圧縮を用いた類似度判定 のための計算実験 谷研究室 新井 秀 森田 岳史

目次 はじめに 類似度の判定方法 圧縮アルゴリズム 実験 今後の課題

目次 はじめに 類似度の判定方法 圧縮アルゴリズム 実験 今後の課題

類似度判定とは？ ２つの対象が相互に 似ているか、似ていないか判定すること 図１ヒト 図２ サル 例えば・・ 似ている？ 図２　サル 例えば・・ 似ている？ ※図１　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%BB%E5%83%8F:Human.svg ※図２　　　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%BB%E5%83%8F:Jigokudani_hotspring_in_Nagano_Japan_001.jpg

類似度判定 Ming Liらが、対象を選ばず 機械的に行える類似度判定法を提案！ 専門的な知識が必要。 方言などの場合、専門家の知識・経験に頼るとこ ろがある。 Ming Liらが、対象を選ばず 機械的に行える類似度判定法を提案！

Ming Liらが提案 した類似度の特徴 パラメータを特定しない 対象を選ばない（万能性） 前提や専門知識を必要としない 人の感情が介入しないため、新たな発見も　する 場合もある

Ming Liらの提案 した類似度 Kolmogorov記述量 を利用 Kolmogorov記述量 は計算不可能 データを圧縮したサイズ によって代用!

事例１ ミトコンドリアDNAからの哺乳類進化系統樹自動生成 rudiらの論文より抜粋

事例２ ロシア小説の類似度による系統樹自動生成 rudiらの論文より抜粋

谷研究室での事例１ 音楽の自動分類 三井氏の論文より抜粋

谷研究室での事例２ 方言の自動分類 堀中氏らの論文より抜粋

本研究の目的 以前の類似度判定では、 圧縮率の高さからbzip2を採用 Kolmogorov記述量を代用する 圧縮ソフトについて どれが適したものか あまり考えてこなかった

本研究の目的 いくつかの圧縮ソフト を用いた計算実験を行う。 類似度を算出する際に 適した圧縮ソフトを 検証する。

目次 はじめに 類似度の判定方法 圧縮アルゴリズム 実験 今後の課題

Kolmogorov記述量とは 規則性を表す 指標

規則性・ランダム性 サイコロを５回振る 出た目 パターン１ 同確率 確率では 測れない １ １ １ １ １ パターン２ ３ ５ １ ３ ２

規則性・ランダム性 #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main(void) { int i; for(j=0;j<100;j++){ for (i = 0;i <100;i++) { printf("%d\n", (int)(rand()*100/(1+RAND_MAX)); } return 0; 84 39 78 79 91 19 33 76 27 55 47 62 36 51 95 91 63 71 14 60 1 24 13 80 15 40 12 10 99 21 51 83 61 29 63 52 49 97 29 77 52 76 40 89 28 35 80 91 6 94 52 8 19 66 89 34 6 2 45 6 23 97 90 85 26 53 37 76 51 66 53 3 43 93 93 72 28 73 63 35 68 16 44 88 82 33 22 89 35 68 95 58 65 85 43 92 39 81 68 91 ある疑似乱数生成プログラム で作られた１以上９９以下の 整数 規則性があれば プログラムで短く 表現できる可能性がある プログラムやアルゴリズムも 規則表現の一つかもしれない

Kolmogorov記述量 あるプログラム言語でデータｘを生成する最小の プログラムサイズのこと。K(x)と表す。 データの規則性やランダム性などのデータに含 まれる情報量をデータを作る　　　　　　プログラム サイズで評価する方法。 Kolmogorov記述量は圧縮の限界。

Kolmogorov記述量 あるプログラム言語でデータを生成する最小の プログラムサイズのこと。K(x)と表す。 データの規則性やランダム性などのデータに含 まれる情報量をデータを作る　　　　　　プログラム サイズで評価する方法。 Kolmogorov記述量は圧縮の限界。

なぜ圧縮の限界？ 圧縮はKolmogorov記述量の 近似！ 圧縮 ｘの圧縮ファイル データｘ 解凍 解凍プログラム データｘ

条件付Kolmogorov記述量とは? 補助情報yを利用したKolmogorov記述量。K(x|y)とあらわす。 いちからデータx を作ると必然と Kolmogorov記述量 は大きい。 補助情報 を使うと Kolmogorov 記述量は 小さくなる データx 補助情報 データy

𝑥に含まれる𝑦の情報量 𝐼（𝑥:𝑦） 𝐼𝑦:𝑥＝𝐾𝑥−𝐾（𝑥｜𝑦） 𝐼𝑥:𝑦≒𝐼𝑦:𝑥であることが知られている

正規化する Xの中にyの情報が これだけ入ってる とみなす ことも出来る I(x:y) 𝑥に含まれる𝑦の情報量 𝐼（𝑥:𝑦）=𝐾𝑥−𝐾𝑥｜𝑦 𝐾𝑥 I(x:y) 𝐾𝑥｜𝑦 正規化する Xの中にyの情報が これだけ入ってる とみなす ことも出来る

NID (Normalized Information Distance) この値が 類似度 となる!! Ming Liらの研究では、情報に関する距離を正規化した。 その距離をNIDと呼ぶ。 𝐾を𝐾𝑜𝑙𝑚𝑜𝑔𝑜𝑟𝑜𝑣記述量、𝐾𝑥｜𝑦を補助情報つき𝐾𝑜𝑙𝑚𝑜𝑔𝑜𝑟𝑜𝑣記述量 として任意のデータ𝑥,𝑦について、𝑥,𝑦間の情報に関する距離 𝑁𝐼𝐷は以下と提案される。 𝑁𝐼𝐷𝑥,𝑦= 𝑚𝑎𝑥｛𝐾𝑥｜𝑦,𝐾𝑦｜𝑥｝ 𝑚𝑎𝑥｛𝐾𝑥,𝐾𝑦｝

NID (Normalized Information Distance) ２つのデータ間の距離 パラメーターを特定しない 対象を選ばない（万能性） Kolmogorov記述量は帰納的でない　　　　　　　 数学的に定義できるが、有限の時間で計算でき ると限らない 実用的な圧縮した サイズで代用する

NCD (Normalized Compression Distance) 𝑁𝐼𝐷𝑥,𝑦= 𝑚𝑎𝑥｛𝐾𝑥｜𝑦,𝐾𝑦｜𝑥｝ 𝑚𝑎𝑥｛𝐾𝑥,𝐾𝑦｝ 𝑁𝐶𝐷𝑥,𝑦= 𝐶𝑥𝑦−𝑚𝑖𝑛｛𝐶𝑥,𝐶𝑦｝ 𝑚𝑎𝑥｛𝐶𝑥,𝐶𝑦｝ 𝑥𝑦を𝑥とｙの連接とする 𝑥,𝑦:あるデータ 𝐶:ある圧縮アルゴリズム 𝐶（𝑥）:𝑥を圧縮した後のサイズ

Normal Compressor NCDで用いる。圧縮ソフトは万能性を保つためいくつかの制約がある。以下の定義を満たしていること望ましい。 𝐶𝜆=0⇔𝜆が空のファイル 𝐶𝑥𝑥=𝐶𝑥 𝐶𝑥𝑦≥𝐶𝑥 𝐶𝑦𝑥=𝐶𝑥𝑦 𝐶𝑥𝑦≤𝐶𝑥𝐶𝑦 𝐶𝑥𝑦𝐶𝑧≤𝐶𝑥𝑧𝐶𝑦𝑧 ファイルxと ファイルyを 連接させたモノ と その逆をして、 圧縮した結果は ファイルサイズが 等しい。 あるファイルx を2つ連続させて 圧縮させた場合 とファイルxを 圧縮した場合の ファイルサイズ は等しい 空のファイル を 圧縮した場合 ファイルサイズ は0になる。 𝑥,𝑦,𝑧:あるファイル 𝐶：ある圧縮ソフト 𝐶𝑥:ファイル𝑥を圧縮した後のサイズ 𝑥𝑦:𝑥と𝑦の連接 𝑂 log 𝑛 の差は無視𝑛:最長の文字列

NCD (Normalized Compression Distance) 類似度が高いとき 𝑁𝐶𝐷𝑥,𝑦= 𝐶𝑥𝑦−𝑚𝑖𝑛｛𝐶𝑥,𝐶𝑦｝ 𝑚𝑎𝑥｛𝐶𝑥,𝐶𝑦｝ = 𝐶𝑥𝑥−𝐶𝑥 𝐶𝑥 （𝑥≒𝑦） =0

NCD (Normalized Compression Distance) 類似度が低いとき 𝑁𝐶𝐷𝑥,𝑦= 𝐶𝑥𝑦−𝑚𝑖𝑛｛𝐶𝑥,𝐶𝑦｝ 𝑚𝑎𝑥｛𝐶𝑥,𝐶𝑦｝ = 𝐶𝑥𝐶𝑦−𝐶𝑥 𝐶𝑦 =1

NCD (Normalized Compression Distance) ２つのデータ間の距離 パラメーターを特定しない 対象を選ばない（万能性） 実験が 容易に出来る！

目次 はじめに 類似度の判定方法 圧縮 実験 今後の課題

圧縮とは？ 音声や文章などのデータを より小さな量のデータに 変換する処理のこと。

圧縮のしくみ なぜ圧縮が出来るのか →データにはパターンや無駄が存在し、その無 駄を省くことによってデータ量を小さく できる。

圧縮のしくみ ランレングス符号化

ランレングス符号化 入力データ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 圧縮データ 4 1 1 1 2 1 4 1 1 1 3 1 2 1

圧縮ソフト いくつかのアルゴリズム 組み合わせる 例えば…bzip2 ブロックソート法 Move-to-Front法 ハフマン符号化

bzip2 1996年にジュリアン・セワード (Julian Seward) に より開発。 gzipやZIPより高い圧縮率を誇っている ブロックソート法、Move-To-Front法、ハフマン 符号化法を組み合わせた圧縮アルゴリズム。 Wikipedia(http://ja.wikipedia.org/wiki/Bzip2) より

bzip2 1996年にジュリアン・セワード (Julian Seward) に より開発。 gzipやZIPより高い圧縮率を誇っている ブロックソート法、Move-To-Front法、ハフマン 符号化法を組み合わせた圧縮アルゴリズム。 Wikipedia(http://ja.wikipedia.org/wiki/Bzip2) より

ブロックソート法 圧縮アルゴリズムの前処理 文字が偏り(同じ文字が連続)やすくなるため、圧 縮の効率がよくなる

入力：Eababadb 入力された文字を 全ての文字列を ローテーションする ソートする。 E a b a b a d b a b a b

出力 Ebbaadab “0” 入力：Eababadb ソートした後の 文字列の末尾の 文字列を出力。 a b a b a d b E a

gzip GNU ZIPの略。gzipコマンドにより用いられる LZ77符号化とハフマン符号化を組み合わせて 圧縮 拡張子は「.gz」とする 辞書式の圧縮方法 Wikipedia(http://ja.wikipedia.org/wiki/Gzip) より

gzip GNU ZIPの略。gzipコマンドにより用いられる LZ77符号化とハフマン符号化を組み合わせて 圧縮 拡張子は「.gz」とする 辞書式の圧縮方法 Wikipedia(http://ja.wikipedia.org/wiki/Gzip) より

1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ

1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 1 2 3 空の辞書を 用意

一文字 読み込む 処理したいデータ 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 辞書 処理するデータパターン 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 処理するデータパターン 1 2 3 A 一文字 読み込む

辞書にないとき 0,0,'データ'を 出力 処理したいデータ 0,0 'A' 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 処理するデータパターン 出力値 1 2 3 A 0,0 'A' 辞書にないとき 0,0,'データ'を 出力

処理した データパターン を追加 処理したいデータ 0,0 'A' 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 辞書 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 処理するデータパターン 出力値 1 2 3 A 0,0 'A' 1 2 3 A 処理した データパターン を追加

処理したいデータ 0,0 'A' 0,0 'B' 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 辞書 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 処理するデータパターン 出力値 1 2 3 A 0,0 'A' 1 2 3 0,0 'B' A B

処理したいデータ 0,0 'A' 0,0 'B' 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 辞書 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 処理するデータパターン 出力値 1 2 3 A 0,0 'A' 1 2 3 A B 0,0 'B' 1 2 3 A B

読み込んだ データパターンが 辞書に存在！ 処理したいデータ 0,0 'A' 0,0 'B' 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 処理するデータパターン 出力値 1 2 3 A 0,0 'A' 1 2 3 B 0,0 'B' A 1 2 3 A B A A 読み込んだ データパターンが 辞書に存在！

辞書の一致したポインタ 一致したパターンの長さ 一致しなくなったときの文字を出力 処理したいデータ 0,0 'A' 0,0 'B' 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書の一致したポインタ 一致したパターンの長さ 一致しなくなったときの文字を出力 辞書 処理するデータパターン 出力値 1 2 3 A 0,0 'A' 1 2 3 A B 0,0 'B' 1 2 3 A B A A 2,1 'A'

処理したいデータ 0,0 'A' 0,0 'B' 2,1 'A' 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 辞書 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 処理するデータパターン 出力値 1 2 3 A 0,0 'A' 1 2 3 B 0,0 'B' A 1 2 3 A B A A 2,1 'A' 1 2 3 A B A A

1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 処理するデータパターン 出力値 1 2 3 A 0,0 'A' 1 2 3 0,0 'B' A B 1 2 3 A B A A 2,1 'A' 1 2 3 A B A A A B A B 0,3 'B'

1 2 3 4 5 6 7 8 A B A A A B A B C 処理したいデータ 辞書 処理するデータパターン 出力値 1 2 3 A 0,0 'A' 1 2 3 A B 0,0 'B' 1 2 3 A B A A 2,1 'A' 1 2 3 A B A A A B A B 0,3 'B' 1 2 3 0,0 'C' A B A B C

目次 はじめに 類似度の判定方法 圧縮 実験 今後の課題

実験1 (Normal Compressorの適合度実験) Bzip2 gzip 方言桃太郎のひらがなテキストファイル 前処理後のファイル

Normal Compressor NCDで用いる。圧縮ソフトは万能性を保つためいくつかの制約がある。以下の定義を満たしていること望ましい。 𝐶𝜆=0⇔𝜆が空のファイル 𝐶𝑥𝑥=𝐶𝑥 𝐶𝑥𝑦≥𝐶𝑥 𝐶𝑦𝑥=𝐶𝑥𝑦 𝐶𝑥𝑦≤𝐶𝑥𝐶𝑦 𝐶𝑥𝑦𝐶𝑧≤𝐶𝑥𝑧𝐶𝑦𝑧 𝑥,𝑦,𝑧:あるファイル 𝐶：ある圧縮ソフト 𝐶𝑥:ファイル𝑥を圧縮した後のサイズ 𝑥𝑦:𝑥と𝑦の連接

方言桃太郎ひらがな テキストファイル 値は全て平均 単位：byte C(x)=C(xx) bzip2 231.982 : 280.785 gzip 282.178 : 300.464 C(xy)>=C(x) bzip2 370.133928571429 : 231.982 gzip 467.472077922078 : 282.690 C(xy)=C(yx) bzip2 371.758 : 371.758 gzip 467.472 : 467.567 C(xy)<=C(x)+C(y) bzip2 370.133 : 232.34+231.61 gzip 467.472 : 282.69+281.66 C(xy)=C(yx) bzip2 370.714 + 232 : 385.60+385.14 gzip 444.7+282.266 : 458.33+461.03 値は全て平均 単位：byte

方言桃太郎前処理後ファイル 値は全て平均 単位：byte C(x)=C(xx) bzip2 202.839 : 243.57 gzip 188.696 : 200.5 C(xy)>=C(x) bzip2 342.12 : 203.650 gzip 316.86 : 189.246 C(xy)=C(yx) bzip2 342.125 : 342.125 gzip 316.863 : 316.676 C(xy)<=C(x)+C(y) bzip2 342.125 : 203.650 + 202.027 gzip 316.863 : 189.246 + 188.146 C(xy)=C(yx) bzip2 334.3 +196.6 : 333.03 +338.53 gzip 315.6 +192.8 : 308.66 +314.3 値は全て平均 単位：byte

実験1考察 bzip2はC(xy)＝C(yx)を完全に満たす。よって bzip2は対称性が存在する。

C(xy)=C(yx)が 正確に成り立つ! bzip2内でブロックソート 文字列を全体を疑似的にソート 入力：Eababadb 入力された文字を ローテーションする 全ての文字列を ソートする。 文字列を全体を疑似的にソート a b a d b E a b b a d b E a b a a d b E a b a b d b E a b a b a b E a b a b a d

実験1考察 bzip2はC(xy)＝C(yx)を完全に満たす。よって bzip2は対称性が存在する。 gzipはC(xx)＝C(x)が精度が高い

gzip 辞書式 C(xx)＝C(x)の精度が高い C(x) ： C(xx) ： 文字列xx : 文字列X 文字列X xの情報がある 辞書の中 C(x) ： C(xx) ： C(x)

実験1考察 bzip2はC(xy)＝C(yx)を完全に満たす。よって bzip2は対称性が存在する。 bzip2はC(xx)＝C(x)において、大きな誤差を生 ずる。 bzip2はひらがなファイルにおいて、圧縮率が高 く。gzipは前処理後のファイルにおいて圧縮率が 高い

実験２ gzipの辞書の限界 gzipは辞書式の圧縮ソフト NCD(x,x)=0が高い精度で成り立つ 𝑁𝐶𝐷𝑥,𝑥= 𝐶𝑥𝑥−𝐶𝑥 𝐶𝑥 =0 参考：manuel cebrian氏の論文参考

NCD(x,x)=0が成り立たなくなるのでは？ 実験２ gzipの辞書の限界 Xのファイルサイズが大きくなると NCD(x,x)=0が成り立たなくなるのでは？ 参考：manuel cebrian氏の論文参考

実験２ gzipの辞書の限界 40Kbyteのランダム文字列 ファイルを400byteずつ読み込み、 そのつど、NCD(x,x)を計算。 参考：manuel cebrian氏の論文参考

実験2考察 Gzipの辞書サイズはグラフよりおおよそ、 30Kbyte前後。あまり大きいファイルの類似度を はかる場合は適さない。

目次 はじめに 類似度の測定方法 圧縮 実験 今後の課題

今後の課題 bzip2、gzipがどちらが類似度判定 にふさわしい圧縮か実験によりさらに 調べていく。 ppmzという高圧縮アルゴリズムが存在 するらしい。調べてみる必要がある。

LZ77法(スライド辞書)

スライド辞書へのデータの追加 元の辞書データ 追加後の 辞書データ 先頭のデータを消去して 追加分を末尾に加える 1 2 3 4 A B C 1 2 3 4 A B C D E 追加 F G 元の辞書データ 1 2 3 4 追加後の 辞書データ C D E F G 先頭のデータを消去して 追加分を末尾に加える

スライド辞書による符号化 (A)辞書データ (B)符号化する データパターン 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F G H 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F G H I (A)辞書データ (B)符号化する データパターン コード値 B B C D E 1,4 1番目から4つが一致する

4,4'X' LZ77符号化での出力 辞書データ 符号化する データパターン 一致するデータパターン 1 2 3 4 5 6 7 8 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D E F G H I 辞書データ 符号化する データパターン E F G H X コード値 “4,4” 次に続く1データは そのまま出力 出力 4,4'X'

Distance 距離空間とは・・・任意の2点間で距離が定められた空 間のこと。 距離空間とは・・・任意の2点間で距離が定められた空 間のこと。 ある集合𝑋上の距離とは、実数値関数𝑑:𝑋×𝑋→𝑅 で任意の𝑥,𝑦,𝑧∈𝑋に対して次のような性質を満たす。 𝑑𝑥,𝑦≥0 𝑑𝑥,𝑦=0⇔𝑥=𝑦 𝑑𝑥,𝑦=𝑑𝑦,𝑥:対称性 𝑑𝑥,𝑦≤𝑑𝑥,𝑧𝑑𝑧,𝑦:三角不等式

Kolmogorov記述量 データ𝑥を生成するプログラム言語を𝑆とすると、 𝑆によるデータ𝑥の𝐾𝑜𝑙𝑚𝑜𝑔𝑜𝑟𝑜𝑣記述量 𝐾 𝑠 𝑥を 以下と定義する。 𝐾 𝑠 𝑥=𝑚𝑖𝑛 ｜𝑝｜:𝑆𝑝=𝑥

Admissible Distance 類似度の距離について、密度条件を満たすものだけを考えるという提案がなされている。条件を満たした距離のことを Admissible Distance(適切な距離)という。 𝛺を有限の文字列として,非負実数への距離関数 𝐷:𝛺×𝛺→𝑅が“𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒” であるとは、ある𝑥∈𝛺と任意の𝑦∈𝛺に対して, 次のような密度条件を満たすとき． 𝑦 2 −𝐷𝑥,𝑦 ≦１