前回の演習問題の答え 問題1（章末問題30） 次のデータは1972年春刊行の医学雑誌New England Journal of Medicineで,数人の医師が報告した論文から引用したものである． 　　この研究は,55人の非喫煙者,31人のパイプまたは葉巻きの常用者,および401人の紙巻きタバコの常用者のそれぞれにつて,各人の肺気腫の程度を調べたもので,被験者はすべて60歳未満の人々である．60歳以上の喫煙者は別の研究で取り上げられた． 　　次の表の階級の区分の仕方は,元の論文のものとは少し違っている．

肺気腫の程度 非喫煙者 パイプまたは葉巻きの常用者 紙巻きタバコの常用者 <1 1-2 >2 0 – 1 53 18 15 2 1 – 2 11 13 24 5 2 – 3 1 19 130 56 3 – 4 17 50 38 4 – 5 4 8 7 5 – 7 7 – 9 3 計 55 31 68 221 112

ｘを肺気腫の程度を測る変数とし,各階級値は 𝑥 1 =0. 5, 𝑥 2 =1. 5, 𝑥 3 =2. 5, 𝑥 4 =3 　　ｘを肺気腫の程度を測る変数とし,各階級値は 𝑥 1 =0.5, 𝑥 2 =1.5, 𝑥 3 =2.5, 𝑥 4 =3.5, 𝑥 5 =4.5, 𝑥 6 =6.0, 𝑥 7 =8.0とする． 　　（a）紙巻きタバコ常用者グループの各データを１つの表にまとめた上で,このグループのｘの平均と標準偏差を求めよ． 　　（b）（a）で求めた結果を用いて,紙巻きタバコ常用者に対するｘの母集団平均の95%信頼区間を求めよ． 　　（c）非喫煙者グループ,パイプまたは葉巻きの常用者グループそれぞれの平均を計算して,それが（b）で求めた信頼区間に含まれるかどうかを調べよ．

（a） 紙巻きタバコ常用者グループの度数分布表 階級値x 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 6 8 度数 𝒇 𝒊 17 42 205 答え： 階級値x 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 6 8 度数 𝒇 𝒊 17 42 205 105 19 9 4 𝑛= 𝑖=1 𝑘 𝑓 𝑖 =17+42+…+4=401 標本サイズ テキストP.18 公式（４） 𝑠= 1 𝑛−1 𝑖=1 𝑘 ( 𝑥 𝑖 − 𝑥 ) 2 𝑓 𝑖 𝑥 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑘 𝑥 𝑖 𝑓 𝑖 平均 標準偏差 手で計算するのが面倒！ エクセルで計算する．

度数分布表から平均、標準偏差を計算する方法（第3回講義の実践） 分類されたデータに対する分散の計算公式 階級 階級値xi 度数fi 階級値*度数 xi*fi 偏差の2乗*度数 (xi-平均)^2*fi ０～１ 0.5 17 8.5 89.96900672 １～２ 1.5 42 63 71.03447429 ２～３ 2.5 205 512.5 18.51139763 ３～４ 3.5 105 367.5 51.37670941 ４～５ 4.5 19 85.5 54.87778527 ５～７ 6 9 54 92.13127406 ７～９ 8 4 32 108.1392529 合計 401 1123 486.0399002 平均 2.800498753 分散 1.215099751 標準偏差 1.102315631 紙巻きタバコ常用者の平均肺気腫の程度 𝑥 =2.80, 標準偏差𝑠=1.10

2.69≤𝜇≤2.91 （b）（a）で求めた結果を用いて,紙巻きタバコ常用者に対するｘの母集団平均の95%信頼区間を求めよ． 答え： 𝑛=401, 𝑥 =2.80, 𝑠=1.10 標本の大きさは401（>25）だから,大標本法が使える．𝜎≈𝑠 公式２ 信頼水準95%信頼区間 𝑥 ±1.96 𝑠 𝑛 =2.80±1.96 1.10 401 信頼区間 =2.80±0.11 従って、 紙巻きタバコ常用者に対するｘの母集団平均の95%信頼区間 2.69≤𝜇≤2.91

パイプまたは葉巻きの常用者グループの度数分布表 階級値x 0.5 1.5 2.5 3.5 度数 𝒇 𝒊 18 11 1 （c）非喫煙者グループ,パイプまたは葉巻きの常用者グループそれぞれの平均を計算して,それが（b）で求めた信頼区間に含まれるかどうかを調べよ． 答え： 非喫煙者グループの度数分布表 階級値x 0.5 1.5 度数 𝒇 𝒊 53 2 𝑥 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑘 𝑥 𝑖 𝑓 𝑖 = 1 55 0.5×53+1.5×2 =0.54 非喫煙者の平均 パイプまたは葉巻きの常用者グループの度数分布表 階級値x 0.5 1.5 2.5 3.5 度数 𝒇 𝒊 18 11 1 𝑥 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑘 𝑥 𝑖 𝑓 𝑖 = 1 31 0.5×18+…3.5×1 =1.02 パイプまたは 葉巻き党の平均 それぞれの平均は（ｂ）の信頼区間に含まれていない

問題2（章末問題31） 次のデータは,ルーテル医科大学精神科の3人の教授が1974年2月刊行の医学雑誌Archives of General Psychiatryに発表した研究報告からの引用で,これはゼネラル・モーターズの工場で働いている自動車労働者の仕事に対する満足度を調べたものである． あなたは自分の仕事に満足していますか？ 現在,患者であるもの 以前,患者であったもの “病的”であると分類されたもの “健康”であると分類されたもの 満足と答えた人の数 13 19 90 463 標本の大きさ 17 26 95 481 ％ 76 73 96

　　この表の2つの“患者”グループはジョンズ・ホプキンス病院にある米国自動車労働組合診療所で発見または診断された労働者からなる．残りの労働者は,精神の健康状態をはかるのに使われる“マクミラン指数”によって,“病的”グループと“健康”グループに分類されている． 　　（a）健康な労働者で仕事に満足しているものの割合に対する95%信頼区間を求めよ． 　　（b）病的な労働者で仕事に満足しているものの割合に対する90%信頼区間を求めよ． 　　（c）労働者が診療所の患者でなかったとして,このデータから,仕事に対する労働者の満足度はその精神の健康状態に無関係であるといえるか．

（a）健康な労働者で仕事に満足しているものの割合 𝑝 1 とする． 問題文から、この問題は割合pの推定に関するものであることが分かった． 答え： （a）健康な労働者で仕事に満足しているものの割合 𝑝 1 とする． 標本割合 𝑝 1 = 𝑥 1 𝑛 1 = 463 481 ≈0.96 𝑝 1 ±1.96 𝑝 1 (1− 𝑝 1 ) 𝑛 1 𝑝 1 に対する95%信頼区間は 𝑛 1 =481は大標本だから,　 信頼区間公式では, 𝑝 1 を 𝑝 1 に置き換えてもよい． よって,求める信頼区間は 𝑝 1 ±1.96 𝑝 1 (1− 𝑝 1 ) 𝑛 1 =0.96±1.96×0.0087=0.96±0.02 0.94≤ 𝑝 1 ≤0.98

（b）病的な労働者で仕事に満足しているものの割合 𝑝 2 とする． 答え： （b）病的な労働者で仕事に満足しているものの割合 𝑝 2 とする． 標本割合 𝑝 2 = 𝑥 2 𝑛 2 = 90 95 ≈0.95 𝑝 2 ±1.645 𝑝 2 (1− 𝑝 2 ) 𝑛 2 𝑝 2 に対する90%信頼区間は 𝑛 2 =95は大標本だから,　 信頼区間公式では, 𝑝 2 を 𝑝 2 に置き換えてもよい． よって,求める信頼区間は 𝑝 2 ±1.645 𝑝 2 (1− 𝑝 2 ) 𝑛 2 =0.95±1.645×0.023=0.95±0.04 0.91≤ 𝑝 2 ≤0.99

（c）診療所の患者でなかった労働者で仕事に満足しているものの割合𝑝とする． 答え： （c）診療所の患者でなかった労働者で仕事に満足しているものの割合𝑝とする． 標本割合 𝑝 = 𝑥 𝑛 = 𝑥 1 +𝑥 2 𝑛 1 + 𝑛 2 = 553 576 ≈0.96 𝑝 ±1.96 𝑝(1−𝑝) 𝑛 𝑝に対する95%信頼区間は 𝑛=576は大標本だから,　 信頼区間公式では,𝑝を 𝑝 に置き換えてもよい． よって,求める信頼区間は 𝑝 ±1.96 𝑝 (1− 𝑝 ) 𝑛 =0.96±1.96×0.008=0.96±0.02 0.94≤𝑝≤0.98 健康な労働者で仕事に満足しているものの割合 𝑝 1 の95%信頼区間は 0.94≤ 𝑝 1 ≤0.98 𝑝≈ 𝑝 1 従って、仕事に対する労働者の満足度はその精神の健康状態に無関係であるといえる.