ホーエル『初等統計学』 第４章 確率分布 高 尚策 （コウ ショウサク） 准教授 富山大学知能情報工学科 「統計学」第６回 ホーエル『初等統計学』 第４章　確率分布 高　尚策　（コウ　ショウサク）　准教授 Email: gaosc@eng.u-toyama.ac.jp

前回の復習：確率の諸公式 P H D = 𝑃(𝐷|𝐻)×𝑃(𝐻) 𝑃(𝐷) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 　　（加法の定理） P(A∪B) = P(A) + P(B)　　　　　（排反事象の加法の定理） P(A∩B) = P(A)×P(B | A) 　　　 = P(B)×P(A | B)　　　　　　　　　　(乗法の定理) P(A∩B) = P(A)×P(B)　　　　　（独立事象の乗法の定理） ベイズの定理（事後確率を計算するための公式） P H D = 𝑃(𝐷|𝐻)×𝑃(𝐻) 𝑃(𝐷) 事後確率 尤度 事前確率

第２章で学んだヒストグラムは，得られたデータの分布を示したもの．経験分布（empirical distribution）と呼ばれる． １．序説 第２章で学んだヒストグラムは，得られたデータの分布を示したもの．経験分布（empirical distribution）と呼ばれる． 第４章で学ぶ確率分布（probability distribution）は，母集団での分布． 母集団ではこうなっているだろうと仮定する，理論的な分布． 確率分布 経験分布

確率分布は理論的に想定される数学的モデルである． 経験分布の極限としての確率分布 確率分布は理論的に想定される数学的モデルである． 推測統計では，母集団での分布として，特定の確率分布が仮定される． 標本の大きさ（sample size）を十分に大きくすれば，相対度数を用いた経験分布は，確率分布に収束する．（今日の実践で確認する）

こうした測定は繰り返し行うことができる．繰り返しのたびに，変数 X の値が具体的に測定されると考える． ２．確率変数 事象を観察し，なんらかの測定を行う． さいころを２回投げたときの，出た目の和 学生の，１週間あたりの学習時間 こうした測定は繰り返し行うことができる．繰り返しのたびに，変数 X の値が具体的に測定されると考える． 注意：テキストでは変数を小文字の x で表しているが，ここでは大文字を用いる．

例：硬貨を３回投げる実験での，表の出る回数 X HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT 1 2 3

確率変数（random variable）： 定義：標本空間の上で定義された実数値関数．標本点それぞれに実数を対応させる． 直感的には，とりうる値それぞれについて，その値が出現する確率が与えられている変数． 「変数」なのに「関数」？ y = f(x) が，対応規則 f と，対応先の変数 y を表現していたのと同じ． 確率変数の決め方については，『統計解析ハンドブック』など参照．

標本空間 実数（表が出た 回数） X TTT TTH HTT 1 THT THH 2 HTH 3 HHT HHH

確率変数は，X のような，アルファベットの大文字を用いて表す．実現値は小文字で表す． 確率変数（離散型）の表記法 確率変数は，X のような，アルファベットの大文字を用いて表す．実現値は小文字で表す． 確率変数が特定の値 xi をとる確率を，P{X=xi} あるいは単に P{xi} と表す． 例：さいころを１回投げ，「１の目が出る」という事象に実数の１， 「２の目が出る」という事象に実数の２，・・・と対応させた確率変数 X を考えると，

確率変数と確率との対応の全体を，確率分布（probability distribution）と呼ぶ． 確率分布（離散型） とびとびの値 x1, x2, … をとる確率変数 X を，離散型（discrete type）の確率変数と呼ぶ．たいていは有限個の値を考える． 確率変数と確率との対応の全体を，確率分布（probability distribution）と呼ぶ． 横軸に確率変数 X，縦軸に確率 P{X} をとって図示する． x 1 2 3 図：硬貨投げる実験で表の出る回数 Xの確率分布

経験分布について平均と分散を考えたのと同様に，確率分布の平均と分散を考えることができる． ３．確率分布の性質 経験分布について平均と分散を考えたのと同様に，確率分布の平均と分散を考えることができる． 無作為抽出 母集団平均：μ 母集団分散：σ２ 標本平均：m 標本分散：s2 標本（経験分布） 母集団（確率分布）

第２章で学んだ，分類されたデータから標本平均を求める式を書き換える． 母集団平均：確率分布の平均 第２章で学んだ，分類されたデータから標本平均を求める式を書き換える． （n 回の試行で xi という値が fi 回観察された） 経験分布での相対度数 fi / n は，標本の大きさ（n）を十分に大きくすれば，母集団での確率 P{X=xi} に収束する．

標本の大きさを十分に大きくすると，標本平均は母集団平均に収束する． 母集団平均：確率分布の平均 標本の大きさを十分に大きくすると，標本平均は母集団平均に収束する． 母集団平均（つまり，確率分布の平均）をギリシア文字 μ （ミュー）で表す． テキスト p.79 (1) 式

分類されたデータから分散を求める式を変形する． 母集団分散 分類されたデータから分散を求める式を変形する． （n 回の試行で xi という値が fi 回観察された） n が大きいとき

標本の大きさを十分に大きくすると，標本から計算される分散は母集団分散に収束する． 母集団分散（つまり，確率分布の分散）を σ2 で表す．（ギリシア文字シグマ） テキスト p.79 (2) 式

分散 ＝ ２乗の平均 – 平均の２乗 テキスト p.81 (3) 式

確率分布の平均は，期待値（expected value）とも呼ばれる． ４．期待値 確率分布の平均は，期待値（expected value）とも呼ばれる． 確率分布の期待値といえば，確率分布の平均という意味である． 例：硬貨を１枚投げて，表が出れば100円がもらえるゲームをする．期待値は50円． 非常に多数回の試行を行えば，平均的には50円もらえると期待できる．

確率変数（標本点と実数との対応規則） 「表」→100 「裏」→0 確率分布： P{X=100} = 1/2 P{X=0} = 1/2 「表」→100　　「裏」→0 確率分布： P{X=100} = 1/2 P{X=0} = 1/2 期待値（expectation）： 確率変数の値それぞれと， その値が出現する確率との 積和 テキスト p.82 (4) 式

確率変数 X に何らかの変換 g を行って得られる変数 Y は，やはり確率変数である． 確率変数の変換 確率変数 X に何らかの変換 g を行って得られる変数 Y は，やはり確率変数である． Y の期待値は， テキスト p.83 (5) 式

確率分布の分散は，「平均からの偏差の２乗の期待値」であると言える． という変換であると考えることができる．

確率変数に定数を加えると，期待値にも定数が加えられる． 期待値の性質１ 確率変数に定数を加えると，期待値にも定数が加えられる． 確率変数を定数倍すると，期待値も定数倍される テキスト p.83 (6) 式 テキスト p.83 (7) 式

和の期待値は期待値の和（証明は，やや難） 期待値の性質２ 和の期待値は期待値の和（証明は，やや難） ２つの確率変数が独立の場合に限り， 積の期待値は期待値の積 （これはテキストにはない．証明省略） テキスト p.83 (8) 式

第１項について考える（スライド次ページ）

ここでも，第１項について考える （スライド次ページ）

したがって，

同様に， したがって， 参考：『よくわかる統計学 I 基礎編』p.59

個人が支払った9ドルの出費に対して,彼の手に戻ってくる金額の期待値はいくらか． 例：　（テキストP.83）ある慈善団体の主催する基金募集事業に参加した個人がパンチボードを1回はじくごとに４ドルを支払い,幸運の輪を1回まわすごとに5ドルを支払うものとする． 　　　このパンチボードには100個の穴があって,そのうちの20個の穴に入れば10ドルの賞金がもらえ,これとは別の特別な1個の穴に入れば100ドルがもらえる． 　　　一方,幸運の輪のほうは輪全体が5つの等面積なセクターに分かれ,各セクターには0から4までの数が１つずつ書き込んである．輪をまわし,輪がある点にとまればそのセクターの数の2倍だけのドルが支払われる． 　　　個人が支払った9ドルの出費に対して,彼の手に戻ってくる金額の期待値はいくらか． パンチボード 幸運の輪

答え：　Xをパンチボードを1回はじいたとき勝ちとる金額とし, 　　　　 Yを幸運の輪を1回まわして得られるセクターの数とする． Xが取りうる値と,それに対応する確率は, 次に、Yが取りうる値と,それに対応する確率は, ゆえに,　　　E[X]＝０×0.79＋10×0.2＋100×0.1＝3, 　　E[2Y]＝２E[Y]＝2×[0×0.2+1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2]＝４． 勝ちとる金額の合計を表す確率変数をZ＝X+2Yとすれば、 　　E[Z]＝E[X]＋E[２Y]＝７　となる． 従って,この慈善団体は募金募集に参加した個人が各ゲームを1回行うたびに,平均9-7＝２ドルの利益を得ることになる．

ある範囲の実数すべてを取りうる確率変数を連続型（continuous type）の確率変数と呼ぶ． ５．連続型変数 ある範囲の実数すべてを取りうる確率変数を連続型（continuous type）の確率変数と呼ぶ． 身長 テストの点数 工場で生産される鋼棒の直径 「真の値」を考える．測定に限界があるので，見かけ上は離散型になる．

離散型の確率変数の場合と同様に， X のような，アルファベットの大文字を用いて表す． 確率変数（連続型）の表記法 離散型の確率変数の場合と同様に， X のような，アルファベットの大文字を用いて表す． 連続型の確率変数は，ある範囲の実数すべてをとりうるので，特定のひとつの値に対する確率は考えることができない． 確率変数が特定の範囲の値をとる確率（たとえば，P{a≦X≦b} ）を考える． 『統計解析ハンドブック』など参照

柱すべてを合わせた面積が１になるようにヒストグラムを描くことにする． ヒストグラムの極限としての確率分布 柱すべてを合わせた面積が１になるようにヒストグラムを描くことにする． ひとつの柱の面積は，その階級に属する測定値の，相対度数となる．面積=相対度数 標本の大きさを十分に大きくして，かつ，階級の幅を十分に小さくすれば，ヒストグラムの上端は次第に滑らかな曲線に近づく． この曲線を表す関数 f(x) があるとする.テキスト図8（p.86）参照．

確率密度関数 連続型の確率変数 X がある範囲の値をとる確率が，関数 f(x)によって次のようにあらわされるとき，この関数を確率変数 X の確率密度関数（probability density function）と呼ぶ． 面積＝確率：面積が確率に対応する． 連続型変数の確率分布は，確率密度関数によって与えられる．

curve(df(x,10,20), 0,5, xlab="X", ylab="確率密度")

確率密度関数の性質 値は必ず０以上（離散型確率分布のグラフと同様） 全面積は１（全事象の確率は１）

確率密度関数は理論的に想定される数学的モデルである． 経験分布の極限としての 確率密度関数 確率密度関数は理論的に想定される数学的モデルである． 推測統計では，母集団での分布として，特定の確率密度関数が仮定される． 標本の大きさ（sample size）を十分に大きくすれば，相対度数を用いたヒストグラム（全面積＝１）は，確率密度関数に収束する． 確率密度関数によって与えられる確率分布の平均を μ，分散を σ2 で表す．

標本の大きさ（sample size）を十分に大きくすれば，相対度数を用いた経験分布は，確率分布に収束する？

例で確認する 例（テキストP.６９　問１０） 赤球が4個,黒球が3個,緑球が2個,白球が1個入った箱がある．この箱から球を1個取り出し,次にそれをもとへ戻す．このとき、取り出した球が赤、黒、緑、白である確率P(赤)、 P(黒)、P(緑)、P(白)を求めよ． 　　　　更に、数字0，1，2，3を赤球とよび,数字4,5,6を黒球とよび,数字7,8を緑球とよび,数字9を白球とよぶことによって,乱数表から１けたの数字を選ぶ実験のシミュレーションを行うとして,　乱数表から数字を選ぶ実験を 　　　1回、10回、50回、100回、400回、1000回、2000回繰り返し実行せよ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 標本（経験分布） 母集団（確率分布） 無作為抽出 母集団平均：μ 母集団分散：σ２ 標本平均：m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 無作為抽出 母集団平均：μ 母集団分散：σ２ 標本平均：m 標本分散：s2 標本（経験分布） 標本の大きさ　N＝　 　乱数表から数字を 　選ぶ実験を繰り返す回数 母集団（確率分布） P(赤)＝４/１０ P(黒)＝３/１０ P(緑)＝２/１０ P(白)＝１/１０ つまり、 N＝１、１０、５０、１００、４００、１０００、 ２０００

Eｘcelでシミュレーションを行う 説明： １）乱数の生成関数 =RANDBETWEEN(0,9) ２）確率モデル： 母集団確率分布 ２）確率モデル：　母集団確率分布 ３）実際に取った数字の回数：　赤球（０，１，２，３）　黒球（４，５，６） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　緑球（７，８）　白球（９） =E3/$E$7 ＝実際/N =COUNTIF(A2:A401,"<=3") ==COUNTIF(A2:A401,"<=6")-COUNTIF(A2:A401,"<=3") ==COUNTIF(A2:A401,"<=8")-COUNTIF(A2:A401,"<=6") =COUNTIF(A2:A401,９) =RANDBETWEEN(0,9) 0.4 0.3 0.2 0.1

VBAでシミュレーションを行う VBAとは 「乱数を何回発生させる？」のしたのセールに１、または１０、または　５０、１００、４００、１０００、２０００を入力して、 スタートボタンを押す。 「標本の大きさ（sample size）を十分に大きくすれば，相対度数を用いた経験分布は，確率分布に収束する」について、 右下の図をよく考察する。

演習課題 「標本の大きさを十分に大きくすれば，相対度数を用いた経験分布は，確率分布に収束する」であることを VBA によりもう一回確かめよ VBAは下記のURLからダウンロードしてください http://www3.u-toyama.ac.jp/tanglab/content51/content51.html 　　ファイル名： ProbaDis.xlsm 提出形式：A4レポート用紙（表紙をつけること）。 「確かめました」等だけのものは不可。 簡単でいいので説明文（や必要なら計算式）を書いてください。 名前と学籍番号をご記入のうえ、レポート用紙（A4）を提出する。 提出先：工学部大学院棟７階　　　　 NO.７７０８室のドアのポストに入れてください 締め切り時間： 来週月曜日　午後５時まで