第4章補足 分散分析法入門 統計学 2013年度
分散分析の考え方 2つの母集団の平均に差があるかどうかは、2つの標本に基づくt検定をおこなうことができる。 では、母集団が3つ以上になった場合はどうすればよいのであろうか？ ⇒ 3つの母集団をA,B,Cとすると、AとB、AとC、BとCの間に差があるかどうかのt検定をおこなうことが可能 ⇒ 検定の回数は多くなり、さらに4つ、5つとなると増えるにしたがって、非常に多くなる。 3つ以上の母集団の平均に差がないかどうかは、分散分析を用いて検証する。
母集団1（個体数N1） 母集団2（個体数N2） 母集団3（個体数N3） × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × この差を検定する。 標本1（個体数n1） 標本2（個体数n2） 標本3（個体数n3） × × × × × × この差をもとに
(μA ≠ μB ≠ μC 以外にμA = μB ≠ μC なども含まれる) 最初に、3つの母集団について考えてみる。 このとき、「母平均の間に差がない」という検定仮説は H0: μA = μB = μC となる。対立仮説は H1: μA ≠ μB ≠ μC ではなく(「だけではなく」の方が正確か?)、 H1: H0の否定 (μA ≠ μB ≠ μC 以外にμA = μB ≠ μC なども含まれる) この検定を、 「グループ間の分散がグループ内の分散に比べて差がない」か、 「グループ間の分散がグループ内の分散に比べて明らかに大きい」かということで分析する。
𝑥 = 1 𝑛 1 + 𝑛 2 + 𝑛 3 𝑗=1 𝑛 1 𝑥 1𝑗 + 𝑗=1 𝑛 2 𝑥 2𝑗 + 𝑗=1 𝑛 3 𝑥 3𝑗 標本1（個体数n1） この標本のデータ グループの平均 × 𝑥 11 , 𝑥 12 ,⋯, 𝑥 1 𝑛 1 𝑥 1 = 1 𝑛 1 𝑗=1 𝑛 1 𝑥 1𝑗 × 標本2（個体数n2） グループの平均 この標本のデータ × 𝑥 2 = 1 𝑛 2 𝑗=1 𝑛 2 𝑥 2𝑗 𝑥 21 , 𝑥 22 ,⋯, 𝑥 2 𝑛 2 × 標本3（個体数n3） グループの平均 この標本のデータ × 𝑥 3 = 1 𝑛 3 𝑗=1 𝑛 3 𝑥 3𝑗 𝑥 31 , 𝑥 32 ,⋯, 𝑥 3 𝑛 3 × 全体の平均 𝑥 = 1 𝑛 1 + 𝑛 2 + 𝑛 3 𝑗=1 𝑛 1 𝑥 1𝑗 + 𝑗=1 𝑛 2 𝑥 2𝑗 + 𝑗=1 𝑛 3 𝑥 3𝑗
全変動 ＝ グループ間変動 + グループ内変動 全変動 グループ間変動 グループ内変動 𝑆 𝑇 = 𝑖=1 3 𝑗=1 𝑛 𝑖 𝑥 𝑖𝑗 − 𝑥 2 全変動 グループ間変動 グループ内変動 𝑆 𝐺 = 𝑖=1 3 𝑛 𝑖 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 𝑆 𝐸 = 𝑖=1 3 𝑗=1 𝑛 𝑖 𝑥 𝑖𝑗 − 𝑥 𝑖 2
𝑆 𝐺 𝑆 𝐸 𝑆 𝑇 分散分析表 変動要因 平方和 （変動） 自由度 不偏分散 Ｆ グループ間変動 𝑔−1 𝑆 𝐺 𝑔−1 Ｆ グループ間変動 𝑆 𝐺 𝑔−1 𝑆 𝐺 𝑔−1 𝑆 𝐺 𝑔−1 𝑆 𝐸 𝑛−𝑔 グループ 内変動 𝑆 𝐸 𝑛−𝑔 𝑆 𝐸 𝑛−𝑔 全変動 𝑆 𝑇 𝑛−1 この不偏分散の比が、検定に用いられるF統計量である
(出典： 大屋幸輔『コアテキスト統計学』238ページ) 分散分析の例 全国展開している家電量販チェーン店の大手4社A,B,C,Dはそれぞれの出店地域で互いに価格競争をしており、それぞれ「一番安い」と宣伝している。 ある年の夏に特定メーカーの特定機種のエアコンを各店舗で調査したところ、表のようになった。 4社のエアコン価格は同じといえるであろうか？ (出典： 大屋幸輔『コアテキスト統計学』238ページ) （単位： 万円） A 7.1 7.5 7.4 7.7 7.8 7.0 B 7.2 7.3 7.6 C 7.9 D 6.9
A,B,C,Dのそれぞれの平均を、 μA, μB, μC, μD とすると、検定仮説は H0: μA = μB = μC = μD となる。分散分析表は下のようになる。 求められた分散比(F統計量) は3.393であり、自由度(3,28)のF分布の片側95%の臨界値 2.947 を上回るので、H0を棄却する。(P値が0.05を下回ることからもこの結論が言える) よって、エアコンの価格は同じとはいえない。
4社の間で平均価格が等しくないということは分かった。 では、どの社とどの社が等しくて、どの社とどの社が異なるのか？ これを調べることは次のステップ、多重比較といわれる問題になる。
Excelの分析ツールをはじめとする、回帰分析をおこなうソフトウエアでは、仮説検定の際にp値が表示される。