3DCGにおける線形代数 ２ 5404025　澄川 知弘

CGで使う座標 デカルト座標系・・・中学・高校で一般的に使う座標 　　極座標系・・・複素数と同じ表現

斉次座標（利点） ・平行移動を回転や拡大縮小と同じように行列の積で表せる ・透視投影を行列で表せるようになる

関係｢～｣の定義 𝑛+1次元ユークリッド空間 𝑅 𝑛+1 から原点𝑂を除いた 空間 𝑅 𝑛+1 − 𝑂 において 𝑥 1 , 𝑥 2 ,・・・, 𝑥 𝑛+1 ～ 𝑦 1 , 𝑦 2 ,・・・ 𝑦 𝑛+1 ⇔ 𝑥 1 =𝑡 𝑦 1 𝑥 2 =𝑡 𝑦 2 ・ ・ ・ 𝑥 𝑛+1 =𝑡 𝑦 𝑛+1 をみたす実数𝑡が存在する

ｎ次元実射影空間(Pn) 𝑃 𝑛 ：同値関係「～」による（ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,・・・, 𝑥 𝑛+1 ） を含む同値類を 𝑥 1 , 𝑥 2 ,・・・, 𝑥 𝑛+1 としたときの同値類全体の集合 𝑥 1 , 𝑥 2 ,・・・, 𝑥 𝑛+1 = 𝑦 1 , 𝑦 2 ,・・・ 𝑦 𝑛+1 ∣ 𝑦 1 , 𝑦 2 ,・・・ 𝑦 𝑛+1 ～ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,・・・ 𝑥 𝑛+1

斉次座標（同次座標） 𝑃 𝑛 の点 𝑥 1 , 𝑥 2 ,・・・, 𝑥 𝑛+1 に対して 𝑦 1 , 𝑦 2 ,・・・, 𝑦 𝑛+1 ∈ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,・・・, 𝑥 𝑛+1 となる 𝑛+1 個の実数の組 𝑦 1 , 𝑦 2 ,・・・, 𝑦 𝑛+1

ある次元空間における座標を１次元拡張して表現したもの 斉次座標（同次座標） 𝑃 𝑛 の点 𝑥 1 , 𝑥 2 ,・・・, 𝑥 𝑛+1 に対して 𝑦 1 , 𝑦 2 ,・・・, 𝑦 𝑛+1 ∈ 𝑥 1 , 𝑥 2 ,・・・, 𝑥 𝑛+1 となる 𝑛+1 個の実数の組 𝑦 1 , 𝑦 2 ,・・・, 𝑦 𝑛+1 ある次元空間における座標を１次元拡張して表現したもの

例（ｎ＝２） 𝑥,𝑦,𝑧 𝑧≠0 ：直線𝐿で表される 𝑃 2 の点の斉次座標 𝑥,𝑦,𝑧 ～ 𝑥 𝑧 , 𝑦 𝑧 ,1 ⇔ 𝑥 𝑧 , 𝑦 𝑧 𝑃 2 上の点と 𝑅 2 上の点の１対１対応 平面 𝑅 2 上の任意の点𝑃 𝑥,𝑦 は 斉次座標が 𝑥,𝑦,𝑧 の 𝑃 2 上の点に対応

例（ｎ＝２） Ｚ Ｌ (x,y,z) １ (x/z,y/z,1) Ｏ ｙ (x/z,y/z) ｘ 𝑥,𝑦,𝑧 ～ 𝑥 𝑧 , 𝑦 𝑧 ,1 ⇔ 𝑥 𝑧 , 𝑦 𝑧 Ｚ Ｌ (x,y,z) １ (x/z,y/z,1) Ｏ ｙ (x/z,y/z) ｘ

[点の座標と位置ベクトルの成分表示を同一視] ベクトルと行列（変換） [点の座標と位置ベクトルの成分表示を同一視] 　(x'，y')=f(x，y)において 　　　　x'=ax+by , y'=cx+dy 𝑥′,𝑦′ = 𝑥𝑦  𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 

[点の座標と位置ベクトルの成分表示を同一視] ベクトルと行列（斉次座標） [点の座標と位置ベクトルの成分表示を同一視] 　(x'，y')=f(x，y)において 　　　　x'=ax+by , y'=cx+dy 𝑥′,𝑦′,1 = 𝑥𝑦1  𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑑 0 0 0 1 

原点の周りの角度θで回転した点(x'，y',1)] 回転（原点基点） [点(x，y,1)を 原点の周りの角度θで回転した点(x'，y',1)] 𝑥′,𝑦′,1 = 𝑥𝑦1  cos𝜃 −sin𝜃 0 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 0 0 1  ｙ (x',y') θ (x,y) ｘ

[点(x，y,1)がSsx,syで移された点(x',y',1)] 拡大縮小（原点基点） Ssx,sy・・・スケーリング定数がsx,syのスケーリング変換 [点(x，y,1)がSsx,syで移された点(x',y',1)] 𝑥′,𝑦′,1 = 𝑥𝑦1  𝑠𝑥 0 0 0 𝑠𝑦 0 0 0 1 

[線分PP'の垂直２等分線がLになるような 点P’にPを移す変換] 座標軸に関する対称変換 直線Lに関する対称変換・・・点PをLに対して線対称な 　　　　　　　　　　　　　 点P'に移す変換 [線分PP'の垂直２等分線がLになるような 点P’にPを移す変換] ｙ P''(-x,y) P(x,y) ｘ ０ P'(x,-y)

[線分PP'の垂直２等分線がLになるような 点P’にPを移す変換] 座標軸に関する対称変換 ○ｘ軸に関する対象変換 𝑥′,𝑦′,1 = 𝑥𝑦1  1 0 0 0 −1 0 0 0 1 

[線分PP'の垂直２等分線がLになるような 点P’にPを移す変換] 座標軸に関する対称変換 ○ｙ軸に関する対象変換 𝑥′,𝑦′,1 = 𝑥𝑦1  −1 0 0 0 1 0 0 0 1 

平行移動 ［点を元の場所から与えられた方向へ与えられた距離だけ 移動させる変換］ 移動はベクトルで表せる (平行移動はすべての点を動かす) 平行移動 T で点Pが点P'に移すとき 𝑇は 𝑃𝑃 ′で定まる平行移動

平行移動 ベクトル v の定める平行移動 Tv について P'=Tv(P) とすると P(x,y) , P'(x',y')のとき 𝑂𝑃 ′= 𝑂𝑃 +𝑣,𝑣= 𝑡 𝑥 𝑖+ 𝑡 𝑦 𝑗 𝑖,𝑗：𝑥,𝑦軸の正方向の単位ベクトル P(x,y) , P'(x',y')のとき 𝑥′=𝑥+ 𝑡 𝑥 ,𝑦′=𝑦+ 𝑡 𝑦

[点(x，y,1)を Tv で平行移動した点(x'，y',1)] 𝑥′,𝑦′,1 = 𝑥𝑦1  1 0 𝑡 𝑥 0 1 𝑡 𝑦 0 0 1 