本日の内容（10/16~） 前回の続き： ファイル形式（WAV, SMF） 音の基本事項 音律・音階 物理的な性質、生理・心理的な性質 数理的な扱い　（詳細は別紙資料参照） フーリエ級数、フーリエ変換 離散フーリエ変換（DFT）、高速フーリエ変換（FFT） 自己相関 Cepstrum, LPC, MFCC 音律・音階

音の基本事項（１） 音とは（主として空気を伝わる）波動現象 耳に達すると、鼓膜・内耳を通じて神経パルスとして脳に伝わる。 その空気の振動は、マイクにより電気信号に変換し（アナログ信号）、さらにディジタル信号に変換できる（A/D変換） 逆にディジタル信号⇒（D/A変換）⇒アナログ信号 ⇒　空気の振動　（スピーカー）

音の基本事項（２） （ある点で受信する）信号は、 時間 t の１変数関数 y=f (t) とみなせる。 重ね合わせの原理 ２つの音を同時に鳴らした合成音は、２つの信号関数の和として表わせる。 ⇒ y=f1(t) , y=f2(t) の２音が鳴ったとき： 　　　　 y=f (t) = f1(t) + f2(t) ⇒　波動の線形性 　　　波動方程式（１次元）：　 　　（実際には非線形成分もある）

重ね合わせの原理と線形性 線形偏微分方程式 f, g が解なら、f+g, af （a は定数）も解 （微分演算の線形性による）

音の基本事項（３） 重ね合わせの原理 複数の単純な音を重ね合わせることにより、複雑な音を作り出せる。 複雑な音は、より単純な音の重ね合わせとして分析・理解できる。 実際にどのような音として聞こえるかは別問題（生理的・心理的要因も大きい）。 参考：　視覚・光の３原色（RGB）

音の基本事項（４） 最も簡単な音： 純音（正弦波） 任意の音は正弦波の重ね合わせとして（原理的には）表わせる。 「音の３要素」 最も簡単な音：　純音（正弦波） 任意の音は正弦波の重ね合わせとして（原理的には）表わせる。 「音の３要素」 音の高さ：　基本周波数に対応 高さのある音は、基本周波数の整数倍の成分（倍音）からなる 音の大きさ：　平均振幅の大きさ（パワー値） 音色：　波形、その時間変化、等々

音を「見る」（ピアノ：中央ハ音） 波形データ 周波数スペクトル （基本周波数： 261.1 Hz） 時間→ 周波数→ ←スペクトログラム（ソノグラム） 　　（上２つを２次元的に組み合わせたもの）

音の重ね合わせ ２つの音を同時に鳴らすと、その波形は２つの音の波形の「和」（線形性） 音程が（適度に）離れていれば、２つの音に分離して聞こえる。 　　　　440+550+660 Hz （AC#Eの和音） 　　　　（440+550+…+1100Hz) 　　　440+550 Hz （長３度（４半音）） 　　　440+495 Hz （長２度（２半音）） 　　　440+466 Hz （半音（平均律）） 　　　440+450 Hz 　　　440+445 Hz ピアノ音 「うなり」

音の重ね合わせ（２） 位相の影響 同じ周波数成分からなる音の場合、 成分同士の位相差はあまり影響しない。 440+550+660 Hz (1) 440+550+660 Hz (2) 以下の河原先生（和歌山大）のページも参照 http://www.wakayama-u.ac.jp/~kawahara/ http://www.wakayama-u.ac.jp/~kawahara/SIGMUS94kawahara/　

参考： Missing Fundamental 基本周波数成分（f0 成分）がなくても f0 の高さの音に聞こえる。 例： f0 =220 Hz 　１～１６倍音成分 　２～１６倍音成分 　３～１６倍音成分

音の重ね合わせ（３） 位相が逆の音を重ね合わせる と音は「消える」か？ ⇒ yes! (ANC: Active noise control) 　　⇒　スピーカーとヘッドホンの違い ピアノ音と「合成演奏」 ステレオと音像移動

無限上昇／下降音階 Shepard tone オクターブ離れた音を次々 重ね合わせる。 １オクターブ上がると元の音に戻る。

音の性質 「音の３要素」 物理量と心理量 高さ： ≒基本周波数 強さ： ≒音の振幅（パワー値） 音色： 波形、その他 高さ：　≒基本周波数 強さ：　≒音の振幅（パワー値） 音色：　波形、その他 物理量と心理量 音圧（SPL: sound pressure level）、音のエネルギー 　　　⇔　ラウドネス loudness（phon, sone） 基本周波数　⇔　ピッチ（感） (mel -> MFCC)

音圧 (SPL) とラウドネス (Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ：ｅｎ)

周波数と mel 尺度 （定義式の例： 1000 Hz 基準） 𝑚𝑒𝑙=1000 log 2 𝑓 1000 +1 (Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ：ｅｎ)

音の高さ (1) 一定の高さ感（ピッチ感 pitch）のある音は、 一定の周期で波形が繰り返される。 この周期を周波数単位で表したものが 「基本周波数」 fundamental (frequency) 楽音：　ピッチ感のある音 通常の楽器音 噪音：　ピッチ感のない音　　 打楽器音(シンバル、ドラム、．．．）、 white noise 中間的：　鐘、銅鑼など

音の高さ (2):　周波数成分 「重ねあわせの原理」 ２つの音 S1(t) と S2(t) とを同時に鳴らした音 S(t) は S(t) = S1(t) + S2(t) で表される。 最も「単純な」音（純音）は三角関数（サイン波）として 表せる。 S(t) = Asin(2πf t +α） (A: 振幅、f: 周波数、α：位相） 純音でない音を複合音などと言う。

音の高さ (3): Fourier 展開・級数 （詳細は授業補足資料参照） 楽音（ピッチ感のある音） S(t) は、基本周波数 f の整数倍の周波数の音の重ね合わせ。 2πf =ωとおくと： S(t) = a0 /2 + a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt 　+ ... + an cos nωt + ... 　　　　　　　+b1 sin ωt + b2 sin 2ωt + b3 sin 3ωt 　+ ... + bn sin nωt + ... 基本周波数の音：　基音 周波数 nf の音：　(基音の）第 n 倍音 an, bn ：　第 n 倍音の振幅

波形の例（１） 波形 スペクトル 正弦波　S(t) = sin t 鋸歯状波（きょしじょうは） S(t) = sin t + ½ sin 2t + ... 　　+ 1/n sin nt + ...

波形の例（２） 波形 スペクトル 矩形波（くけいは） S(t) = sin t + 1/3 sin 3t + ... 　　+ 1/(2n+1) sin (2n+1) t 　　 + ... 三角波 S(t) = sin t － 1/32 sin 3t + ... 　　+ (-1）n /(2n+1) 2 sin (2n+1) t 　　+ ...

音波⇒周波数分布（スペクトル） 原理（三角関数の直交性） S(t) = a0 /2 + a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt 　 + ... + an cos nωt + ... 　　　　　　　 +b1 sin ωt + b2 sin 2ωt + b3 sin 3ωt 　 + ... + bn sin nωt + ... πan = πbn = （一般には連続分布（フーリエ変換）になる。）

実際のスペクトル抽出・音響解析 ハードウェア： バンドパスフィルタ等 ソフトウェア（アルゴリズム） （その他にも各種の解析手法がある。） ハードウェア：　バンドパスフィルタ等 ソフトウェア（アルゴリズム） ディジタルデータ（離散データ）が対象なので、 離散フーリエ変換（DFT: Discrete Fourier Transform）になる。 高速フーリエ変換： FFT (Fast Fourier Transform) Cooley & Tukey, 1965 （その他にも各種の解析手法がある。）

音の高さ (4)：オクターブ、音階 音の高さは基本周波数の対数関係として知覚される。 基本周波数が等比級数 ⇒ 知覚される高さは等差級数的 音の高さは基本周波数の対数関係として知覚される。 基本周波数が等比級数 ⇒　知覚される高さは等差級数的 高さが２倍の音同士は「オクターブの関係」にあると言う。 基本周波数 f に対し、2f, 4f, 8f, ..., 2nf の音は 第 1, 2, ..., n オクターブ

聴覚（Wikipedia より） 耳の構造 可聴域 両耳聴とステレオ 位相差

聴覚（Wikipedia より）：　内耳

可聴域　（20～20,000 Hz）

絶対音感 (Absolute Pitch) 基本的には、単独音を聞いて、 その高さ（音名）を答えられる能力 絶対音感保持者は 10～20%（日本人は多い） 　⇔　相対音感 程度には大きな開きがある。 ピン：　　数 Hz 単位で区別ができる。 キリ：　　白鍵の音名だけわかる。 特定の楽器音（たとえばピアノ）しかわからないなど。

相対音感 (Relative Pitch) 音同士の相対的な高さ（音程）がわかる。 じゃ、どの程度までわかるか？ たいていの人は（精度の差はあれ）、わかる。 わからない　⇒　いわゆる「音痴」 音色や音高にはよらない。 じゃ、どの程度までわかるか？ C-G（ドーソ）　　ピアノ　　　バイオリン　　　合成音 440Hz　　　

絶対音感と相対音感 なぜ普通の人は絶対音感がないのか。 逆になぜ相対音感はあるのか。 コンピュータで音高解析すると、必然的に絶対音高情報は得られる。 人間でも、内耳等の前段階処理では絶対音高情報が抽出されている。 一般的な絶対音感はなくても、何度も聞いたりしてよく知っている音・曲の場合は、音高をかなり正確に再現できる。 　⇒　音の高さの「記憶」は存在しうる？

音の高さ (4)：オクターブ、音階(続き） 周波数が簡単な整数比の音ほど響きがよい。 1:2 オクターブ 2:3 ５度（ド・ソ） 3:4 ４度（ド・ファ） 4:5 長３度（ド・ミ） .......

音律と音階 (1) 音階（scale)： 特定のジャンル・様式の曲が用いる音高集合、及び各音に機能(役割）を付したもの。 オクターブを周期とするのが普通。 西洋調性音楽：　７音音階（長旋法、短旋法） オクターブを１２半音に分ける。全音：２半音 長旋法 　　　 全　　 全　 半　 全　　 全　　 全　 半 　　○ー・ー○ー・ー○ー○ー・ー○ー・ー○ー・ー○ー○ 短旋法（自然短音階） 　　　 全　 半　 全　 全　　半　 全　 　 全　 　　○ー・ー○ー○ー・ー○ー・ー○ー○ー・ー○ー・ー○

音律と音階 (2) その他の音階 教会旋法、民族音楽（５音音階が多い）、．．． 音律 (temperament)：　音階の各音の音高比を定めたもの 平均律、純正律、等々。 セント (cent)：音高比（音程）の単位 １２平均律の半音を 100 とする。(周波数の対数尺度） 　　１オクターブ＝1200 cent 　　周波数 f0 と f の音程のセント値： 1200 log2 (f / f0)

音律の決定要素 協和性（響きの良さ） オクターブ等価性 転調のしやすさ 完全５度：2:3、 長３度：4:5 など 等差級数的 完全５度：2:3、　 長３度：4:5 など 等差級数的 オクターブ等価性 mod 2n で「等しい」音と見なす：　５度円など 等比級数的 転調のしやすさ 本質的に両立不可能！

５度円 (Circle of Fifths) C G D A E B F♯ D♭ A♭ E♭ B♭ F

ピタゴラス音律 1 256/243 9/8 32/27 81/64 4/3 729/512 3/2 128/81 27/16 16/9 243/128 2 ５度音 (2:3) の積み重ねで音階を構成 C → G → D → A → ... C → F → B♭ → ... 周波数比の分母は 2（と 3）のべき乗だけ(右図） ５度音程の響きは良い ３度はあまりよくない (3/2)n は２のべき乗にならない！ (3/2)12 / 27 = 1.0136... (23 cent) 　　Pythagorian comma 他の作り方もある。

純正律 (Just intonation) ５度、３度の音程により構成 音程が単純な整数比になる ３和音の響きがよい 1 16/15 9/8 6/5 5/4 4/3 45/32 3/2 8/5 5/3 9/5 15/8 2 ５度、３度の音程により構成 音程が単純な整数比になる ３和音の響きがよい 全音が２種類ある。 9/8（大全音）と 10/9 （小全音） 転調ができない Wolf tone が生じる

１２平均律 (Equal Temperament) すべての半音を等間隔（等周波数比）で並べる。 １オクターブ（周波数比 2）を（等比級数的に） １２等分する。 半音：　周波数比で 21/12 転調が自由にできる 完全５度（ド・ソ）はほぼ協和的 ３度の響きが少し悪い

代表的な音律の cent 値 C major F# major 和音 平均律 純正律 ピタゴラス律 平均律 純正律 ピタゴラス律 平均律　　　　　　純正律　　　　　　　　　　ピタゴラス律 C 0 0 0 C# 100 111.73128526977 90.22499567306 D 200 203.91000173077 203.91000173077 D# 300 315.64128700055 294.13499740383 E 400 386.31371386483 407.82000346155 F 500 498.04499913461 498.04499913461 F# 600 590.22371559561 611.73000519232 G 700 701.95500086538 701.95500086538 G# 800 813.68628613516 792.17999653845 A 900 884.35871299944 905.86500259616 A# 1000 1017.59628786594 996.08999826922 B 1100 1088.26871473022 1109.77500432694 和音 平均律 純正律 ピタゴラス律 C major F# major

その他の音律 中全音律 (Meantone scales) 不等分平均律 ．．．．． 音律は（現在は使われていないもの、提案されただけのようなものまで含めれば）軽く数十種類はある。 音律の決定要素のどこに重点をおき、どのように組み合わせるかによって変わる。 実際の演奏では、様々な混合や変化が生じる 現在の楽器は基本的には平均律だが、弦楽器や声のように連続的な音程変化が可能な場合、部分的には純正律に近い。コーラスのうまい／へたの１つの要因。

調律 (tuning) 基準音高（concert pitch などという）を定め、採用した音律に応じて各音の音高を調節すること。 基準音高の標準は A4=440Hz (ISO 16) 歴史とともに段々上がってきている。 バロック時代（18C 前半）は 415Hz ぐらい 現在のオーケストラはやや高め： 440～444Hz 高いチューニングのほうが音が伸びるから？ （がっきは痛み易くなるけど） オーケストラではオーボエを基準音として他の楽器が合わせる（ただしピアノがある場合はピアノ）

音律についての URL http://nagasm.org/ASL/temper/index.html （長嶋洋一氏のページ） http://www.asahi-net.or.jp/~HB9T-KTD/music/Japan/Research/Genre/index.html (音楽研究所） http://www.tg.rim.or.jp/~ejiri/hobby/onritsu.html http://www.mab.jpn.org/lib/exp/temper/basis.html http://www.bekkoame.ne.jp/~sakazaki/eki/ekiinfo/tuning.html

レポート出題 第1回： 10/16 出題： MIDI/SMF データ 第２回（予定）： 来週あたり出題予定 音響データを作成するプログラム 詳細は別紙資料、manaba を参照 提出期限： 10/30 第２回（予定）：　来週あたり出題予定 音響データを作成するプログラム