AASHITE SOUSHITE KOUYATTE ＝７月　２次関数　方程式と不等式＝ ＜メニュー画面＞ ２次方程式の解の個数 ＜予備知識　方程式と関数の関係＞ 問１　２次方程式の解の個数を求める 問２　x軸との関係から２次関数の式を求める ２次不等式の解き方 （𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 の部分）＝０ とおいたとき、 方程式の解の個数が 問３　２個だった場合の解き方 問４　１個だった場合の解き方 問５　０個だった場合の解き方 （※）マウスが消える場合は、Ctrl+A を押して下さい

𝑥 方程式と関数の関係 ＜予備知識＞ （余談） 𝑦=0という関数は 𝑥軸のことでした 。 𝑥軸のことでした　 。 例えば、 𝑦=𝑥 2 −3𝑥+2 と 𝑦=0 の交点・・・① を求めるには、連立させて ね 方程式 𝑥 2 −3𝑥+2=0 ・・・② を解くことになります。 2 1 𝑥 ですから、①の交点の𝑥座標と②の解は同じ ものです。この単元では、そのことを利用し て問題を解いていきます。

−8𝑘+1>0 すなわち 𝑘< 1 8 のとき ２個 ＜２次方程式の解の個数を求める＞ 問１ ２次方程式 2 𝑥 2 −3𝑥+𝑘+1=0 方針１ やり方は２つ。 場合によって使い 分けます。 まずは判別式です。 の実数解の個数を調べなさい。 ＜方針１＞ 判別式　　　　　　　 を利用 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 𝐷>0 ⇒ 解は２個（異なる２つの実数解） 𝐷=0 ⇒ 解は１個　（重解） 𝐷<0 ⇒ 解は０個　（解なし） 𝐷= 3 2 −4∙2∙ 𝑘+1 =−8𝑘+1より −8𝑘+1>0 すなわち 𝑘< 1 8 のとき ２個 −8𝑘+1=0 すなわち 𝑘= 1 8 のとき １個 −8𝑘+1<0 すなわち 𝑘> 1 8 のとき ０個

2 𝑥 2 −3𝑥+𝑘+1=0 𝑘− 1 8 <0 すなわち 𝑘< 1 8 のとき ２個 ＜２次方程式の解の個数を求める＞ 問１ ２次方程式 2 𝑥 2 −3𝑥+𝑘+1=0 方針２ 頂点のｙ座標で 判別します。 の実数解の個数を調べなさい。 ＜方針２＞ 頂点のｙ座標を利用 𝑦=2 𝑥− 3 4 2 +𝑘− 1 8 より、 頂点のｙ座標は 𝑘− 1 8 𝑘− 1 8 𝑘− 1 8 <0 すなわち 𝑘< 1 8 のとき ２個 𝑘− 1 8 =0 すなわち 𝑘= 1 8 のとき １個 𝑘− 1 8 >0 すなわち 𝑘> 1 8 のとき ０個

𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 𝐷 4 = (𝑘−1) 2 − 2 𝑘 2 −7𝑘+5 =0 ∴ 𝑘 2 −5𝑘+4=0 ∴ 𝑘−1 𝑘−4 =0 ＜ｘ軸との関係から２次関数の式を求める＞ 問２ 𝑦= 𝑥 2 −2 𝑘−1 𝑥+2 𝑘 2 −7𝑘+5 が 方針１ やり方は２つ。 場合によって使い 分けます。 まずは判別式です。 𝑥軸に接するように𝑘の値を定めなさい。 ＜方針１＞ 判別式　　　　　　　 を利用 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 与えられた関数が、𝑥軸に接するためには 𝑥 2 −2 𝑘−1 𝑥+2 𝑘 2 −7𝑘+5=0 が 重解を持てば良いから 𝐷 4 = (𝑘−1) 2 − 2 𝑘 2 −7𝑘+5 =0 ∴ 𝑘 2 −5𝑘+4=0 ∴ 𝑘−1 𝑘−4 =0 ∴ 𝑘=1 , 4

𝑦= 𝑥−(𝑘−1) 2 + 𝑘 2 −5𝑘+4 𝑘 2 −5𝑘+4 ∴ 𝑘 2 −5𝑘+4=0 ∴ 𝑘−1 𝑘−4 =0 ＜Ｘ軸との関係から２次関数の式を求める＞ 問２ 𝑦= 𝑥 2 −2 𝑘−1 𝑥+2 𝑘 2 −7𝑘+5 が 方針２ 頂点のｙ座標で 判別します。 𝑥軸に接するように𝑘の値を定めなさい。 ＜方針２＞ 頂点のｙ座標を利用 𝑦= 𝑥−(𝑘−1) 2 + 𝑘 2 −5𝑘+4 より、頂点のｙ座標は 𝑘 2 −5𝑘+4 ∴ 𝑘 2 −5𝑘+4=0 ∴ 𝑘−1 𝑘−4 =0 ∴ 𝑘=1 , 4

𝑥 2 −𝑥−6<0 −𝑥 2 +3𝑥−1≦0 𝑥 2 −3𝑥+1≧0 ＜２次不等式の解き方 パターン１＞ 問３ 手順１ ＜２次不等式の解き方　パターン１＞ 問３ (1)　　　　　　　　 を解きなさい。 𝑥 2 −𝑥−6<0 手順１ −𝑥 2 +3𝑥−1≦0 左辺の 𝑥 2 の係数が マイナスのときは、 プラスにしておき ます。 (2) 　　　　　　　 を解きなさい。 (1)は、そのままでＯＫです。 (2)は、両辺にマイナスをかけて 𝑥 2 −3𝑥+1≧0 としておきます。 不等号の向きを変えるのを 　　　　　　　忘れないでっ！

𝑥 2 −𝑥−6<0 𝑥 2 +3𝑥−1≧0 𝑥 2 −𝑥−6=0 ∴ (𝑥−3)(𝑥+2)=0 ∴ 𝑥=3,−2 ＜２次不等式の解き方　パターン１ ＞ 問３ (1)　　　　　　　　 を解きなさい。 𝑥 2 −𝑥−6<0 手順２ 𝑥 2 +3𝑥−1≧0 (左辺)＝０の解の個 数を調べます。 ここでは解が２個の場合を扱います。 (2) 　　　　　　 を解きなさい。 （𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 の部分）＝０ を解きます。 𝑥 2 −𝑥−6=0 (1) ∴ (𝑥−3)(𝑥+2)=0 ∴ 𝑥=3,−2 ⇒ 解の個数は ２個 (2) 　　　　 𝑥 2 −3𝑥+1=0 ∴ 𝑥= 3± 9−4 2 = 3± 5 2 ⇒ 解の個数は ２個 パターン１では、 解の個数が ２個の場合を扱います。

𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 <0 ⇒ 𝛼<𝑥<𝛽 𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 >0 ⇒ 𝑥<𝛼, 𝛽<𝑥 ＜２次不等式の解き方　パターン１ ＞ 問３ (1)　　　　　　　　 を解きなさい。 𝑥 2 −𝑥−6<0 手順３ 𝑥 2 +3𝑥−1≧0 左記のように判断 できる理由は (2) 　　　　　　 を解きなさい。 解の個数が２個の場合 ⇒ こちらです ２解が 𝛼,𝛽 （𝛼<𝛽）のとき 𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 <0 ⇒ 𝛼<𝑥<𝛽 𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 >0 ⇒ 𝑥<𝛼, 𝛽<𝑥 「＜なら　𝑥 は　小さい解と大きい解の間」 「＞なら　𝑥 は　 　　　小さい解より小さく、大きい解より大きい」 (1) −2<𝑥<3 𝑥≦ 3− 5 2 ， 3+ 5 2 ≦𝑥 (2) 　　　　

𝑥 ＜２次不等式の解き方 パターン１ 理由＞ このパターンの不等 𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 <0 を満たす部分は 式を解くときに毎回、 ＜２次不等式の解き方　パターン１　理由＞ このパターンの不等 式を解くときに毎回、 理由を考える必要は ありませんが、理解し ておきたい内容です。 𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 <0 を満たす部分は 下のグラフのオレンジの矢印の部分で、 𝛼<𝑥<𝛽 となります。 β α 𝑥 𝑦= 𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 同様に、 𝑥−𝛼 𝑥−𝛽 >0 を満たす部分は 上のグラフのグリーンの矢印の部分で、 𝑥<𝛼, 𝛽<𝑥 となります。

𝑥 2 −4𝑥+4>0 𝑥 2 −4𝑥+4≧0 𝑥 2 −4𝑥+4<0 𝑥 2 −4𝑥+4≦0 − 𝑥 2 −4𝑥+4≦0 ＜２次不等式の解き方　パターン２＞ 問４ 不等式を解きなさい。 手順１ 𝑥 2 −4𝑥+4>0 (1) 左辺の 𝑥 2 の係数が マイナスのときは、 プラスにしておき ます。 𝑥 2 −4𝑥+4≧0 (2) 𝑥 2 −4𝑥+4<0 (3) 𝑥 2 −4𝑥+4≦0 (4) この問題では、すべてそのままでＯＫです。 例えば　 − 𝑥 2 −4𝑥+4≦0 の場合なら 両辺にマイナスをかけて 𝑥 2 +4𝑥−4≧0 としておいた方が扱いやすいです。

𝑥 2 −4𝑥+4>0 𝑥 2 −4𝑥+4≧0 𝑥 2 −4𝑥+4<0 𝑥 2 −4𝑥+4≦0 𝑥 2 −4𝑥+4=0 ＜ ２次不等式の解き方　パターン２ ＞ 問４ 不等式を解きなさい。 手順２ 𝑥 2 −4𝑥+4>0 (1) (左辺)＝０の解の個 数を調べます。 ここでは解が１個の 場合を扱います。 𝑥 2 −4𝑥+4≧0 (2) 𝑥 2 −4𝑥+4<0 (3) 𝑥 2 −4𝑥+4≦0 (4) （𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 の部分）＝０ とおいた方程式を 解きます。 𝑥 2 −4𝑥+4=0 ∴ 𝑥−2 2 =0 ∴ 𝑥=2(重解) ⇒ 解の個数は １個 パターン２では、 解の個数が １個の場合を扱います。

𝑥 2 −4𝑥+4>0 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+4＝ (𝑥−2) 2 𝑥 ＜ ２次不等式の解き方 パターン２ ＞ 問４ ＜ ２次不等式の解き方　パターン２ ＞ 問４ 不等式を解きなさい。 手順３ 𝑥 2 −4𝑥+4>0 (1) 解の個数が１個の 場合は、必ず グラフを描いて 意味で考えます。 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+4＝ (𝑥−2) 2 のグラフは以下のようになるから 2 𝑥 𝑦= (𝑥−2) 2 𝑥＝２だけは、＝０になってしまうので省きます。 ∴(1)の答えは　２以外のすべての実数

𝑥 2 −4𝑥+4≧0 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+4＝ (𝑥−2) 2 𝑥 ＜ ２次不等式の解き方 パターン２ ＞ 問４ 不等式を解きなさい。 ＜ ２次不等式の解き方　パターン２ ＞ 問４ 不等式を解きなさい。 手順３ (2) 𝑥 2 −4𝑥+4≧0 解の個数が１個の 場合は、必ず グラフを描いて 意味で考えます。 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+4＝ (𝑥−2) 2 のグラフは以下のようになるから 2 𝑥 𝑦= (𝑥−2) 2 𝑥に何を入れても、この式(０以上)を満たしています。 ∴(2)の答えは　すべての実数

𝑥 2 −4𝑥+4<0 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+4＝ (𝑥−2) 2 𝑥 ＜ ２次不等式の解き方 パターン２ ＞ 問４ ＜ ２次不等式の解き方　パターン２ ＞ 問４ 不等式を解きなさい。 手順３ 𝑥 2 −4𝑥+4<0 (3) 解の個数が１個の 場合は、必ず グラフを描いて 意味で考えます。 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+4＝ (𝑥−2) 2 のグラフは以下のようになるから 2 𝑥 𝑦= (𝑥−2) 2 𝑥に、何を入れても０より小さくはなりません。 ∴(3)の答えは　なし

𝑥 2 −4𝑥+4≦0 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+4＝ (𝑥−2) 2 𝑥 ＜ ２次不等式の解き方 パターン２ ＞ 問４ 不等式を解きなさい。 ＜ ２次不等式の解き方　パターン２ ＞ 問４ 不等式を解きなさい。 手順３ (4) 𝑥 2 −4𝑥+4≦0 解の個数が１個の 場合は、必ず グラフを描いて 意味で考えます。 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+4＝ (𝑥−2) 2 のグラフは以下のようになるから 2 𝑥 𝑦= (𝑥−2) 2 𝑥＝２のみが、この式(０以下)を満たしています。 ∴(4)の答えは　𝑥＝２

𝑥 2 −4𝑥+5>0 𝑥 2 −4𝑥+5≧0 𝑥 2 −4𝑥+5<0 𝑥 2 −4𝑥+5≦0 − 𝑥 2 −4𝑥+4≦0 ＜２次不等式の解き方　パターン３＞ 問５ 不等式を解きなさい。 手順１ 𝑥 2 −4𝑥+5>0 (1) 左辺の 𝑥 2 の係数が マイナスのときは、 プラスにしておき ます。 𝑥 2 −4𝑥+5≧0 (2) 𝑥 2 −4𝑥+5<0 (3) 𝑥 2 −4𝑥+5≦0 (4) この問題では、すべてそのままでＯＫです。 例えば　 − 𝑥 2 −4𝑥+4≦0 の場合なら 両辺にマイナスをかけて 𝑥 2 +4𝑥−4≧0 としておいた方が扱いやすいです。

𝑥 2 −4𝑥+5>0 𝑥 2 −4𝑥+5≧0 𝑥 2 −4𝑥+5<0 𝑥 2 −4𝑥+5≦0 𝐷 4 =4−5<0 ＜２次不等式の解き方　パターン３ ＞ 問５ 不等式を解きなさい。 手順２ 𝑥 2 −4𝑥+5>0 (1) (左辺)＝０の解の個 数を調べます。 ここでは解が０個の 場合を扱います。 𝑥 2 −4𝑥+5≧0 (2) 𝑥 2 −4𝑥+5<0 (3) 𝑥 2 −4𝑥+5≦0 (4) （𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 の部分）＝０ とおいた方程式を 解きます。 𝐷 4 =4−5<0 ∴ 解なし ⇒ 解の個数は ０個 パターン３では、 解の個数が ０個の場合を扱います。

𝑥 2 −4𝑥+5>0 𝑥 2 −4𝑥+5≧0 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+5＝ 𝑥−2 2 +1 𝑥 ＜２次不等式の解き方 パターン３ ＞ ＜２次不等式の解き方　パターン３ ＞ 問５ 不等式を解きなさい。 手順３ 𝑥 2 −4𝑥+5>0 𝑥 2 −4𝑥+5≧0 (1) (2) 解の個数が０個の 場合も、必ず グラフを描いて 意味で考えます。 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+5＝ 𝑥−2 2 +1 のグラフは以下のようになるから 2 𝑥 𝑦= (𝑥−2) 2 +1 𝑥に何を入れても、＞０も≧０も満たします。 ∴(1)(2)の答えは　すべての実数

𝑥 2 −4𝑥+5<0 𝑥 2 −4𝑥+5≦0 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+5＝ 𝑥−2 2 +1 𝑥 ＜ ２次不等式の解き方 パターン３ ＞ ＜ ２次不等式の解き方　パターン３ ＞ 問５ 不等式を解きなさい。 手順３ 𝑥 2 −4𝑥+5≦0 (3) 𝑥 2 −4𝑥+5<0 (4) 解の個数が０個の 場合も、必ず グラフを描いて 意味で考えます。 𝑦=𝑥 2 −4𝑥+5＝ 𝑥−2 2 +1 のグラフは以下のようになるから 𝑦= (𝑥−2) 2 +1 𝑥 2 𝑥に何を入れても、＜０にも≦０にもなりません。 ∴(3)(4)の答えは　なし