pole-dominated QCD sum rules Exotic Hadrons in pole-dominated QCD sum rules based on Phys. Rev. C74, 045206 (2006) 古城　徹 (京大理)、林垣　新 (Gothe Univ.) 、慈道　大介 （基研） 2007.3.1. ストレンジネスとエキゾティックス

QCD sum rules (QSR) QCD sum rules (QSR) 今回は主に、ハドロンを解析する非摂動的手法である 　　　　　　QCD sum rules (QSR) を Exotics 一般に適用する際に注意すべき点を議論する. QSR: 相関関数一般と局所演算子の真空期待値とを関連付ける和則. cf) 二点相関関数 → 伝播粒子の質量等、 三点相関関数 → 相互作用定数、 form factor クォーク凝縮値等を通じてどのような効果が本質的かを同定できるという利点がある. , , .. ハドロンの中間状態の和 QCD level での計算 （演算子の真空期待値の和） matching 真空期待値自体は直接計算しない→　この意味で半現象論的取り扱い → 実験、現象論、格子QCD による計算と相補的

hadron (現象論) side QCD side ？ 相関関数の解析で用いる近似 Operator Product Expansion even odd hadron (現象論) side QCD side （スペクトル関数の積分） Operator Product Expansion （OPE） ？ soft q q hard simple parametrization sum of local operators , … information of QCD vacuum

M に対する制限 , Borel window Borel window の範囲で, 物理量 mass & residue を 知りたい低エネルギーの情報 Borel trans. OPE bad OPE good small large Borel window Borel window の範囲で, 物理量 mass & residue を unphysical な展開パラメータ M ( と物理的な Sth ) の関数として表現. , physical parameter M に依るべきではない！

? 物理量を計算する際に必要な手続き Mmin < M < Mmax M2 small ? 物理量を計算する際に必要な手続き 1, 各 Sth 毎に Borel window を設定する: (最も重要な手続き） OPE の収束性に関する制限 continuum suppression に対する制限 Mmin < M < Mmax この制限を守る M2 の範囲でのみ,　Sth 以下の低エネルギー の情報を議論することができる. 2, 物理量 　を M2 の関数としてプロットし、安定性を見る. もし Sth 以下の低エネルギーの寄与が十分であるにも関わらず、つまり Borel window　が十分に設定できるにも関わらず, 物理量が M2 に大きく依ってしまうならば、 Sth 以下で何が 起こっているか詳細に検討する必要がある. 3, 物理量の M2 依存性が最も小さくなるような Sth を選択する.

QSR の成功例: -meson case OPE の higher dim. terms の重要性: ( up to dim. 6 ) 0.8 0.6 0.4 1.0 1.2 1.4 1 2 3 Borel window 750~790 770 2.3~2.5 2.36 OPE の higher dim. terms の重要性: OPE の dim.6 の項（低エネルギーの相関） まで入れてはじめて Borel window の範囲で 安定性が生じる. Dim.6 terms を入れないと ρ－A1 mass splitting を説明できない. (dim.6 terms がないと ρ、A1 に対するOPEは同じ結果を与える.)

Exotics に適用する場合の困難 ? カレント演算子に含まれるクォークの数が多くなるほど カレント演算子に含まれるクォークの数が多くなるほど 　　 　　　Borel window を見つけるのが難しくなる. 特に高エネルギーからの寄与が大きく見えてしまい、 低エネルギーが相対的に見にくくなってしまうというのが問題. M2 small ? このようなケースでは,　M2 の変化に対し、 物理量が artificial な安定性 を示すことが知られている. ( メソン、バリオンのケースでさえ ) artificial な安定性を避けるためには, Borel window の範囲内で物理量を評価しなければならない.

Borel window を見つけるために 1, OPE の higher dim. terms を計算する : 高エネルギー ( > Sth ) からの寄与が大きすぎる. → 低エネルギー ( < Sth ) 領域を議論できない. この問題に対処するために: 1, OPE の higher dim. terms を計算する : a) 低エネルギー領域との相関 を増やすことができる. b) もし OPE の収束性が良いことを確かめられたら, 　小さい M を取る ことにより 高エネルギーからの寄与を減らすことができる. （ 但し, 高次の演算子の真空期待値は ambiguity を含む ） 2, 何らかの工夫をすることで高エネルギーからの寄与を減らす: a) 使うカレント演算子として良いものを選ぶ. 高エネルギーで実現される対称性 （カイラル、フレーバー対称性） 　　　に注目し、高エネルギー領域だけうまく相殺するような相関関数の組を選ぶ. ( cf: ρ、A1に対する Weinberg sum rule ) ( cf; baryon sum rule ではカレント演算子の選択が極めて重要） c) 異なるカレント間の相関関数を計算する 　（cf: axial-current – pseudo scalar current → pion pole だけを通じて correlate する)

OPE はどこまで計算する必要があるか? meson (2 quark) 2×2×3/2 = dim 6 baryon (3 quark) 大まかに言って、全ての quark line が切れる　dimension まで 理由：quark line が切れたダイアグラムには大きな factor がかかる. cf) e~1/3 なのにQED の摂動論が機能するのはループで生じる 小さな factor のおかげ hard soft higher dim. lower dim. 運動量保存のため、これ以上切れる loop がない →　これより高次の項は大きな影響を及ぼさない meson (2 quark) 2×2×3/2 = dim 6 baryon (3 quark) 2×3×3/2 = dim 9 tetra (4 quark) 2×4×3/2 = dim 12 penta (5 quark) 2×5×3/2 = dim 15 目安

Exotics の計算例: Θ+（1540) 三種類のカレントについて OPE の計算を dim.15 まで: T.K., master thesis T.K., Hayashigaki, Jido, PRC74, 045206 (2006) 三種類のカレントについて OPE の計算を dim.15 まで: (但し、高次の真空期待値については factorization hypothesis を使って計算） 低エネルギーの相関を多く取り入れることで Θ+ の質量が出るか？ →　Borel window がそもそも設定できなかった. 一方で、もともと低エネルギーの相関が弱すぎるのか、高エネルギーの相関が大きすぎて低エネルギーが見えないのかがはっきりしなかった. そこで高エネルギー領域との相関を減らすことが至上命題となる. 一部だけカイラリティーの異なるカレントを二種類用意し、 相関関数の線形結合をうまく取る 高エネルギーではカイラル対称性が良い → 高エネルギーにおける相殺

Mass ( Bad cases: t = －1.0, 0.0, 10,0 ) even odd 独立な Sum rule even odd SS _ + PP _ SS + PP _ SS PP _ = 2.2 GeV SS _ PP _ = 2.2 GeV t ~ 1.0 以外では Borel window を見つけられなかった. しかし PP の方が SS の場合より低エネルギー相関が強いらしい. → PP － SS でうまく低エネルギーの相関だけ取り出せるかもしれない.

Mass ( even & odd part ) 1.63~1.64 GeV 1.71~1.73 GeV We take t = 0.9, 1.1 for even & odd part, respectively to get the widest Borel window. 1.63~1.64 GeV 2.1~2.3 GeV mass 2.0~2.2 GeV 1.71~1.73 GeV even odd (t=1.1) (t=0.9) t = 0.9 t = 1.1

Residue ( even & odd part ) Positive parity even odd (t=0.9) (t=1.1) relative sign similar value with close t probably same state

Borel window の設定！ まとめと課題 Exotics を QSR で議論するときの注意： OPE の higher dim. の計算は避けられない. Θ+（1540) に関して言えば、低エネルギー相関を見るには higher dim. を計算するだけでは不十分だった. 対称性に注目して高エネルギー部分を相殺する等、付加的な工夫が必要. 結局のところ地道に、系統的に既知のメソン・バリオンの実験結果と QSR の計算を比較することで決める、あるいは lattice で測って決めていくことになると予想される. 高次の真空期待値の評価に関して: 比較的 ambiguity の少ない meson の場合で、elemag. charge radius 等を計算し、 実験との比較から真空期待値に拘束をかけていく. Exotics のバックグラウンドにある多体の散乱状態に関して: condensate の値を人為的に振るなどしてその応答を見る. large Nc の観点から ダイアグラムを分別してみる. →　確立した評価方法はまだない.

? About KN scattering states Speculations: K: N: even: 0.1 GeV reduce OPE K N About KN scattering states lattice: volume dep. (ex. Takahashi et al., PRD71, 114509 (2005) ) QSR: soft kaon theorem. (ex. S.H.Lee et al., PLB609, 252 (2005) ) Speculations: The response of the mass against variation of provides the some information of KN contaminations. K: Not strongly depend on . N: Ioffe’s formula MK + MN → ~0.18 GeV 　　　enhance even: 0.1 GeV reduce odd : 0.05 GeV enhance Optimistically speaking, our observed state seems to be not the mimic of the KN scattering states. The variation of from – 0.21GeV to －0.25GeV shows: KN threshold Our observed state

Our criterion for the Borel window Lower bound for M: ( OPE convergence ) 　　The highest dim. terms share less than 10% of whole OPE. Upper bound for M: ( Continuum suppression & Pole dominance ) 　　Pole contribution exceeds the continuum ones : usually used constraint A B OPE S Sth

? Linear combination of the correlators (not operators) Set up: We prepare similar 5 quark operators mixing parameter Only difference is the chirality of the diquark operator OPE ? E Eth similar high energy behavior (chiral sym. is good sym. in high energy) Phys.Rev.Lett.18, 507(1967) When t ~ ±1.0, we can employ the concepts of Weinberg Sum Rule. If the low energy contributions remain enough, we can extract the information of low energy. And high energy contaminations is expected to be canceled. Cancellation of lower dimension terms

About mixing t OPE side phen. side dim 1, 3, 5 terms cancel (odd WSR) (even WSR) dim 0, 4 terms cancel Chiral even part: constructed from the chirality conserving terms Chiral odd part: constructed from the chirality violating terms sign for parity

Our choice for t even odd t ~ 1.0 spectrum approximated by OPE Our choice for t qualitative behavior of spectrum: even odd still large !! ~ 0 t ~ 1.0 good OPE convergence ! We can take small M2 dim 15, 17, … dominant terms － PP _ SS + PP _ SS －SS － 　_ good cont. suppression ! still contaminated from 2.5~ 4.0 GeV 2 GeV The choice t ~ 1.0 provides the widest Borel window. (when we take reasonable value for Sth = 1.9 ~ 2.5 GeV)

OPE dependence of the mass even ( t = 0.9 ) odd ( t = 1.1 ) After dim.12, the OPE dependence of the mass becomes small. For other t, the OPE dep. is quite large.

For further development It is important to clarify the meaning of factorization hypothesis more accurately to judge which physics are taken into account and are neglected in when we use the vacuum saturation. The meaning of the inclusion of complete set between the normal product of the operators is not so clear.

Appendix. Our criterions on diagram selection for OPE OPE results Qualitative behavior of the spectral function ( approximated by OPE ) Our parameter set Our previous study for another interpolating field

QSR for Exotics ? Exotics を解析する際の困難 低エネルギー相関の占める割合が 2. Good continuum suppression 3. small M2-dependence 1. Good OPE convergence QSR for Exotics Exotics を解析する際の困難 クォーク演算子を多く含むカレントに対して, 　　　　 Borel window を見つけるのは極めて難しい. 実際に Exotics に QSR を適用した計算のほとんどが 　Borel window を設定しないまま解析を行なっていた. 典型的には、 低エネルギー相関の占める割合が スペクトル関数の積分全体の 20% 以下になってしまっていた！ R.D.Matheus and S.Narison, hep-ph/0412063 M2 small ? このようなケースでは, 物理量が artificial な安定性 を示すことが知られている. ( メソン、バリオンのケースでさえ ) artificial な安定性を避けるためには, Borel window の範囲内で物理量を評価しなければならない.

How large dim. terms should be calculated ? + + …. dim 3 dim 5 soft hard Cutting loops generates the large factor． leads to the extremely slow OPE convergence． dim 12 After dim.12, no additional large factor emerges． hard ( due to momentum conservation ) Asymptotic expansion becomes stable.

Our criterions on diagram selection for OPE 1, Loop corrections are neglected. 2, Strange quark mass is evaluated to O(ms). 3, The higher dimensional gluon condensates such as triple gluon condensates are neglected. Since they are expected to be smaller than the quark condensates entering the tree diagrams. ( This statement is usually used in the baryon sum rules. ) All other diagrams are calculated (within factorization hypothesis) .

OPE Results ( up to dim.15 )

Qualitative behavior of spectral function even part: PP _ SS _ + dim. 8 dim. 0 + 4 dim. 0 + 4 + dim. 8 + dim. 10 + dim. 6 + dim. 10 + dim. 6

After the subtraction (even part) PP _ SS _ ― dim. 0 + 4 + dim. 8 + dim. 10 + dim. 6

Qualitative behavior of spectral function odd part: PP _ SS _ dim. 3 dim. 9 dim. 7 dim. 7 dim. 9 dim. 5 dim. 1 dim. 1 dim. 11 dim. 11 dim. 5 dim. 3

After the subtraction (odd part) PP _ SS _ ― + dim. 9 + dim. 7 + dim. 1 + dim. 11 + dim. 5 + dim. 3

Our parameter set gives the error of the mass ~ 0.08 – 0.12 GeV

? Our previous study using the SDO operator Small coupling with KN ？ (T.K, master thesis. 2004) ( Sugiyama, Doi, Oka, Phys.Lett.B581(2004)167 ) , , …. should be suppressed. E ? OPE K N [diquark]2 - antiquark type: well-physically motivated operator ud s _ spin attractive color spin, color, flavour anti-symmetric composite boson This op. does’nt have the nonrelativistic limit. Small coupling with KN ？

Pole ratio for SDO op. ( at = 2.0 GeV ) M2 small higher dimension effect even odd too small ! too small ! Too small pole ratio to contaminations ( In experience, ratio is hoped to exceed 50 % ) We failed to find the Borel window despite of inclusion of higher dim. terms of OPE (low energy correlations) . Too small pole contribution? or too large high energy contaminations? To clarify this point, we need the additional treatments to suppress the high energy contaminations.

even odd 40 % 2.3~2.4 GeV No stability 2.6~2.8 GeV sum rule’s artifact ! mass No stability 2.3~2.4 GeV 2.6~2.8 GeV

The idea of Weinberg sum rule S.Weinberg, Phys.Rev.Lett.18, 507(1967) chiral partner continuum side cancellation in high energy region ( Chiral symmetry is good symmetry in high energy ) E ρ(~780 MeV) ρ(~1400 MeV) a1 (~1200 MeV) a1 (~1600 MeV) pQCD OPE side cancellation of leading OPE term

cancellation in high energy region Application； E ρ(~780 MeV) ρ(~1400 MeV) a1 (~1200 MeV) a1 (~1600 MeV) pQCD simple parametrization λ λ’ m m’ cancellation in high energy region We can get the equations relating the physical parameters for ρ& A1. solutions λ2 = λ’ 2 　 m’ = 1.6 ×m ~　1.3 GeV

The role of each dimension terms OPE side Phen. side 理由：quark line が切れたダイアグラムには大きな factor がかかる. cf) e~1/3 なのにQED の摂動論が機能するのはループで生じる 小さな factor のおかげ lower dim. higher dim. soft hard soft hard hard hard soft 運動量保存のため、これ以上切れる loop がない →　これより高次の項は大きな影響を及ぼさない