長を比べると，ありがたみがわかる

符号構成の自由度について ハフマンアルゴリズムの実行結果は，一意でない可能性も... 同じ確率を持つ節点が多数存在 枝へのラベル付けにも，自由度がある 異なる選択肢を取ると異なるハフマン符号ができあがる，が， 平均符号語長は，どの選択肢を取っても変わらない 0.4 a1 0.2 a2 a3 0.1 a4 a5 0.4 a1 0.2 a2 a3 0.1 a4 a5

ここまでのまとめ 情報源符号化の基礎 一意復号可能性 瞬時復号可能性 ハフマン符号 ハフマン符号の構成法 ハフマン符号の拡張 データ圧縮の理論限界

練習問題 A B C D E F 確率 0.3 0.2 0.1 符号語 右図に示す記号に対し ハフマン符号を構成し， その平均符号語長を求めよ