一般化マクマホン立方体パズルの 問題例生成 原口和也 柿崎幸大 丸岡章 石巻専修大学 理工学部 情報電子工学科
マクマホン立方体 各面が相異なる6色で彩色された単位長の立方体 使える6色は決められているものとする 回転したものも同一とみなすと30通りの彩色 適当な添字を付けてキューブj(=1,...,30)と呼ぶ 上面に1色固定 側面: (4-1)!=6通り 対面: 5通り 56=30通り
最初のマクマホン立方体パズル モデル 残り29個で長さ2の立方体を作れ モデルとして与えられたキューブと同じ彩色 内部では同じ色の面同士が接する
Conwayによる解法
本研究で考えるパズル キューブ集合 S (|S|n3) 整数 n2 モデル(キューブj) 作れるならば 「Sは長さnのキューブjを 構成可能」 キューブ集合Sから長さnの立方体を作れ モデルとして与えられたキューブjと同じ彩色 内部の色は問わない
関連研究 [Berkove et al., 2008] n3 ならば任意のキューブ集合 S(|S|n3) から S は長さ 2 のキューブ j を構成可能 長さ n のキューブ j も構成可能 |S|27 S は長さ 2 のあるキューブを構成可能 頂点:3色 (長さ2の解を割当) 辺:2色 n 2 面:1色
研究成果 (n=2) 12 8 キューブ集合の空間 任意のキューブを構成可能 (万能キューブ集合) 集合の サイズ どのキューブも 構成不可能 12 8 キューブ集合の空間
用語の準備:色トリプル 頂点に接する3面の色を (赤,水色,緑) 時計回り順に並べた3つ組 開始面によって3通り 同値とみなす 1つのキューブは 8つの色トリプルを持つ
キューブ集合Sはキューブjを構成できるか? 構成可能性の判定 キューブ集合Sはキューブjを構成できるか? Sに含まれるキューブ キューブjの色トリプル (赤,水色,緑) (赤,紫,水色) (赤,緑,橙) (赤,橙,紫) (青,緑,水色) (青,水色,紫) サイズ8のマッチングが存在 構成可能 (青,橙,緑) ... ... (青,紫,橙)
万能キューブ集合の判定 ... ... 最小サイズの 万能キューブ集合を 数理計画で求められる 30個すべての生成部分グラフにおいて Sに含まれるキューブ キューブ1の色トリプル 最小サイズの 万能キューブ集合を 数理計画で求められる キューブ2の色トリプル ... ... キューブ30の色トリプル 30個すべての生成部分グラフにおいて サイズ8のマッチングが存在 S は万能キューブ集合
Conways tableとの関係
Conways tableとの関係 色トリプルを共有しない キューブ構成に使えない
各行/列から2個づつ選ばれることの必要性 5個選ばれる行/列が存在 3, 4個選ばれる行/列が 存在する場合も同様
今後の課題 Conway’s Table における 最小万能キューブ集合の必要十分条件? 各行各列からちょうど2個ずつ(⇒は証明済) 対称行列(not yet)
任意のキューブを構成可能 (万能キューブ集合) (n=2) ? <27 22 どのモデルも 構成不可能 12 8 キューブ集合の空間