エンタングルメント・エントロピー と 重力エントロピーの双対性 研究会「超弦理論と宇宙」2008 エンタングルメント・エントロピー と 重力エントロピーの双対性 高柳　匡 (京都大学理学部)

文献 　 Ryu-T, hep-th/0603001, PRL96(2006)181602. 　　　　　Ryu-T, hep-th/0605073, JHEP0608:045,2006. Hirata-T, hep-th/0608213, JHEP 0702:042,2007. Nishioka-T, hep-th/0611035, JHEP 0701:090,2007. Headrick-T, arXiv:0704.3719  Hubeny-Rangamani-T, arXiv:0705.0016 　 Azeyanagi-Nishioka-T, arXiv:0710.2956 　　 笠-高柳, 日本物理学会誌 62(2007)421

内容 ① イントロダクション ② エンタングルメント・エントロピーとは？ ③ AdS/CFTによるホログラフィックな解釈 ①　イントロダクション ②　エンタングルメント・エントロピーとは？ ③　 AdS/CFTによるホログラフィックな解釈 ④　ブラックホールへの応用 ⑤　まとめと今後の展望

①イントロダクション 一般相対論における重力的エントロピー ブラックホールのエントロピーは、 　　一般相対論における重力的エントロピー 　　　　　　ブラックホールのエントロピーは、 　　Bekenstein-Hawkingの面積則で計算される。 この公式は、理論の詳細によらず普遍的に成り立つ。 漸近的に平坦でも、（反）ドジッターでも良い。 物質場の詳細（例えば、スカラー場が何個？）に依存しない。

注）　超弦理論のような量子効果を取り入れた量子重力理論では、ブラックホールのエントロピーは面積則から変更を受ける。曲率が小さい極限では、その補正項は無視できるが、 　　小さなブラックホールでは、補正が重要になる。 　　この解析は、超弦理論における最近の話題の一つである 　が、今回のテーマに本質的ではないので触れない。 　　　　　　　　　　　 [Ooguri-Strominger-Vafa, Dabholkar, Sen,… 04’~]

エントロピーが面積に比例することは、重力理論における 自由度が、実際には１次元低く見えることを示唆する。 　　　　　　ホログラフィーの原理　　[t ‘Hooft, Susskind,…] 最も詳しく理解されているホログラフィーの例：AdS/CFT対応 等価 d+2次元の（量子）重力理論 d+1次元の場の理論など 例：　ブラックホールのエントロピー　＝ 　熱力学的エントロピー 　　　　　　　　重力理論の分配関数　＝　場の理論の分配関数

今回の話では、ホログラフィーの考え方を仮定すると エントロピーの面積則がブラックホール以外のもっと一般の 時空でも成り立つことを説明したい。 　　　地平線の面積　　　　＝ 　　熱力学的エントロピー　　　　　（BHエントロピー ）　　　　　　　　　 任意の最小曲面の面積　＝　エンタングルメント・エントロピー 重力側 場の理論側 拡張 拡張

② エンタングルメント・エントロピーとは？ ②　エンタングルメント・エントロピーとは？ Quantum Entanglement (量子もつれ合い、絡み合い） の度合いを測定する量 　　　　　　　　「基底状態がどれほど量子的か？」をあらわす。 現在まで、様々な分野に応用されてきている。 量子情報、量子コンピューター（量子情報量の定義） 物性理論（低次元量子多体系のオーダーパラメーター） 量子重力理論（ブラックホールのエントロピーとの関係）

エンタングルメント・エントロピーの定義と性質 まず、多体系の量子力学において、全体系を部分系AとBに 二分割する。このとき、もとのHilbert空間は、二つの Hilbert空間の直積に分かれる 具体例：　スピン系を2分割する。 A B

全体系の密度行列を　　　とする。 例えば絶対零度（純粋状態）では、　　　　　　　　　　　。 このときBを観測しない（Bをトレースアウトする）と仮定した場合の密度行列は、 と書け、これをAに制限した密度行列と呼ぶ。

この設定で、「Aに関するエンタングルメント・エントロピー」 を　　　に対するフォン・ノイマンエントロピーとして定義する。 もともとの系が純粋状態すなわちS=0であっても、部分系Bを 見えないと仮定することで、　　　は一般に非自明になることに 注意。

簡単な例 : スピン1/2を持つ二つの粒子系（2 qubit) Not Entangled ? ? Entangled ?

エンタングルメント・エントロピーの基本的性質 Aと Bの間に相互作用がなく独立 全体系が純粋状態の場合 　　　　熱力学エントロピーと違って示量的ではない！ (iii)　有限温度では、一般に　　　　　　　　である。 　　　特に高温極限では、

（iｖ) 強劣加法性（Strong Subadditivity) 　[Lieb-Ruskai 73’ ; See also Nielsen-Chuang’ text book 00’] ある種の凸性(Concavity)を表す B A C

場の理論におけるエンタングルメント・エントロピー 場の理論におけるエンタングルメント・エントロピーを考える。 時空Mは、d+1次元で定義され、静的であるとする。 このときHilbert空間をAとBの二つに分けるのを幾何学的に 行なえる。(幾何学的エントロピーとも呼ばれる。） B A

幾何学的エントロピーの物理的意味 観測者がBを観測できないと仮定したときに生じる 　　　　あいまいさ 　　 ブラックホールのエントロピーと類似 AとBの（非局所的）相関 　　　　相関関数よりもウイルソンループに近いが、どんな場の　　　 　　　　理論でも定義可能。　　　　　量子相転移に応用可能 (iii) 場の理論の自由度の一つの見積もり 　　　　　　　　実際、2次元では、central chargeに比例する。

場の理論は、無限の自由度を有するので、幾何学的エントロ ピーは紫外発散する。そのとき、最高次の項に関して次の 幾何学的エントロピーの面積則 場の理論は、無限の自由度を有するので、幾何学的エントロ ピーは紫外発散する。そのとき、最高次の項に関して次の 面積則が知られている（aは正規化のための格子間隔）。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[Bombelli-Koul-Lee-Sorkin 86’, Srednicki 93’] これはブラックホールのエントロピーの面積則に似ている。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実際に、量子補正に対応　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　していると考えられている。　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [Susskind-Uglm 94’]　　　　　　　　　　　　　　　　　

③AdS/CFTによるホログラフィックな解釈 ロピーの計算は、煩雑な量子的計算を要求する。 またブラックホールのエントロピーとの関係の理解を深めるに は、その重力的解釈が欲しい。 そこで、AdS/CFT対応を思い出してみると、この両方の問題を 解決する可能性が期待できる。 　　　　量子的な物理量　　　　　　　微分幾何学的量（古典的） 共形場の理論 超重力理論

Near horizon limit

AdS/CFT 対応（Poincare 座標）

AdS/CFTに基づくエンタングルメント・エントロピーの計算 　　漸近的にAdSd+2に近づく空間　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　ＵＶ固定点を持つd+1次元の場の理論　 　　　　主張　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ここで、 は、d+2次元時空中のd次元の極小曲面 で、境界が部分系Aの境界と一致するもの。[Ryu-TT 06’]

コメント(1)： このホログラフィックな公式は、Bekenstein-Hawkingのブラック ホールエントロピーの式と見かけ上同じであるが、　　　は、 一般にホライズンではない。 しかし有限温度のときに現れるAdSブラックホールを考えると 　　　はホライズンの一部を覆う。その寄与は、熱力学的 エントロピーに相当する。 BH

直感的解釈 　　　　　があたかもブラックホールのホライズンであるかのように振る舞い、Ｂの情報を中に隠している。

コメント(2): 幾何学的エントロピーの面積則の導出は、この公式を用いると とても容易である。 なぜならば、AdSの計量は、境界付近（紫外領域）で発散する からである。

[07’ Headrick-TT, 06’ Hirata-TT] コメント(3) 強劣加法性のAdS/CFTによる証明 　　　　　　　　　　　　　　　[07’ Headrick-TT, 06’ Hirata-TT] A B C = A B C = この証明で明らかなように、余次元が重要な役割をする。 強劣加法性は、一般の量子多体系のホログラフィーの存在を示唆する。

この場合は、2次元共形場理論の結果が解析的に分かってい るので、完全な比較が可能。両者の一致が厳密に証明できる。 具体的比較（AdS/CFTの検証) AdS3/CFT2 この場合は、2次元共形場理論の結果が解析的に分かってい るので、完全な比較が可能。両者の一致が厳密に証明できる。 AdS3 z 測地線の長さ 測地線

超重力理論に対応するのは、共形場理論が強結合な領域なの で比較が困難。N=4超対称性ゲージ理論で、自由場の場合 (ii)高次元の場合 超重力理論に対応するのは、共形場理論が強結合な領域なの で比較が困難。N=4超対称性ゲージ理論で、自由場の場合 に比較すると数10%程度係数がずれるが、関数形は一致する。 高次元の場合に場の理論側からの一般的な理解は進んでいな い。エンタングルメント・エントロピーのスケーリングの一般論に 関しては、AdS/CFTを用いた計算が現在のところ唯ーの結果と なっている。 （AdS/CFTのbulk-boundary関係からある仮定のもとに示されたFursaev　 06’ 。しかし最近、微妙な点があることがSchwimmer-Theisen 08’で指摘さ れ、高次元で面積則からのずれをAdS/CFTが予言する可能性もある。）

部分系Aの境界が球面の場合のスケーリング A universal quantity which characterizes odd dimensional CFT Conformal Anomaly (~central charge)

2次元AdS空間は、3次元以上のAdS空間とは違って、global座標だと境界が二つある。 ④ブラックホールへの応用　 2次元AdS時空 時間 AdS2 CQM1 CQM2 2次元AdS空間は、3次元以上のAdS空間とは違って、global座標だと境界が二つある。

AdS2 は、4次元の電荷を帯びたBPSブラックホールの Near horizon極限で得られる。 AdS2/CFT1を仮定すると、2つの共形量子力学が、AdS2空間 上の重力理論(=4D ブラックホール）と等価ということになる。

そこで、二つのCFTのエンタングルメント・エントロピーを AdS/CFTによる前述の公式を用いて計算すると、 となり、4次元BPSブラックホールのエントロピーと一致すること が分かる。 このように見ると、 4次元BPSブラックホールについても、 二つのCFTのエンタングルメントを考えるとエントロピーの 微視的理解を得られることが分かる。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[Azeyanagi-Nishioka-T　07’] AdS2/CFT1

高階微分項を含む重力作用の場合（Wald公式の導出） Wald Entropy !

⑤まとめと今後の展望 以上では、場の理論エンタングルメント・エントロピーを 　　ホログラフィーを用いて幾何学的に計算する方法について説明した。今後の課題は以下のとおり。 (1) ブラックホールのエントロピーの量子力学的解釈 (2) 閉じ込めなどの相転移の秩序変数 (cf. Klebanov-Kutasov-Murugan, Nishioka-TT 07’, Velytsky 08’) (3) トポロジカルな理論の解析の道具 （e.g. topological EE) (4) AdS/CFT対応や、一般にホログラフィー原理の定式化？ 　　　　　　　　逆問題：CFTの情報で、dualな計量を完全決定できるか？ 　 (5) AdS/CFT対応によるホログラフィックな計算を第一原理　　 　　　　的に行う。