帰着の技術 － NP困難性と問題の一般化 － ★ 目指せNP-harder！ 宇野 毅明 国立情報学研究所＆総合研究大学院大学 2008年7月28日組合せ最適化セミナー

帰着とは ・ 帰着とは、ある問題のクラス A が、（計算量の意味で）他の問題のクラス B の問題を解くことで解けるよう変換すること、あるいは変換できることを示すこと ・ 帰着できると、問題クラス B が、（計算量の意味で）問題クラス A よりも難しいことがいえる － ある問題のクラスがある種の難しいクラスに属することを証明する （NP完全、グラフ同型性完全・・・） － ある問題クラスが、他の問題クラスを含む一般的なものであることを証明する （LP、最小費用流・・・） － 現実問題を、ツールの組合せで解く （モデル化も含む？）

帰着の目的意識 ・ 問題の難しさを示すときには、なるべく簡単な問題が難しいことを示すことのほうが偉い 　 なるべく特殊な状況（問題Aが○○が××で▲▲が■■で．．．、というときでもNP完全）で示すのがいい 　　（コスト、グラフクラス、次数、パラメータの固定） ・ 問題の一般的さを示すときにも、やはりいろいろな制約がついているほうが偉い 　 なるべく一般的な状況（問題Aに○○と××と▲▲の制約をつけても問題Bに帰着できる）で示すのがいい 　　（制約、目的関数のクラス、パラメータの追加）

帰着の副産物 ・ 帰着ができるということは、問題が持つ難しさ、難しい構造がわかったということ 　 その問題がなぜ解けないのかわかる。また、どう問題設定を変えれば解けるようになるのかわかる 　（グラフクラス、パラメータの固定、特殊ケース、条件の除外） ・ 帰着ができないということは、問題が難しい構造を持たないかもしれないということ 　 多項式時間のアルゴリズムが存在するかどうか、考える価値がある

実用場面での帰着 実は、応用での帰着はとても重要！ ・ 応用問題（アプリケーション）では、今持っている問題を使えるツールで解ける問題に落とし込む作業が重要 ・ 帰着は、現実問題を直接的にツールが解く問題に落とし込む ・ 帰着は、ツールが解く問題の範囲を広げる ・ 現実問題の要点抽出とツールの拡張を行い、両者のうまいミーティングポイントを見つけることが応用研究の肝 応用問題 アルゴリズム ツール 実は、応用での帰着はとても重要！

応用での、帰着でない帰着 ・ 応用問題（アプリケーション）では、問題を正確に解く必要は、必ずしも無い  精度、速度、運用の3点 　 精度、速度、運用の3点 ・ 問題を、不正確に、しかし精度高く、他の簡単な問題に帰着することが重要 　 簡単に解ける、ツールで解ける、速く解ける、問題が小さくなる．．． ・ 問題の構造を捕らえる力がないと、おかしな帰着をすることになる

NP完全問題 ・ クラスNPの中で一番難しい問題のクラス ・ ハミルトンサイクル  TSP、配送計画 ・ サブセットサム 　 ナップサック問題、分割問題 ・ セットカバー 　 頂点被覆 ・ クリーク、安定集合 　 最大密部分グラフ 本授業では、主にNP完全の持つ難しさを扱う

NP完全問題の難しさ 良い選択の組合せを見つけることが難しい ・ 解の一部の変更が多くの場所に影響を及ぼす  問題を局所に分割できない ・ 満たすべき制約があり、それを、限られた資源を使って満たすようにしなければならない ・ それぞれの選択は、一部しか影響できない ・ 選択に排他的な条件がある （合計が○○、この組は禁止…） － 変数を使って節を満たす （SAT） － 集合を使って、全体を覆う (set covering) － 隣り合わないように多く詰め込む (independent set) 良い選択の組合せを見つけることが難しい

帰着の基本テク ・ 問題の帰着の仕方は大きく分けて３つ １） 帰着する問題のコストや制約の意味を考えて他の問題の制約に翻訳し、問題が等価、あるいは特殊ケースで有ることを示す ２） 帰着する問題にアタッチメントのようにコンポーネントをつけて、あるいはコストを変えて、他の問題の特殊ケースに落とし込む ３） ガジェットという部品を作り、他の問題の解が帰着する問題の解を表すように問題を組みあげる

本授業の目的 ・ 本授業では、何が何に帰着できるのかを知るのではなく どうやって問題を帰着するのか を理解することを目標とする 　　　どうやって問題を帰着するのか を理解することを目標とする ・ だから、結果を覚えることは重要でないし、これから証明する内容が間違っていても、そこは重要ではない ・ 演習問題を解いてみることも重要。証明を完成させることではなく、証明に至るまでの道が見えることが重要

問題の等価性 ・ 等価な問題であることを示して難しさを示す

等価性とは ・ 問題が等価であるとは、２つの問題の間で、解の集合と、各解の目的関数値が等しいこと ・ ただし、問題の難しさを示す意味では、ときに多少異なるものも等価と考えてもいいだろう 　－ 解の数が異なるが、多対一の対応があり、対応する解の目的関数値は等しい （無意味な変数を一個追加する、とか） 　－ ある種の解の変換があり、片方の問題の解から機械的にもう片方の問題の解が作れる 　－ 解の対応では、目的関数値が一致せずとも、大小関係が保たれればよい

問題クラスの等価性とは ・ 問題のクラスが他の問題のクラスを含むとは、問題のクラスAの任意の問題が、問題のクラスBの問題になっていること  このとき、問題クラス B のほうが難しい問題のクラス ・ 問題のクラスが等価であるとは、問題のクラス A と B が互いに包含関係を持つこと  このとき、両クラスの難しさは同じ ・ 問題クラスの等価性を証明 するのは、ある意味で、問題を 他の言葉で言い換えるようなもの 問題B 問題A

段取り替えの問題 i j ・ 段取り替えスケジューリング 　機械が 1 台あり、それでいくつかの品物を加工する。品物 i を加工した後品物 j を加工するには、段取り替えに時間 tij がかかる。最短時間で作業を終わらせるには、どのような順序で作業をしたらよいか ・ これは、品物が都市だとみなし、時間 tij が都市間の距離だと考えると、巡回セールスマン問題になる ・ 巡回セールスマン問題 　n 個の都市があり、都市 i と都市 j の距離が tij であるとする。このとき、同じ都市を2度通らずに全ての都市を通り元の都市に戻ってくる最短の経路を見つけよ tij i j

複数機械だと ・ 段取り替えスケジューリング 　機械が k 台あり、それでいくつかの品物を加工する。品物 i を加工した後品物 j を加工するには、段取り替えに時間 tij がかかる。最短時間で作業を全て終わらせるには、どの機械でどのような順序で作業をしたらよいか ・ これは、品物が顧客だとみなし、時間 tij が都市間の距離だと考えると、配送計画問題になる ・ 配送計画問題 　顧客 n 人への配送を k 台トラックで行う、最短時間で全ての配送が終わる方法を求める問題。ただし顧客 i と顧客 j の距離が tij であるとする

問題の間に解構造が同じ問題への（1対1）対応がある サービス時間付き配送計画 ・ サービスタイム付き配送計画 　配送計画で、移動時間（距離）の他に、各顧客に到着後にかかる時間（サービスタイム）が指定されている問題（顧客 i に到着した後、時間 pi をかけて、その顧客で作業をしなければならない） ・ 顧客 i でのサービス時間 pi を、顧客 i への時間に足し込む  顧客を回る移動時間が、自動的に顧客 i でのサービス時間を含むようになる  サービス時間はあってもなくても基本的に等価 pi pj i j tij+pj +pi tij i j 問題の間に解構造が同じ問題への（1対1）対応がある

独立集合とクリーク 独立集合： グラフ G の頂点部分集合で、任意の頂点間に枝のないもの クリーク： （ここでは、頂点集合＝クリークともよぶ） ・ グラフ G の、大きさ k のクリークは 　グラフ G の補グラフの、大きさ k の独立集合

r 部と頂点彩色 r 部グラフ（r-partite）： グラフ G の頂点集合が r 個に分割でき、分割してできたグループの頂点間には枝がないとき、G は r 部グラフであるという 頂点彩色： グラフ G の各頂点に r 種類の色のどれかを塗り、隣接する頂点が同じ色にならないようできるとき、 G は r 彩色可能であるという ・ グラフ G が r 部  G は r 彩色可能

特殊ケースとしての包含関係 ・ 制約を多く持つ問題クラス A が、ある特殊な状況（パラメータを１つ固定する、特殊な頂点を含む、など）を設定すると、他の問題クラス B と一致するとき、クラス B はクラス A のスペシャルケースであるという ・ 巡回セールスマン問題は、トラックが1台だけの配送計画と等価 ・ ビンパッキングは、ビンにつめるアイテムを顧客に対応させ、顧客間の移動コストを0、サービスタイムをアイテムの大きさとした配送計画問題と等価 ・ 最大マッチングは最小費用流の、最小費用流は線形計画の、線形計画は凸２次計画の、凸２次計画は非線形計画の特殊ケース

問題クラスの等価性とは 問題B 問題A ・ クラスの等価性は便利な道具だが、少々条件が強い  そこで、問題の等価性を利用する ・ 問題のクラス A の任意の問題に対して、クラス B の問題が存在して、２つの問題は等価  このとき、問題のクラス B のほうが難しい 　　　問題B 問題A

ハミルトンパスとハミルトンサイクル ハミルトンパス（サイクル）： 全ての頂点を通るシンプルなパス（サイクル） ・ グラフに1頂点加え、その頂点から全ての頂点へ枝を張る もとのグラフのハミルトンパス  作ったグラフのハミルトンサイクル ・ グラフのある頂点を複製して、 それぞれにひげをつけると、 作ったグラフのハミルトンパス  もとのグラフのハミルトンサイクル

次数制限全張木 次数制限付き最小木問題： 与えられたグラフに、どの頂点の次数も k 以下であるような全張木が存在するかどうかを判定する問題 葉数制限付き最小木問題： 与えられたグラフに、葉の数が k 以下であるような全張木が存在するかどうかを判定する問題 ・ k=2 とすると、葉の枚数が 2 の木、つまり全張パス（＝ハミルトンパス）を求める問題

ハミルトンサイクル ・ 正確に等価な問題が存在することを示さずとも、問題の等価性のようなことはいえる ・ ハミルトンサイクル問題 グラフの全ての頂点を含む単純なサイクルは存在するか？ ・ グラフの枝があるところを距離 0、枝のないところを距離１とすると、巡回セールスマン問題の最適解の集合は、（存在すれば）ハミルトンサイクルの集合になる （あるいは、距離の総和が 0 の解）

等価性のまとめ ・ 問題の制約と目的関数の意味を、なるべく抽象的に考えることで、他の問題との（部分的な）等価性が見えてくる ・ コストや制約は、なるべく一般的な形で考えることで、いくつもの種類の制約を「特殊ケース」とみなすことができる。同時に、制約・コストの変換方法が見える ・ 解の1対1対応ができればベストだが、必要な解と、他の問題の1部の解を、1対多で対応させられればそれで十分。 本質的に必要なものとそれを何が特徴付けているのか、を見極める目が重要

集合被覆問題 ・ 数量制約で排他条件を表現

セットカバー問題 ・ 集合 E 上で定義された m 個の部分集合 S1,…,Sm ⊆ E の中から n 個を選び、それらの和集合が E になるような選び方ができるかどうかを答える問題 ・ 難しそう？？？ ・ 何個でも選べるのなら簡単 ・ 任意の組合せが可能なので、ネットワーク的な構造はない 　 選択・制約が伝搬することはない？？ ・ 変数を１つ固定した問題はセットカバーになるので、 　　分枝限定法はうまく動く 　 うまい限定操作があるか？？？ S1: 1,2,4 S2: 1,4,6 S3: 2,3 S4: 3,6 S5: 1,5,6

同時に選べない条件を表すガジェットを作ればよさそう 他的条件の欠落 ・ ある部分集合 Si を使う／使わない、の選択が複数の箇所に影響を及ぼすか？ 　 Si が含む（カバーする）要素 e に対して影響するので、複数の影響先がある ・ 要素 e に対して、 e をどの Si に入れるか自由に設定できる 　 制約が作れる ・ うまくいきそうだが、排他的な条件をどうするか？ 　 SATを帰着しようとすると、x、￢x を同時に選んではいけない、という条件が入れられない 同時に選べない条件を表すガジェットを作ればよさそう

わかるところを ・ SATを帰着するとして、まずわかるところを帰着してみよう 入力： 変数 x1,…,xn、節 C1,…,Cm、節はリテラル（xi,￢xi）の集合 目的： 各 i についてリテラル xiか￢xi のどちらかを選び、どの節にも選んだリテラルのうちどれか１つは含まれるようにすること ・ 節 C1,…, Cmがカバーしたい要素だと思い、各リテラルを選ぶべき部分集合だとみなす 　 つまり、 xi、￢xi は C1,…, Cm の部分集合 x1: C1 ￢x1: C2 x2: C1,C2 ￢x3: C1 x4: C2 C1 C2 (x1∨x2∨￢x3) ∧ (￢x1∨x2∨x4)

足りないものは ・ 節 C1,…, Cmがカバーする集合E だとみなし、各リテラルxi、￢xiを C1,…, Cm の部分集合 ・ SATの充足解 （xi、￢xi の組合せ）を持ってくると、それは C1,…, Cm をカバーした、セットカバーになっている ・ セットカバーを持ってくると、それは充足解になっているとは限らない  xi、￢xi を両方含む／含まないことがあるから ・ どうしましょうか？？？ x1: C1 ￢x1: C2 x2: C1,C2 ￢x3: C1 x4: C2 C1 C2 (x1∨x2∨￢x3) ∧ (￢x1∨x2∨x4)

大きさの条件 ・ xi、￢xi のどちらか一方は必ず含むこと、とするのは簡単  新たに Xi という要素を E に加え、xi、￢xi にのみ、Xi を加える 　　（xi、￢xi のどちらかは使わないと、Xiがカバーできない） ・ どちらか一方だけ、の条件はどうしましょうか ・ セットカバーには大きさの条件があるが、これはまだ未使用  大きさを使って、xi、￢xi の排他条件をうまく表現しよう ・ 割当てが使うリテラルは必ず n 個。セット カバーにも大きさが n という制約を加える  各 xi、￢xi のうち１つしか使えない x1: C1 ￢x1: C2 x2: C1,C2 ￢x2: x1: C1, X1 ￢x1: C2, X1 x2: C1,C2, X2 ￢x2: X2 n 個

帰着のまとめ 無事、SATをセットカバーに帰着できた 入力（SAT）： 変数 x1,…,xn とそのリテラルからなる節 C1,…,Cm 出力（セットカバー）： 台集合 E = { C1,…,Cm , X1,…,Xn}、部分集合族 x1∪X1,￢x1∪X1, …,￢xn∪Xn 、大きさ n ・ 節 Cj がリテラル xj を含む  Si は ej を含む、とする ・ 入力SATの充足解は、セットカバーの解になっている 　（大きさが n で、全てのCi , X1j をカバーしている） ・ 出力セットカバーの解は SATの充足解になっている 　（各 xi,￢xiのどちらか１つのみを含み、全ての節を満たす） 無事、SATをセットカバーに帰着できた

格言 排他的選択は、必須選択の数で抑えよ

他の分野の格言 ・ 四桂あって詰まぬことなし （将棋） ・ 一間飛びに悪手なし （囲碁） ・ 壁を作るな、相手に壁を作らせろ（オセロ） ・ 四桂あって詰まぬことなし （将棋） ・ 一間飛びに悪手なし （囲碁） ・ 壁を作るな、相手に壁を作らせろ（オセロ） ・ そのテーブルにカモが居なけりゃお前がカモ （ポーカー） ・ かわいい子には旅をさせよ （子育て？） ・ 23  1,2,3,4,5,7 か 1,2,3,4,6,7 （カックロ） ・ 3 3 3  |3|3|3| （スリザーリンク） ・ NP完全の証明にも、格言があってもいいんじゃないかなあ

頂点被覆問題 ・ 2変数の制約を3変数に

頂点被覆(vertex cover)問題 ・ 与えられたグラフ G=(V,E) に対して、大きさ k の頂点集合Sで、任意の辺が S のいずれかの頂点に接続しているようなものが存在するかどうかを答える問題 ・ 難しそう？？？ ・ セットカバーと条件がそっくり ・ しかし、カバーされるものが枝なので、１つの制約に対して、影響できる選択が２つしかない ・ この違いは、問題の難しさに関わっているのだろうか？？？

まずは基本的なところだけ ・ リテラルを頂点に、節を枝に対応させれば、SATが帰着できそう 入力： 変数 x1,…,xn、節 C1,…,Cm、節はリテラル（xi,￢xi）の集合 目的： 各 i についてリテラル xiか￢xi のどちらかを選び、どの節にも選んだリテラルのうちどれか１つは含まれるようにすること ・ 節 C1,…, Cmがカバーしたい枝だと思い、各リテラルを選ぶべき頂点だとみなす  リテラル xi が節 Cj に含まれるとき、 　　頂点 xi は枝 Cj に接続 ・ でも、これだと 2SAT しか解けない．．． なんとかならないかなあ x1: C1 ￢x1: C2 x2: C1,C2 ￢x3: C1 x4: C2

戦略のイメージ ・ 節を枝で表現するのは難しい。変わりになんか、部分グラフで節に対応するものを作ろう （ガジェットといいます） ・ 節を枝で表現するのは難しい。変わりになんか、部分グラフで節に対応するものを作ろう （ガジェットといいます）  部分グラフに隣接する頂点のうち１つは選ばなければいけないようにする 選択肢 丸の中には何を入れたらいいでしょうか？

選択肢を選んだ場合とそうでない場合で、内部の必要数が変化するようにすると良さそうだ 試行錯誤 ・ 頂点を１つ入れる 　 選択による変化がないので、選択の必要性がない ・ 各枝に頂点をつける 　 選んだ数によって、内部で必要になる頂点の数が変わる 選択肢 選択肢 選択肢 選択肢を選んだ場合とそうでない場合で、内部の必要数が変化するようにすると良さそうだ

影響元の増加 ・ 内部に枝を張り、外部との接続枝のうち、１つだけカバーできないようにすればいいだろう  内部を三角形にすると、内部は2頂点でカバーできるが、外部への枝のうち、１つだけカバーできない ・ ３つの選択肢の うちどれも選ばないと、 外部への枝のカバー に青丸を３つが必要 ・ うまく選択肢を選ぶとどの ガジェットも青丸を２つしか使わない  頂点を選ぶ個数と組合わせると、割当てと同じ状況にできる 選択肢

ガジェットを使った変換 ・ 各選択肢頂点 vi、￢vi をリテラル xi、￢xi に対応させる ・ 各節を Cj を各ガジェット j に対応させる ・ 節 Cj がリテラル xj を含む  頂点 vi はガジェット jj の頂点に 　　隣接、とする ・ xi と ￢xi の排他条件を入れるため、vi、￢vi の間に枝を張る （どちらか１つは選ばなければならない） ・ 使える頂点の数を n + 2×ガジェット数 とする （頂点被覆なら、全ての節を満たす） xi ￢xi 選択肢 Cj

数量制約を排他制約に ・ 使える頂点の数を n + 2×ガジェット数 としたので、各ガジェット内でちょうど2個 使い、n 個の選択肢を選ぶ、つまり各 vi、￢vi についてどちらかを選ぶことが必須となる ・ 大きさ n + 2×ガジェット数 の頂点被覆  充足可能解、となった xi ￢xi 選択肢 3SAT問題は頂点被覆問題に変換可能

セットカバーを帰着 ・ セットカバーを帰着するのであれば、排他的な条件はいらない ・ しかし、各ガジェットに隣接する頂点の数が３だけではだめ ・ ガジェットの隣接頂点数が3でない場合、ガジェットの中身は三角形でなく、クリークにする  クリーク内の枝を被覆するためには、 クリークの中から１つ以外を選ぶ必要がある ・ 三角形の場合と同じく、 隣接する選択肢が１つ選ばれている  ガジェット内の頂点は（隣接数-1）選べばよい ・ （隣接数-1）の総和＋k 個の頂点被覆がある  大きさ k のセットカバーが存在 クリーク 選択肢

帰着のまとめ ・ 帰着する問題は SAT 入力： 変数 x1,…,xn、節 C1,…,Cm、節はリテラル（xi,￢xi）の集合 ・ 以下のグラフを作成する 頂点集合： リテラル xi,￢xi の集合と、節 Ci と Ci に含まれるリテラル xj の組 (Ci, xj) の集合 枝集合： 任意の Ci を共有する頂点対 (Ck, xi) と (Ci, xj) の間に枝を張る。任意のリテラル xj と xj を含む節頂点 (Ci, xj) の間に枝を張る ・ 作ったグラフ に G=(V,E) に大きさ |V| - (n+m) の頂点被覆が存在  入力した SAT に充足可能解がある x4 Ci Ci x1 Ci ￢x3

制約の変数数は、ガジェットを作って増減させよ 格言 制約の変数数は、ガジェットを作って増減させよ

独立集合問題 ・ 排他制約の効果的な利用

独立集合問題 独立集合： グラフ G の頂点部分集合で、任意の頂点間に枝のないもの ・ 与えられたグラフが大きさ k の独立集合を持つかどうかを判定する問題が、k-独立集合問題 ・ 排他制約の親分のような問題 （排他制約のみからなる問題） ・ どうやってNP困難性を 証明しようか？ ・ SATを帰着してみよう

排他条件を使った選択肢 ・ SATの、「リテラル xiか￢xi のどちらしか選べない」という条件は比較的簡単に実現できる 　＋ これらの頂点から n 個選ばせるようにすると、 xi と ￢xi のどちらかを必ず選ぶことになる ・ 各節が充足されるという 条件はどうしようか ・ 各節に頂点を対応させて、その節のリテラルどれかが選ばれていれば、節の頂点が選べる、としたいが、排他条件でこういうセッティングをどうやって作ろうか？ xi ￢xi

節の表現 ・ 単純に各節に頂点を対応させて、その節に含まれるリテラルと辺でつなげてみる x4 ・ 節が充足されている（リテラルを どれか選んでいる）と、Ci は選べない ・ 節が充足されていない（リテラルを どれも選んでいない）と、Ci は選んでも選ばなくてもいい ・ やりたいことと逆だ 　 条件が逆ならば、個数の制限をつけるだけで帰着ができる x4 Ci x1 ￢x3

選択肢の逆転 ・ 選択肢を逆にする、逆転の発想をしてみよう 　 割当てとして選択するリテラルの否定を、独立集合の頂点として選ぶ。つまり、各リテラルの否定を選ぶ ・ 節が充足されている（リテラルの どれか選ばれていない）と、Ci は選べない ・ 節が充足されていない（リテラルを 全て選んでいる）と、Ci は選べない ・ 今度は、どちらの状況でも節が選べなくなった ・ もう一工夫して、リテラルどれかが選ばれてなければ節が選べる、としたい x4 Ci x1 ￢x3

節の変形 ・ リテラルが１つ選ばれていないときに節の頂点を選べるようにしたいのだから、各リテラルに対して頂点を用意しよう ・ 節に対応する頂点が複数になるので、それらのうちから１つだけしか選べないようにしよう 　 これは、独立集合の状況では簡単 　　節に対応する頂点たちをクリークにして 　　しまえばよい ・ リテラルどれかが選ばれていなければ、節を選ぶことができる x4 Ci Ci x1 Ci ￢x3

帰着のまとめ ・ 帰着する問題は SAT 入力： 変数 x1,…,xn、節 C1,…,Cm、節はリテラル（xi,￢xi）の集合 ・ 以下のグラフを作成する 頂点集合： リテラル xi,￢xi の集合と、節 Ci と Ci に含まれるリテラル xj の組 (Ci, xj) の集合 枝集合： 任意の Ci を共有する頂点対 (Ck, xi) と (Ci, xj) の間に枝を張る。任意のリテラル xj と xj を含む節頂点 (Ci, xj) の間に枝を張る ・ 作ったグラフに大きさ n+m の独立 集合がある  入力した SAT に 充足可能解がある （頂点被覆で作ったグラフと同じ。。。） x4 Ci Ci x1 Ci ￢x3

他の帰着 ・ 各節からリテラルを１つだけ選ぶ、という考え方もある  相補的なリテラルは選べないよう、枝を張っておく 入力： 変数 x1,…,xn、節 C1,…,Cm、節はリテラル（xi,￢xi）の集合 ・ 以下のグラフを作成する 頂点集合： 節 Ci と Ci に含まれるリテラル xj の組 (Ci, xj) の集合 枝集合： x = ￢y 、あるいは、C = C' が成り立つ (C, x) と (C', y) の間に枝を張る ・ 作ったグラフに大きさ m の独立 集合がある  入力した SAT に 充足可能解がある ￢x1 x4 x1 ￢x1 ￢x3 x3

都合の良い状況に選択肢を与えて排他条件をつけよ 格言 都合の良い状況に選択肢を与えて排他条件をつけよ

セットカバーの帰着 ・ リテラル x と ￢x を同時に使わない、というところは、あまり帰着の上では必須ではない感じがする  セットカバーを帰着してみよう 入力： 部分集合族 S1,…,Sm ⊆ E={1,…,n} ・ 以下のグラフを作成する 頂点集合： 部分集合 Si の要素 e に対して頂点 (Si,e) を用意 枝集合： S = S' が成り立つ (S, e) と (S', e') の間に枝を張る ・ 作ったグラフに大きさ m+n-k の 　　独立集合がある  入力したセットカバーに 　　大きさ k の解がある 要素 S3 S1 S2

サブセットサム問題 ・ 数を桁に分解して、多数の制約を表現 ・ ガジェットで数の差異を吸収

サブセットサム問題 ・ 与えられた n 個の数 a1,…,an の中からいくつかを選び、合計がちょうど b にできるかどうかを答える問題 ・ 難しそう？？？ ・ 「ちょうど b 」ではなく、「b 以上／以下」なら簡単 ・ 任意の組合せが可能なので、ネットワーク的な構造はない 　 選択・制約が伝搬することはない？？ ・ 変数を１つ固定した問題はサブセットサムになるので、 　　分枝限定法はうまく動く 　 うまい限定操作があるか？？？ 1, 4, 13, 15, 2, 8, b=32

難しさはどこにある？ ・ 制約は１つしかない！  複数の制約がある難しさはなさそう？  しかし、数をぴたりと調整する難しさがある 　 複数の制約がある難しさはなさそう？ 　 しかし、数をぴたりと調整する難しさがある ・ 合計が b 以上／ b 以下なら簡単 ・ 1 とか 2 とか、小さい数ばかりなら簡単 （DPで解ける。整数のみなら、ですが。調整しやすいという意味でも簡単そう） 　 大きな数を使っている問題が難しいのだろう ・ SATなどの問題との違いは、数の調整と、複数の制約がある、というところだろう

帰着の鍵 － 制約を複数作れるか？ － ある数を解に入れる／入れない、の選択が、複数の場所に影響を及ぼすようにできるか？ － それぞれの場所は、特定の数からしか影響を受けないようにできるか？ が、帰着の鍵です ・ １つの制約である合計の b を、複数の制約に分解できないか？ ・ 10進数足し算を計算するときのように、いくつもの桁にわければいいんじゃない？

桁の分解を使う ・ 各数を「桁ごと」に分解して考えると、ある数を解に含める、という動作は、各桁の解に影響を及ぼす 　 各選択が、複数の制約に影響をおよぼせるようになった ・ 問題を作る際、数の各桁は自由に設定できるので、各選択（数を含めること）がどこに影響するかをデザインできる （各ai の、影響をおよぼしたい桁だけ非ゼロにすればよい） ・ 足し算の結果桁あふれが起きると困るので、桁は大きめ、例えば 100n2 進数のようにすればいいでしょう ai = 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 b = 1 1 1 2 2 2 1 0 1 1 1 aj = 0 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0

3-SAT の帰着 ai = ・・・・・・ 00000100000 ・ 先の難しさを使って、3-SATを帰着しよう 入力： 変数 x1,…,xn、節 C1,…,Cm、節はリテラル（xi,￢xi）の集合 ・ まず、十分大きなM進数を考え、十分大きな桁数を考える。それぞれの桁がそれぞれの制約に対応 ・ 各数を選ぶことは、リテラル x か ￢x を選ぶことに対応 ・ 各変数に対して桁を１つ用意。 x、￢x に対応する数だけ、その桁を 1 にする。この桁の合計を 1 にして、片方しか選べない制約を表現 x、￢x 片方制約 ai = ・・・・・・ 00000100000 xｉ、￢xｉ に対応する桁

リテラルの表現 ・ 同様に、各節に対して桁を１つ用意。 節に含まれるリテラルに対応する数だけ、その桁を 1 にする 　 選んだ数の合計の、その桁の数が非ゼロならば、その節は充足されている ・ しかし、充足できた  合計がちょうどある数になる、 　　　とは設定できない 数の違いを吸収するガジェットを作ろう！ 節充足制約 ai = ・・・ 001101001000 ・・・・・・ xｉが含まれる節

合計の差異の吸収 ・ 節に対応する桁の合計は、 「充足されている」  「その桁の合計が 1 か 2 か 3」 ・ この違いを吸収するガジェットのために桁を一つ用意 　－節の桁と調整の桁が 1 であるもの (fi) と 　－ 節の桁が 0 で調整の桁が 1 であるもの (gi) という数のガジェットを複数個準備し、 b の調整の桁を 2 、節の桁を 3 にする 差異吸収用 節充足制約 fi = 00100000000 00100000000 　　・・・・ gi = 00100000000 00000000000 　　・・・・ b = 22222222222 33333333333 　　・・・・

差異吸収ガジェットにより、合計が 1,2,3 のどれかであることと 合計がちょうど何かになることを結びつけられた ガジェットの働き ・ b の差異吸収の桁が2 なので、fi 、gi をちょうど2個組合わせて選ぶ必要がある ・ i 番目のリテラルの桁の合計が 1 か 2 か 3 のどれかである  fi 、gi をうまく選び、その桁の合計を 3 にできる 差異吸収用 節充足制約 fi = 00100000000 00100000000 　　・・・・ gi = 00100000000 00000000000 　　・・・・ b = 22222222222 33333333333 　　・・・・ 差異吸収ガジェットにより、合計が 1,2,3 のどれかであることと 合計がちょうど何かになることを結びつけられた

格言 差異吸収用 節充足制約 fi = 00100000000 00100000000 　　・・・・ gi = 00100000000 00000000000 　　・・・・ b = 22222222222 33333333333 　　・・・・ 数は桁に分けて制約（スイッチ）にせよ 合計の差異は人工変数で吸収せよ

サブセットサムの亜種 ・ 少々の問題変更は、難しさに影響するか？

サブセットサム亜種(1) ・ 与えられた n 個の数 a1,…,an の中からちょうどn/2個を選び、合計がちょうど b にできるかどうかを答える問題 ・ 難しそう？？？ ・ ちょうどn/2個を選ばなければならないので、先の帰着は使えない ・ この違いは、果たして問題の本質的な難しさに影響するのだろうか？ 1, 4, 13, 15, 2, 8, b=32

亜種(1)の帰着 ・ サブセットサムを、この亜種に帰着できるか調べよう ・ 選ぶ個数が自由な問題を、選ぶ個数固定の問題に帰着したい  簡単なアイディアは、選択しても意味のないダミー選択肢を準備すること。規定された個数に足りない分だけ、ダミーを選ぶ ・ 与えられたサブセットサム a1,…,an, b に、ダミー a'1=0, …, a'n=0 を選択肢として加える ・ ちょうど n 個選んでください、と言われたら、 a1,…,an の中から好きなだけ選び、不足分だけダミーを加える 　 サブセットサムの解に対して、ちょうど同じ合計を持つ、亜種の解が対応 （逆向きの対応もある） サブセットサムは亜種(1)に帰着できる

逆向きの帰着 ai = 個数調整桁 ＋ ai ・ 次は亜種をサブセットサムに帰着してみよう ・ 選ぶ個数固定の問題を選ぶ個数が自由な問題に帰着したい  今度は、どう選んでもいいが、解になるように選ぶと自動的に半分ずつになるような仕掛けを作りたい ・ 今度は、SATを帰着するときに使った桁を分けるアイディアが使えそうだ　 　（b に合わせるための桁と、個数を半分ちょうどに合わせる桁） ai = 個数調整桁 ＋ ai

大きな数を足し込む ・ 個数調整の桁ように、大きな数を準備しよう 十分大きな M >Σai を用意 ・ a'i = M ＋ ai 、b' = M×n/2 ＋ b に設定 ・ 新たに作った問題の解 A' ⊆ {a'1, …, a'n} の和がちょうど b'  対応する解 A ⊆ {a1, …, an} の大きさが n/2 で和が b  桁あふれが起きないから 亜種(1)はサブセットサムに帰着できる

サブセットサム亜種(2) ・ 与えられた n 個の数 a1,…,an の中からいくつかを選び、合計がちょうど (Σai) / 2 にできるかどうかを答える問題 ・ 難しそう？？？ ・ 全く同じ大きさに分けなければいけないので、先の帰着は使えない ・ この違いは、果たして問題の本質的な難しさに影響するのだろうか？ 2, 4, 13, 15, 1, 9, b=22

亜種(2)の帰着 ・ サブセットサムを、この亜種に帰着できるか調べよう ・ 目標値が自由な問題を、目標が決まってる問題に帰着したい  前回と同じ発想でいけば、ダミー選択肢を準備して目標を変化させればいいだろう ・ 与えられたサブセットサム a1,…,an, b に対して、 ダミー an+1= (Σai) +b と an+2 = (Σai)×2 －b を加える  (Σai) /2 は (Σai)×2 になる ・ 同じ和になるように分けるには、an+1 と an+2 は異なるグループに入る必要がある。そのため、残りを b と Σai - b に分けることになる サブセットサムは亜種(2)に帰着できる

格言 固定制約にはダミーで対応せよ

サブセットサムの応用 ・ サブセットサムに帰着する証明

サブセットサムの利用 ・ サブセットサムの難しさは、数をぴったりと合わせるところ  数合わせ的な要因を持っていたり、合計がある程度以上で最小、というような要因があると、帰着できる ・ こういった要因を持つ問題をいくつか、調べてみよう

サブセットサムはナップサックに帰着できる ナップサック問題 ナップサック問題： 重さ wi、価値 ci を持つ荷物 1,…,n を組合せ、重さの合計が b を超えないようなものの中で価値合計最大のものを見つける ・ ちょうどを見つける、という状況ではないが、合計の制限と、合計を最大にしたいものがある ・ この２つを組合わせればよい サブセットサム {a1,…,an}, b に対し、価値と重さを ci = wi = aiとする 価値合計が b になる実行可能解があれば、サブセットサムの解がある サブセットサムはナップサックに帰着できる

１次元ラベリング問題 1次元ラベリング問題： 長さ l の直線上に点が、位置 {p1,…,pn} にある。点 i に隣接するように、長さ wi を持つ線分（ラベル）を pi を含むよう、重ならずにおく。目的関数は、置いたラベルの価値 c1 の合計が b 以上にできるような置き方を見つける問題 ・ サブセットサムが簡単に帰着できそうだが、ラベルがその点を含むようにしなければならないところがやっかい

位置ずれの吸収 ・ 基本戦略は、長さ wi を組合わせるサブセットサムを作ること ・ まず、他の選択肢の選択によらず、各選択肢が選べるようにしたい。そのため、長さ wi を Z 増やし、他の選択がどのようになっても pi におけるようにする ・ wi を使わないときと使ったときの差が大きくなるので、 wi を使わなかったときに対応する選択（長さ Z ）を用意する。両者はほぼ同じ位置に置く

サブセットサムは1次元ラベリング問題に帰着できる １次元ラベリング問題 ・ この選択ガジェットを、長さ Z ごとに配置 全体の長さ l は、b+nZ に設定 ・ 長さ合計が b+nZ になるラベルの選び方がある  合計が b になる ai 組合せがある サブセットサムは1次元ラベリング問題に帰着できる

格言 「ちょうど」は「これ以下で最大」に

同型性と埋め込み ・ 埋め込む問題を排他制約に

同型性判定と埋め込み判定 ・ ２つのグラフが同型であるかを判定するのが同型性判定問題（隣接関係を保持した頂点の1対1対応があるかどうか） ・ ２つのグラフの片方が片方の部分グラフになっているかどうか判定するのが埋め込み判定問題 ・ 埋め込み判定はNP完全だが、 グラフ同型性はNP完全か多項式か わかっていない ・ 片方がもう片方の部分グラフに、もう片方も片方の部分グラフになっていたら同型なので、少なくとも同型性のほうが易しい 両者の難しさを帰着で調べよう

埋め込み判定のNP完全性 ・ グラフ埋め込み判定問題は、例え埋め込むグラフが木であってもNP完全 ・ 異なる頂点を同じ頂点に埋め込んではいけない、という部分が排他的なので、独立集合問題を帰着しよう ・ 戦略は、 － 埋め込む部分グラフの先っぽを、グラフの頂点に必ず対応させなければならないようにグラフを変形、 － 隣接する頂点に、同時に先っぽを埋め込むことはできないようにする というようにする

戦略のイメージ 独立集合を求めるグラフを 埋め込むグラフ 変形したもの ・ 独立集合を求めるグラフを変形し、埋め込むグラフを別に作成。独立集合のグラフの頂点に対応する部分グラフに、埋め込むグラフの先っぽの部分グラフが埋め込まれる 独立集合を求めるグラフを 変形したもの 埋め込むグラフ

頂点の変換 ・ 元のグラフの頂点を何に変形するか ・ 何も変形しないと、先っぽはどこにでも対応できる ・ 次数を大きくすれば良さそう。次数の大きな頂点は、次数の大きな頂点にしか対応させられない  埋め込むグラフの先っぽと、対象グラフの頂点を、次数の大きなスターにしよう　（頂点がジェット） ・ 他に、根っこに 対応する頂点を、 対象グラフに付け加える ・・・

頂点の排他性 ・ このままだと、どの先っぽをどの頂点ガジェットに割当てても埋め込める ・ 隣接する頂点ガジェットには同時に先っぽを割当てられないよう、スターの葉の１つを隣接する頂点が共有するようにする ・ 埋め込みグラフの先っぽのスターも、頂点がジェットも、葉っぱ（＋共有されている葉っぱ）にちょうど n 枚隣接するようにする ・ １つの先っぽを頂点 ガジェットに埋め込むと、 隣接する頂点を全部使う  隣接する頂点ガジェット 両方に先っぽは埋め込めない ・・・ ・・・ ・・・

埋め込むグラフで個数を指定 ・ ここで、埋め込むグラフの先っぽの数を k とする ・ もし先っぽ k 個全部を埋め込められたら、その埋め込んだ頂点ガジェットの集合は、元のグラフに大きさ k の独立集合になる ・ 元のグラフに大きさ k の独立集合があるなら、その頂点がジェットに先っぽを埋め込むと、埋め込むグラフを変形したグラフに埋め込むことができる ・ 独立集合問題をグラフ 埋め込み判定問題に 帰着できた ・・・ ・・・ ・・・

格言 埋め込みは排他制約である

実はもっと簡単な帰着が．．． ・ 実はもっと簡単な帰着があります ・ ハミルトンパス、ハミルトンサイクルが簡単に帰着できる  長さ n-1 のパス、長さ n のサイクルが埋め込めるかどうか判定すれば解ける ・ でも、ここでは帰着の技術を見たかったので。。。

派生する帰着 ・ ２つのグラフが与えられたとき、２つのグラフに含まれるもっとも大きなグラフを求めよ  グラフ A がもう片方のグラフ B に埋め込めるとき、解のグラフの大きさは A の大きさと等しくなるので、グラフ埋め込み判定問題が帰着できる

同型性の帰着

グラフクラスと同型性 ・ グラフクラスを制限すると、グラフ同型性判定は容易になる － 木、サイクル、インターバルグラフ・・・ 　－ 木、サイクル、インターバルグラフ・・・ ・ 他のグラフクラスではどうか？ ・ 一般のグラフ同型性判定問題を、そのクラスのグラフの同型性判定問題に帰着して、問題のクラスを調べる

２部グラフ ・ グラフが２つの頂点集合に分割でき、両者がともに独立集合となっているとき、そのグラフを２部グラフという ・ グラフ同型性判定を２部グラフ の同型性判定に帰着する ・ グラフの各枝の中点に頂点を追加する ・ 変形したグラフは2部グラフになっている ・ ２つのグラフが同型  変形したグラフも同型

スプリットグラフ ・ グラフが２つの頂点集合に分割でき、片方がクリーク、もう片方が独立集合となっているとき、そのグラフをスプリットグラフという ・ グラフ同型性判定をスプリットグラフの 同型性判定に帰着する ・ グラフの各枝の中点に頂点を 追加し、追加した頂点間全てに 枝を張る ・ 変形したグラフはスプリットグラフになっている ・ ２つのグラフが同型  変形したグラフも同型

グラフクラスと同型性 ・ グラフクラスの包含関係を表した図で、同型性が多項式であるものと、一般のグラフの同型性と本質的に変わらないものを図示して見る perfect chordal r-partite unit disk strongly chordal planar bipartite circular arc planar bipartite interval split partial k-tree permutation series-parallel unit length circular arc tree co-graph proper interval threshold

ハミルトンサイクル ・ スイッチの工夫

ハミルトンサイクル ハミルトンサイクル問題： 与えられたグラフ G=(V,E) が、全ての頂点を含むシンプルサイクルを部分グラフとして含むかどうか判定する問題 ・ 全ての頂点が次数２、という制約だけなら簡単そう  サイクルに分解できるかどうか？ ・ 連結性の条件が手ごわそうだ

帰着の難しさ ・ SATなどの問題を帰着しようとすると、選ぶ／選ばない、という選択肢を作る必要がある  「サイクルが通った 選んだ」、という対応をつけたいが、ハミルトンサイクルでは全ての頂点を通らなければならない ・ 通る枝の選択肢、部分グラフの通り方を局所的に指定できると良い ・ とりあえずできることは必ず使う枝を指定すること （枝の間に頂点を置く）

スイッチガジェット ・ 使用必須枝、を使うと、部分的にスイッチのようになるガジェットが作れる ・ 図の部分グラフ、縦線3本は必ず 通らなければならない ・ すると、この部分グラフの 通り方は、２通りしかない

頂点被覆を帰着 ・ スイッチがジェットを使うと、２つのうちは どちらかを選ぶこと、という条件が設定できる  頂点被覆がフィットしそうだ ・ 帰着する頂点被覆のグラフに対して、頂点に対サブグラフを、枝にガジェットを対応させ、隣接関係に従ってつなげる  被覆として選ぶ頂点だけを通るようにしたい ・ しかし、ハミルトンサイクルは 全ての部分グラフを通過しな ければならない。。。

空ガジェット！？ ・ 頂点ガジェットが頂点を持つと、そこを通らなければならない  ならば、頂点ガジェットは頂点を持たないようにしよう ・ スイッチガジェットの枝を直接つないで、ループのようなものを作る  スイッチガジェット以外の枝は必要ない ・ 各頂点に接続する枝のガジェットを 全てをこのようなループでつなぐと、 頂点被覆を帰着するための グラフができる？

頂点ガジェットの衝突 ・ 現在、頂点ガジェットは、通り抜けようとすると全ての隣接するスイッチガジェットを通り抜けなければいけない  元のグラフで隣接する頂点を同時に選べない！ ・ 好きな個数だけ、通るスイッチガジェットを選べるようにできればよい  スイッチガジェット間に 　　ショートカットを作ろう ・ ショートカットを通って、好きな スイッチガジェットだけを 選んで通れるようになった

頂点の個数制限 ・ スイッチガジェットと頂点ガジェットによって、「選んだ頂点に接続する枝をカバーする」という状況を、パスが通過する／しないという選択で表現できた ・ 次は、通れる頂点ガジェットの個数を制限しよう ・ k 回、頂点ガジェットを選択できて、各選択では、任意の頂点がジェットを一回選択できる、という状況を実現したい ・ （必ず通らなければいけない） 入り口を作って、そこから各頂点ガジェット に分岐し、入り口２（仮想的な出口） に収束させる （実際は、入り口と ガジェットは複数本の枝で接続） ・・・

k 個の入り口／出口を連結 ・ （必ず通らなければいけない）入り口を作って、そこから各頂点ガジェットに分岐し、入り口２（仮想的な出口）に収束させる （実際は、入り口とガジェットは複数本の枝で接続） ・ 頂点被覆で指定された個数 k だけ入り口と出口を作り、各ガジェットと各入り口・出口をつなぐ 　 k 個の頂点ガジェットしか通れなくなる ・ あとは、入り口・出口の端っこを 　クリークにしてしまう 　 k 個の頂点ガジェットで全ての スイッチがカバーできれば、（k 個の 頂点ガジェットを通る）ハミルトンサイクルが存在 ・・・

最後の落とし穴 ・ 今、頂点ガジェットはいくつもの入り口／出口につながっているので、入り口から入り、他の入り口へ出て行くようなルートがあり得る  このようなパスでも、入り口から他の入り口に行く間、通過できる頂点ガジェットは１つだけ（入り口ガジェットには必ず使う枝がついていて、強制的に脱出させられ、折り返して他の頂点ガジェットに行けないことに注意）  このようなパスも、入り口／出口を 2 個消費するので、なんにしても頂点 ガジェットを通るパスは k 個以上作れない ・ よって、破綻はしていない ・・・

頂点被覆問題をハミルトンサイクル問題に帰着できる ハミルトン＊＊はスイッチで制約、空ガジェットで選択肢を表現 格言 頂点被覆問題をハミルトンサイクル問題に帰着できる ハミルトン＊＊はスイッチで制約、空ガジェットで選択肢を表現

次数を３にする ・ ハミルトンサイクル問題を言い換えると、グラフ G の全ての頂点を含み、全ての頂点の次数が２であるような連結な部分グラフはあるか、となる ・ この次数「２」を変えるとどうなるか？ ・ グラフ G の全ての頂点を含み、 全ての頂点の次数が３であるような 連結な部分グラフはあるか

ハミルトンサイクルの帰着 ガジェット ・ ハミルトンサイクルを帰着するのが自然だろう ・ 次数「２」のグラフを見つける問題を、次数「３」のグラフを見つける問題に、どうやって変換しようか ・ ハミルトンサイクルを見つけるグラフの各点に余計なものをつけて、そこで次数「１」を消費するようにしよう。その際、連結性を一切変えないようにしよう ・ 右の部分グラフ（ガジェット）は、 各頂点の次数が３なので、これを グラフの各頂点にひっつける ガジェット

次数を使用して減じる グラフ ・ ハミルトンサイクルを求めるグラフの各頂点にガジェットを添付 ・ 次数３の連結グラフを作るには、ガジェットの各頂点に接続する枝は全て選択する必要がある ・ 次数３の連結グラフを求めるには、もとのグラフの各頂点が、元のグラフの枝２つに接続する必要があり、そしてその枝が連結になる必要がある 　 つまりハミルトンサイクルを 見つけなければいけない グラフ

平面的な問題 ・ 平面的なNP完全問題を帰着

平面性の不自由さ ・ 今まで見てきた帰着は、枝と頂点、要素と部分集合などを自在に組合せることができた ・ しかし、問題のグラフのクラスが限定されると、このようにうまくはいかなくなる。 　 木、コーダルグラフ、平面グラフ、k-tree… ・ 木は木で、木でも難しい問題には木という制約が気にならないような困難性がある。 ・ そういう意味では、平面グラフやコーダルグラフあたりがちょうど難しい

頂点被覆という道具 ・ 平面的なグラフを入力とする問題のNP困難性を示すには、やはり平面的なグラフを入力とする問題を帰着するのが楽 ・ 帰着する問題としては、例えば、頂点被覆がある 　 頂点被覆は、たとえ入力するグラフが平面的であり、かつグラフの頂点の次数が全て３でもNP完全 ・ いくつかの平面グラフ上の問題に、頂点被覆を帰着して見よう

独立集合へ帰着 ・ 平面次数３頂点被覆 与えられた平面的で全ての頂点の次数が 3 であるグラフが、大きさ k の頂点被覆をもつかどうか答える問題 ・ 独立集合問題に帰着する  独立集合は小さいほど作るのが楽、頂点被覆は大きいものほど作るのが楽なので、独立集合として選ばない頂点が頂点被覆の頂点になるようにする ・ 枝の両方の端点が独立集合に入っているとき、枝にペナルティーをかければいいので、枝の中点に頂点を置いて、独立集合に枝の頂点が含められないようにする

枝の中間に頂点を ・ 枝の中間に頂点を１つ入れる ・ 両方の端点が独立集合に入っていないときのみ、真ん中の頂点を独立集合に入れられる 　 これではだめ ・ 枝の中間に頂点を２つ入れる ・ 両方の端点のうち片方が独立集合に入っていないと、真ん中の頂点のうち１つを独立集合に入れられる

帰着のまとめ ・ 頂点被覆のグラフに対して、各枝の中間に頂点を２つ挿入 （これにより平面性がなくなることはない） ・ 作ったグラフの独立集合は、枝に挿入した頂点のどちらかを取れる。最大 m 個。これに追加して、もともとの頂点を n-k 個選べれば、その頂点集合の補集合が頂点被覆になる ・ 逆に頂点被覆の補集合に枝の中間の頂点を適切に加えると、大きさ m+n-k の独立集合が得られる

ユニットディスクグラフの変形 ユニットディスクグラフ 各頂点が平面上に置かれた半径１の円盤に対応し、頂点間に枝がある対応する円盤が重なりを持つ、となっているグラフ （平面上の円盤のインターセクショングラフ） ・ ユニットディスクグラフでの頂点被覆問題がNP完全であることを、平面次数３頂点被覆問題を帰着して示す

枝の引き伸ばし ・ 平面グラフは必ずユニットディスクグラフになるわけではない  入力グラフの変形が必要 　 入力グラフの変形が必要 ・ 幸い、頂点被覆は枝の間に偶数個の頂点を入れても、問題の構造は変化しない　（2個のうち１つは選択する必要があり、１つだけですめば被覆になっている）  平面グラフの枝を引き伸ばして、ユニットディスクでエミュレートしよう

グラフの変換 ① 平面グラフを平面に埋め込む ② 各頂点を円盤で置き換える ③ 各枝を、くさりのように連ねた円盤で置き換える 変換したグラフに大きさ （追加した円盤数/2）+k の頂点被覆 がある  もとのグラフに大きさ k の頂点被覆がある

「次数３」の便利さ ・ 頂点被覆の問題グラフの「次数が３」という条件は、平面グラフでは非常に便利  グリッドグラフのように縦横にしか枝が伸びていないグラフやユニットディスクグラフのような、図形の重なり方のモデルに帰着しようとするとき、次数が大きいと破綻してしまう ・ もうひとつ、例として以下問題の帰着を考えて見よう 問題： 平面上の点を、大きさが一定の ＋ 型のピース k 個で覆うことができるか？ （仮に十字カバーとよぶ）

頂点被覆の帰着 ・ 十字カバー問題に、平面次数３頂点被覆問題を帰着しよう  両方とも被覆の問題なので比較的楽そう ・ 十字を頂点に、点を枝に対応させよう ① グラフを平面に埋め込む ③ 枝を、縦横に少しずつ（長さ l 程度）ずらした点列で置き換える ただし、点列の始まりと終わりは、端点の中心に十字を置いたときの、十字の端がくる場所にする。また、点列は奇数個にする ④ 十字の縦横の長さを l に設定する

頂点被覆の帰着 ・ 枝がジェットの片方の端点がカバーされている  枝内の頂点は （頂点数-1／2) 個の十字でカバーできる 　 枝内の頂点は （頂点数-1／2) 個の十字でカバーできる ・ 枝ガジェットのどちらの端点もカバーされていない 　 枝内の頂点のカバーに （頂点数+1／2) 個の十字が必要 ・ （枝がジェットの頂点数－枝数）／２ ＋ k 個の十字架バーがある  もとのグラフに大きさ k の頂点被覆がある

平面的な帰着では、枝をグラフ（ガジェット）で置き換えよ 格言 平面的な帰着では、枝をグラフ（ガジェット）で置き換えよ

列挙の帰着 ・ ほぼ等価な変換が必要

列挙と数え上げ ・ 列挙(enumeration, generation)は、与えられた問題の解を全て出力する問題 ・ 数え上げ(counting)は、与えられた問題の解の数を計算する問題 ・ ちょっと違う。しかし、出力の大きさは指数的に違う ・ 列挙や数え上げの問題の間にも帰着の関係がある ・ NP完全に相当する、＃P完全という問題のクラスがある ・ ＃P完全は、本質的に、数え上げが多項式時間で行えないと思われているクラス

列挙での帰着の難しさ ・ 最適化・充足可能性の問題に比べると、一般的に列挙や数え上げのほうが帰着は難しい ・ 理由は、基本的に問題の等価性を言う必要があるから  列挙では、最適解の存在が確認できるだけではだめで、全ての解を見つけなければならない。見つけそこない／余計なものの出力を避けるためには、帰着した問題とされた問題の解集合が本質的に一致している必要がある。  数え上げでも同じように、最適解の存在が確認できるだけではだめで、全ての解に関する情報が必要。問題間の解の集合の関連を示す必要がある

実問題での帰着 ・ 一般的に列挙や数え上げのほうが帰着は難しい ・ それでも、役に立つ例は多い  問題の帰着をすることで、既存のツールが使用可能になる ・ 頻出集合列挙問題で、データマイニングでの実例を見てみよう

頻出パターンの列挙 ・ データベースの中に多く現れるパターンを全て見つける問題を 頻出パターン列挙（あるいは発見、マイニング）問題という 　データベース： トランザクション、ツリー、グラフ、多次元ベクトル 　パターン： 部分集合、木、パス・サイクル、グラフ、図形 データベース 頻出する パターンを抽出 ・ 実験1● ,実験3 ▲ ・ 実験2● ,実験4● ・ 実験2●, 実験3 ▲, 実験4● ・ 実験2▲ ,実験3 ▲ 　　　　． 実験1 実験2 実験3 実験4 　● 　▲ ATGCGCCGTA TAGCGGGTGG TTCGCGTTAG GGATATAAAT GCGCCAAATA ATAATGTATTA TTGAAGGGCG ACAGTCTCTCA ATAAGCGGCT ・ ATGCAT ・ CCCGGGTAA ・ GGCGTTA ・ ATAAGGG 　　　　． 実験結果 ゲノム情報

トランザクションデータベース トランザクションデータベース： 各トランザクション T がアイテム集合 E の部分集合 になっているようなデータベース、つまり、∀T ∈D, T ⊆ E 集合 P に対して： P の出現：　 P を含むD のトランザクション P の出現集合 Occ(P)： P の出現の集合 P の頻出度 frq( P)： P の出現集合の大きさ 1,2,5,6,7,9 2,3,4,5 1,2,7,8,9 1,7,9 2,7,9 2 D ＝ 　{2,7,9}の出現集合 ＝　{ {1,2,5,6,7,9}, 　　　　{1,2,7,8,9}, {2,7,9} } 　{1,2}の出現集合 ＝　{ {1,2,5,6,7,9}, {1,2,7,8,9} }

頻出集合列挙は、与えられたトランザクションデータベースと最小サポートσに対して、頻出集合を全て見つける問題 ・ 頻出集合： D の定数σ個以上のトランザクションに含まれる集合 　（頻出度がσ以上の集合）（ σを最小サポートとよぶ） 例） データベース D の3つ以上のトランザクションに含まれる集合 ３つ以上に含まれるもの {1} {2} {7} {9} {1,7} {1,9} {2,7} {2,9} {7,9} {1,7,9} {2,7,9} 1,2,5,6,7,9 2,3,4,5 1,2,7,8,9 1,7,9 2,7,9 2 D ＝ 頻出集合列挙は、与えられたトランザクションデータベースと最小サポートσに対して、頻出集合を全て見つける問題

空集合から出発して、山登り的に（重複を出 さないように）探索 （共通の基本アイディア） 頻出集合の単調性 ・ 工夫をするためには、何か問題の特徴をつかまなくてはいけない ・ 使えそうなのが、「頻出集合の部分集合は必ず頻出」、というもの（単調性という）  つまり、ハッセ図（包含関係を 図示したもの）の上では、 頻出集合が存在する エリアはつながっている 頻出 111…1 000…0 φ 1,3 1,2 1,2,3 1,2,4 1,3,4 2,3,4 1 2 3 4 3,4 2,4 1,4 2,3 1,2,3,4 空集合から出発して、山登り的に（重複を出 さないように）探索 （共通の基本アイディア）

頻出集合の問題点 ・ 面白い頻出集合を見つけようとすると、σを小さくする必要がある  大量の頻出集合が出てくる  大量の頻出集合が出てくる ・ 情報を失わずに、頻出集合的な、数の少ないものを 　　　見つけるようにモデルを変えたい １． 極大頻出集合： 他の頻出集合に含まれない頻出集合 ２． 飽和集合： 出現集合が等しいものの中で極大なもの 111…1 000…0

極大頻出集合と飽和集合の例 ・ 頻出集合を出現集合で分類 ３つ以上に含まれるもの {1} {2} {7} {9} {1,7} {1,9} {1} {2} {7} {9} {1,7} {1,9} {2,7} {2,9} {7,9} {1,7,9} {2,7,9} 1,2,5,6,7,9 2,3,4,5 1,2,7,8,9 1,7,9 2,7,9 2 D＝ 頻出飽和集合 出現集合の共通部分が 飽和集合になる 極大頻出集合

・ アイテム、トランザクションを頂点とし、包含関係を枝とする ２部グラフによる表現 ・ アイテム、トランザクションを頂点とし、包含関係を枝とする A: 1,2,5,6,7,9 B: 2,3,4,5 C: 1,2,7,8,9 D: 1,7,9 E: 2,7,9 F: 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F P D＝ Occ(P) ・ アイテム集合と、それらを含むトランザクションの集合 　 ２部グラフの２部クリーク ・ アイテム集合とその出現集合 　 トランザクション側が極大な２部クリーク ・ 飽和集合とその出現集合　 極大２部クリーク ・ トランザクション集合の列挙へも（構造パターンにも適用可）

必須アイテムの指定 ・ 特定のアイテム e を含む頻出集合だけ列挙したい 例） 1 を含む頻出集合だけ見つけたい 例） 1 を含む頻出集合だけ見つけたい ・ 当然、アルゴリズムの改造は簡単 （{1} から出発すればいい） ３つ以上に含まれるもの {1} {2} {7} {9} {1,7} {1,9} {2,7} {2,9} {7,9} {1,7,9} {2,7,9} 1,2,5,6,7,9 2,3,4,5 1,2,7,8,9 1,7,9 2,7,9 2 2,5,6,7,9 2,3,4,5 2,7,8,9 7,9 2,7,9 2 ・ 入力を 1 を含むトランザクションに限定、各トランザクションから 1 を取る、とすると、普通の頻出集合列挙に帰着できる （２部グラフで考えるとすぐに思いつく）

数え上げの帰着 ・ 数え上げも、列挙と同じように解集合間に何らかの対応が必要 ・ しかし、数え上げの場合、1対1対応が無くとも、解集合の大きさだけ一致していればよい ・ あるいは、解集合の大きさに規則性が有ればいい。例え指数倍の開きがあっても大丈夫 ・ 列挙が帰着できれば、同時に数え上げも帰着できている、ようなもの ・ この優位性を使った帰着はできないか？

2部完全マッチングの数え上げ ・ 与えられた2部グラフの完全マッチングの数を数える問題は、＃P完全であることが知られている ・ そこで、この問題を2部マッチング（完全とは限らない）の数え上げ問題に帰着してみよう ・ しかし、マッチングの数を数えて完全マッチングの数を数える、なんてことができるだろうか？？？ （1対1対応するグラフを作る？）

数え上げの優位性 ・ 数え上げでは「数がわかればいい」  元の問題の解がわからずとも、計算できればよい 　 元の問題の解がわからずとも、計算できればよい ・ いくつかのグラフの計算結果を組合わせたらどうだろう  例えば、グラフAとグラフBがあって、完全マッチングでないマッチングの数は同じだが、完全マッチングの数だけ倍になっている、という状況が作れれば、完全マッチングの数は計算できる ・ 単純にこのようなことは できないだろうが、例えば 各大きさのマッチングの個数が ある定数倍ずつ異なる、という ようなことはできる

グラフの変更 ・ 各頂点にひげをつけよう ・ すると、ひげの取り方で、それぞれのマッチング M におまけマッチングが作れる ・ M のおまけマッチングの数は、M がカバーしていない頂点の数に依存するので、M の大きさに依存  ２の (n/2 - |M|) 乗個のおまけマッチングが作れる ・ それぞれの大きさのマッチング が一定量変化するようにグラフを 変更できた

いくつものひげグラフ ・ マッチングの数を一定量変化させることには成功したが、これでは不十分 　 個数が変わるのは完全マッチングだけではないから ・ おまけマッチングの個数の２の●●乗の「２」は、ひげが一本であるところから来ている ・ ひげの本数を k 本に変えると、おまけマッチングの個数は k+1 の (n/2 - |M|) 乗個になる ・ いくつものグラフができれば、 連立方程式を立てて数を計算できる

連立方程式 ・ G が持つ大きさ j のマッチングの個数を Mj、ひげを k 本つけたグラフのマッチングの総数を mk とする mk = Σ(k+1)n/2 - i Mi ・ こういう式がいくつもある  Mi に関する連立1次方程式 　　になっている ・ (k+1)n/2 – i が作る係数行列数が 独立ならば、全ての Mi が一意に決まる これがわからない これは計算できる

１次独立性 ・ 係数行列は、 20, 21, 23,…, 2n 30, 31, 33,…, 3n ・・・ n0, n1, n3,…, nn ・ このような行列はファンデルモンド行列と呼ばれて、常に1次独立であることが知られている ・ よって、必ず全ての Mi が一意に決まり、完全マッチングの個数を数えることができた

数え上げるターゲットの数を比例増分させてあぶり出せ 格言 列挙の帰着では厳密に等価な問題を探せ 数え上げるターゲットの数を比例増分させてあぶり出せ

ソートへの帰着 ・ 変換にほとんど手間がかけられない

凸包構成問題 ・ 平面上にある n 点を包む極小な凸領域を考える （ただし、へこみはつくらない）こういうものを凸包という ・凸包の辺を求める問題を凸包構成問題という

凸包の難しさ ・ 凸包の計算を使って n 個の数値のソートができる  O(n log n) 時間はかかる －a1,…,an をソートしたい －点集合 (a1, a12), (a2, a22),…, (an, an2) の凸包を求める －ソートした順番に (a1, a12), (a2, a22),…, (an, an2) に枝が張られる

線分交差列挙問題 線分交差列挙問題： 与えられた n 本の線分に対し、交わるものの組を全て見つけよ ・ 単純に総当たりで比較して O(n2) 時間、平面走査法を使って O(n log n) 時間で解ける

同一要素判定問題の帰着 ・ 線分交差列挙問題には、同一要素判定問題が帰着できる ・ 同一要素判定問題を解くには、少なくとも n log n 時間かかることが知られている 　 線分交差列挙問題を解くには少なくとも n log n 時間かかる 同一要素判定問題： 入力した数 a1,…, an の中に、同じ値のものがあるか 各 ai に対して、 x 座標が ai である 場所に縦線を置く（わずかに垂直 から異なる角度ずらす） ・ 交点がある  同一要素がある a4 a5 a1 a3 a2

平面全張木 平面全張木問題： 平面上の与えられた n 点を結ぶ全張木で枝の長さの和が最小になるものを見つけよ ・ O(n2) 本の枝があるので、通常の全張木アルゴリズムを使うと O(n2) 時間で解ける ・ もう少し速く、O(n log n) 時間で解ける

ソーティングの帰着 ・ 平面全張木問題には、ソーティング帰着できる ・ ソーティングには、少なくとも n log n 時間かかる ・ 入力した数 a1,…, an の各 ai に対して、 x 座標が ai 、ｙ 座標が 0である場所に点を置く ・ 全張木の枝は、点を x 座標の小さい順でつなげたものになる a4 a5 a1 a3 a2

線形計画法の帰着 ・ 追加変数を使った制約式の変換

LPへの帰着 ・ 線形計画を使って現実問題を定式化するときは、なにやら算数の文章問題を解いているような気分になる 　 制約条件や目的関数の意味を考えることが多いから ・ こういった問題は帰着としては扱いにくい ・ しかし、関数や条件を線形制約の組合せに変換するということは可能 　 こういう問題の帰着を見てみよう

max や min を使った LP 問題： 次の数理計画問題を、線形計画問題に帰着せよ 最小化： max xi 　制約条件： 　　∑ ai xi 　 ≦　b 　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　0 ・ 新しい変数 t を導入する 　　最小化： 　　　 　　　t 　制約条件： 　 t ≧　xi 　 　 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　b 　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　0　　　　　　

証明 証明： 実行可能な xi に対して 制約条件より t ≧ max xi は明らか。 ここで、 t ＞ max xi であるとすると、 t ＞ t' ≧　max xi となる t' が存在する t' と xi の組は実行可能解なので、t は最適解でない。 対偶を取ると、「 t が最適解ならば、 t　≦　max xi 」 よって、２つの問題の最適解は同じ目的関数値を持つ q.e.d では問題。最小化 min xi とした問題は、線形計画になるでしょうか、ならないでしょうか

絶対値の帰着 ・ 次は絶対値： 最小化： | ∑ ci xi | 制約条件： ∑ ai xi ≦ b xi ≧ 0 ・ max を使った問題に直してみる 　　　　 　　最小化： 　　 max { －∑ ci xi , ∑ ci xi } 　 　　　　　制約条件： ∑ ai xi 　 ≦　b 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　0 　 ということは、 　　　　 　　最小化： 　　　　 t　 　　　　　制約条件： t　≧ －∑ ci xi 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　t　≧　　∑ ci xi 　　　　　　　　　　　　　　　　　　ai xi 　 ≦　b 　 　 　　　　　　　　　　　 　　 xi 　 ≧　0

絶対値：証明 証明： ∑ ci xi ≧ 0 のとき | ∑ ci xi | = ∑ ci xi 、 ∑ ci xi ≧ － ∑ ci xi より | ∑ ci xi | = max { －∑ ci xi , ∑ ci xi } ∑ ci xi ≦ 0 　のとき | ∑ ci xi | = －∑ ci xi 、　∑ ci xi 　 ≦ － ∑ ci xi よって両問題の目的関数値は等しい 問題：　　最大化： 　　 | ∑ ci xi | 　 だとどうなるでしょうか？

続いて．．． 問題： 以下の問題を線形計画問題に直しなさい 　　最小化： 　　　　Π xici 　制約条件： 　　Π xiai ≦　b 　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　1

軽く練習問題４－１ ・ 全部、log をとってみる 最小化： log Π xici 制約条件： Π log xiai ≦ log b 　　　　　　　　　　　　 log xi 　 ≧　log 1 　　最小化： 　　　　 ∑ log ci log xi 　制約条件： ∑ log ci log xi ≦　log b 　　　　　　　　 　　　　 log xi 　 ≧　0 yi = log xi　とおくと 　　最小化： 　　　　 ∑ log ci yi 　制約条件： ∑ log ci yi　 ≦　log b 　　　　　　　　 　　　　 yi 　 ≧　0

実行可能性の判定 問題： 次の線形計画が実行可能かどうか判定する問題を、実行可能線形計画の最適解を見つける問題に帰着せよ 　　最小化： 　　　max xi 　制約条件： 　　∑ ai xi 　 ≦　b 　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　0 ・ 新しい変数 t を導入する 　　最小化： 　　　 　　　t 　制約条件： ∑ ai xi 　 ≦　b+t 　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　0　　　　　　

工場から顧客へ商品を送るとき、最小コストで運ぶにはどこからどこにどれだけ運べばいいかを求める問題 輸送問題 ・ 工場 1,2,…,n ・ 小売店 1,2,…,m ・ 工場の生産量 　　 s1 , s2 ,…, sn ・ 小売店の需要量 　　 t1 , t2 ,…, tm ・ 工場 i から小売店 j 　 への輸送コスト ciｊ ＠10円 500個 1000個 1800個 2000個 800個 1500個 1500個 工場から顧客へ商品を送るとき、最小コストで運ぶにはどこからどこにどれだけ運べばいいかを求める問題

どのように品物を運ぶとコストが最小になるか？ 最小費用流問題 ・ 輸送問題に、中継地点と、各ルートの輸送量の上限を付けた問題 ≦20 ≦30 70個 100個 どのように品物を運ぶとコストが最小になるか？

最小費用流問題：定式化 (2) 最小化 Σi=1,…,n Σj=1,…,n ciｊ × xiｊ 制約条件　　（Σj=1,…,m xji ）－（Σ j=1,…,m xiｊ） = bi 　　　　　　　　　　0 ≦ xiｊ ≦ uiｊ ・ この問題も線形計画問題 ・ 輸送問題は、最小費用流問題の特殊ケース ・ 実は、最小費用流問題も、輸送問題の特殊ケースになっている

最小費用流問題の変形 ・ 最小費用流問題の各枝を、輸送問題の（１頂点＋２枝）に変換 最小費用流 輸送問題 b'i = bi - uiｊ bi 　　最小費用流　　　　　　　　　　　　　輸送問題 b'i = bi - uiｊ bi bｊ ciｊ, uiｊ b'ij = uiｊ vi vi vｊ vij ciｊ vｊ b'j = bｊ ・ vi 、vj は、複数個作らない（共有する） この変形を、全ての枝について行う

両者は等価： この変形を、全ての枝について行えばよい 最小費用流問題の変形 (2) ・ vi から vj に y 流れる 　　　 bi が bi - y に減り、 bj が bj + y に増える。コストは ciｊ y ・ vij から vi , vj に uij - y, y ずつ流れる 　　 ※ 0 ≦ y ≦ uij b'i = bi - uiｊ bi-y bｊ+y y b'ij = uiｊ uiｊ-y vi vij vi vｊ vｊ y b'j = bｊ 両者は等価：　　この変形を、全ての枝について行えばよい

格言集 排他的選択は、必須選択の数で抑えよ （セットカバー） 制約の変数数は、ガジェットを作って増減させよ （頂点被覆） 排他的選択は、必須選択の数で抑えよ （セットカバー） 制約の変数数は、ガジェットを作って増減させよ （頂点被覆） 都合の良い状況に選択肢を与えて排他条件をつけよ （独立集合）　 数は桁に分けて制約（スイッチ）にせよ　（サブセットサム） 合計の差異は人工変数で吸収せよ　（サブセットサム） 固定制約にはダミーで対応せよ　（サブセットサム亜種） 「ちょうど」は「これ以下で最大」に　（サブセットサムの帰着） ハミルトン＊＊はスイッチで制約、空ガジェットで選択肢を表現 平面的な帰着では、枝をグラフ（ガジェット）で置き換えよ 列挙の帰着では厳密に等価な問題を探せ 数え上げるターゲットの数を比例増分させてあぶり出せ

心得 一．　自分の得意なルートを作れ 一．　問題は構造から見よ 一．　論文は証明してから読め

演習問題１－１ 問題： 以下の問題を線形計画問題に直しなさい 最小化： max xi + max yi 制約条件： ∑ ai yi ≦ b 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　b 　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　0 　　最小化： 　　 ∑ ( ci xi 　+ ei yi ) 　 　　 　制約条件： 　　max ai xi 　 +　max di yi ≦　b 　 　 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　f 　　　　　　　　　　∑ di xi 　 ≦　f 　　　　　　　　　　　 xi , yi 　 ≧　0

演習問題１－２ 問題： 以下の問題を線形計画問題に直しなさい 最小化： | ∑ xi | + | ∑ yi | 　制約条件： ∑ ai yi 　 ≦　b 　 　 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　b 　　最小化： 　　 ∑ ( ci xi 　+ ei yi ) 　 　　 　制約条件： 　　 | ∑ xi | + | ∑ yi | ≦　b 　 　 　　　　　　　　　　∑ ai xi 　 ≦　f 　　　　　　　　　　∑ di xi 　 ≦　f 　　最小化： 　　 ∑ ci2 xi2 　 　制約条件： ∑ ai2 xi2 　 ≦　b2 　　　　　　　　　　　　　 xi 　 ≧　0　　　　　　　

演習問題２－１ ・ サブセットサムの亜種 (2) をサブセットサムに帰着せよ 亜種(2)：「与えられた n 個の数 a1,…,an の中からいくつかを選び、合計がちょうど (Σai) / 2 にできるかどうかを答えよ」 ・ 頂点被覆問題は、例えグラフの各頂点の次数が高々３でもNP完全であることを示せ ・ 頂点被覆問題は、例えグラフの各頂点の次数が全て３でもNP完全であることを示せ ・ 頂点被覆問題に、「隣接する頂点は同時に選んではいけない」という条件をつけた問題がNP完全となることを示せ

演習問題２－２ ・ 「m 個の選択肢の中からちょうど k 個選ぶ」という制約を実現する、独立集合のガジェットを作れ。具体的には、あるグラフで、そのグラフの大きさ h の任意の独立集合は、グラフの特定の頂点部分集合 U の中のちょうど k 個の頂点を含み、かつそのグラフは大きさ h 以上の独立集合を持たないようなグラフを作れ ・ 上記の問題を、セットカバーについて解け。つまり、特定の部分集合のうちちょうど k 個を必ず選ぶ必要があるように、部分集合と、解の大きさ h を設計せよ

演習問題２－３ ・サブセットサムを独立集合に帰着する問題を考える。しかし、整数をグラフで扱うのは大変なので、まずは簡単な問題、サブセットサムの入力は、10進数で、各桁が 0 か 1 であり、サブセットサムの入力する数が a1,a2 の２つしかないものを考える。この問題を独立集合に帰着せよ ・ 上記の問題を、n+1 進数で各桁が 0 か 1 であり、サブセットサムが入力する数が a1,…, an の n 個である場合を考え、合計 b の各桁も 0 か 1 である問題を、独立集合問題に帰着せよ ・ 上記の問題で b が任意の数をとれる場合を考えよ ・ 上記３つの問題をセットカバーで考えよ

演習問題２－４ ・ 与えられた n 頂点（偶数）を持つグラフが、大きさ n/2 の独立集合を持つかどうかを判定する問題に、独立集合問題を帰着せよ ・ 上記の演習問題に「グラフが連結であること」という条件をつけて解答せよ ・ セットカバー問題を独立集合問題に帰着する方法を考えよ ・ 独立集合問題をサブセットサム問題に帰着する方法を考えよ

演習問題３－１ ・ 集合被覆問題を支配集合問題に帰着せよ 「グラフ G=(V,E) と数 k に対して、大きさ k の頂点集合 S で、Gのどの頂点も S に含まれるか、あるいは S の点に隣接するようなものが存在するか？」 ヒント： 普通に帰着すると、集合被覆でカバーされるべき要素を、選択肢の頂点として選んで良くなってしまう。これを回避するため、確実に、部分集合に対応する頂点のみを、強制的に選ばせるガジェットを作ればよい

演習問題３－２ ・ 最小スターナーツリー問題がNP完全であることを示せ 「グラフ G=(V,E) と頂点集合 S と数 k に対して、枝数が k で S を全て含む G の部分木を求めよ」 （図の緑色の枝が作る木は、赤い頂点の集合 S を含む部分木） ヒント： 一定の個数でカバーする、という問題だと考える。何かしらのカバーの問題だと思って、枝数が限定されている状況と、カバーするものが限定されている状況を一致させればよい ・ 頂点集合 S が、木の葉になること、 という条件をつけた場合はどうなるか

演習問題３－３ ・ 最小コーダル補完問題がNP完全であることを示せ 最小コーダル補完問題： グラフ G を部分グラフとして含む枝数 k のコーダルグラフがあるか？ ヒント： 長さ４のサイクルをスイッチとして利用 （どちらかの対角線を入れなければならない） 二者択一なので、頂点被覆を帰着

演習問題３－４ ・ 最小極大マッチング問題がNP完全であることを示せ 最小極大マッチング問題： ２部グラフ G に対して、端点を共有しない枝部分集合をマッチングと呼び、他のマッチングに真に含まれないマッチングを極大マッチングという。問題は、大きさ k の極大マッチングがあるか判定 ヒント： 極大である  任意のマッチングでない枝は、マッチング枝 に隣接する、なので、これをセットカバー的な要因だと見なす。カバ ーすべき枝を設定し、隣接する枝を どれか選ぶという状況を作る。１つの 枝が２つの頂点にしか隣接できず、多 くの枝の影響を受けられない点は、 ガジェットを作って解決する

演習問題３－５ ・ クリークカバー問題がNP完全であることを示せ クリークカバー問題： グラフ G の k 個のクリークの集合で、全ての頂点をいずれかのクリークに含むものがあるかどうかを判定する問題 ヒント： まず、セットカバー的な問題であることは明らか。しかし、単純に 「要素＝頂点」「部分集合＝クリーク」とすると破綻。なぜならAB、BC、 ACというクリークがあると、自動的にABCがクリークになってしまうから。 これを回避するため、各頂点を単独のクリーク がカバーするようにし、部分集合に対応する クリークを選択すると、その部分集合に 含まれる頂点をカバーする単独クリークが まとめて使えるようにするガジェットを作る

演習問題３－６ ・ グラフ G とその頂点部分集合 S に対して、 S の頂点を含まない極大独立集合があるかどうかを判定する問題がNP完全であることを示せ ヒント： S の頂点を含まない極大独立集合であるためには、S のどの頂点に対しても、隣接する頂点が極大独立集合に含まれていなければならない。これは、ある意味、セットカバー、あるいはSAT的な制約である。あとは、独立集合であるための条件と、SATのリテラルの排他条件、 　 あるいはセットカバーの使える 　 部分集合が k 個である、という 　 条件の対応付けをすればよい S

演習問題３－７ ・ 最小フィードバック頂点集合問題がNP完全であることを示せ 最小フィードバック頂点集合問題： 有向グラフ G の k 個の頂点の集合 S で、 G のどの有向サイクルも S の頂点を１つは含むようなものが存在するか？ ヒント： 明らかにセットカバー的な要因を持つ。カバーされるべき 要素それぞれに対応する有向サイクルを作り、その頂点のどれか を抜く問題設定にする。部分集合を 選ぶ  いくつかの頂点をまとめて抜 く、とする必要があるため、長さ2の有向 サイクルを枝としたスターを作り、真ん中 を選ぶか、周り全てを選ぶか、とする。

演習問題３－８ ・ 有向グラフ G と頂点 s, t と有向枝 e に対して、 s から t への有向枝 e を通る単純な有向パス（同じ頂点を2度通らないパス）が存在するか判定する問題が NP 完全であることを示せ ヒント： 同じ頂点を2度通ることはできない、というところが排他制約。そこで、s から e までにルート（往き道）がリテラルの選択、 e から t へのルート（帰り道）が節の実行可能性の制約、という形でSATを帰着。 往き道で、各変数について、TRUE FALSEの選択をし、選択をした頂点を 通らないようにする。帰り道では、各節 を通って帰り、各節の中では、その節が 含むリテラルのどれかを通過しなければ ならないようにする e s t

演習問題３－９ ・ グラフ分割問題がNP完全であることを示せ 「グラフ G と数 k に対して、V を同じ大きさに分割し、2つのグループの頂点を結ぶ枝の数が k 本以下になるものがあるか答えよ」 ヒント：排他条件を入れるのが難しい。排他条件を実現するため、選択に対応する大きなクリークをたくさん作り、これらを密につなぎ、２つのものを同時に入れると損が出るようにする （得するようにするには、クリーク間に枝を 張ればいい。損するようにするには、 クリーク間以外に枝を張ればいい） あとは、選択してない頂点と節の 間に枝をはって、節のリテラルを選ぶことを 表現。節とリテラル間のカットの大きさを吸収するガジェットを利用

演習問題３－１０ ・ 2部グラフの完全マッチングの数え上げ問題を、有向グラフのs-tハミルトンパスの数え上げ問題に（多項式時間で）帰着せよ ・ 有向グラフのs-tハミルトンパスの数え上げ問題を、（長さがどうでもよい）シンプルなs-tパスの数え上げ問題に（多項式時間で）帰着せよ ヒント： １つ目は、単なるグラフの変換。２つ目は、長さ k のパスが f(k) 個に増えるよう、枝をガジェットで置き換える s t

演習問題４－１ ・ 頂点彩色問題がNP完全であることを示せ 頂点彩色： グラフ G の各頂点に k 種類の色のどれかを塗り、隣接する頂点が同じ色にならないようできるか？

演習問題４－２ ・ 最小インターバルグラフ補完問題がNP完全であることを示せ 最小インターバルグラフ補完問題： グラフ G を部分グラフとして含む枝数 k のインターバルグラフがあるか？

演習問題４－３ ・ グラフの木の数を数え上げる問題が#P完全であることを示せ ・ グラフの森の数を数え上げる問題が#P 完全であることを示せ （極小カットとは、頂点部分集合 S で、カット 枝集合が S のカット枝集合の部分集合 になるような部分集合を持たないものを いう。 S のカット枝とは、 S の頂点と S 以外の頂点を結ぶ枝のことである ）

演習問題X ・ 最スライドの中で、「○○ガジェット」が「○○がジェット」になっていたところは全部でいくつあったでしょうか

スプリットグラフ ・ グラフが２つの頂点集合に分割でき、片方がクリーク、もう片方が独立集合となっているとき、そのグラフをスプリットグラフという perfect chordal r-partite unit disk strongly chordal planar bipartite circular arc planar bipartite interval split partial k-tree permutation series-parallel unit length circular arc tree co-graph proper interval threshold #IndSet, #Maximal IndSet are polynomial