前回の演習問題の答え 問題１（章末問題9）： ｘは平均20,標準偏差4の正規分布に従うと仮定して,大きさ64の標本に基づく標本平均 ｘ が次の条件を満たす確率を求めよ．（a）21を超える,（b）19.5を超える,（c）19と21の間にある,（d）22を超える． 答え： 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 =𝑁 20, 4 2 つまり、 𝜇=20, 𝜎=4 大きさ64の標本は十分大きいから,中心極限定理が使える. 𝑥 ~𝑁(𝜇, 𝜎 2 𝑛 ) よって、 𝑥 は平均μ＝20,標準偏差 4 64 =0.5の正規分布に従う、 𝑥 ~𝑁(20, 0.5 2 )

問題１（章末問題9）： 𝑥 ~𝑁(20, 0.5 2 ) 𝑧= 𝑥 −20 0.5 ~𝑁(0,1) （a）21を超える確率： 𝑧= 𝑥 −20 0.5 ~𝑁(0,1) （a）21を超える確率： 𝑃 𝑥 >21 =𝑃 𝑥 −20 0.5 > 21−20 0.5 =𝑃 𝑧>2 =0.5−𝑃 0≤𝑧≤2 =0.5−0.4772≈0.02 （b）19.5を超える確率： 𝑃 𝑥 >19.5 =𝑃 𝑥 −20 0.5 > 19.5−20 0.5 =𝑃 𝑧>−1 =0.5+𝑃 −1≤𝑧≤0 =0.5+𝑃 0≤𝑧≤1 =0.5+0.3413≈0.84 （c）19と21の間にある確率： 𝑃 19≤ 𝑥 ≤21 =𝑃 19−20 0.5 ≤ 𝑥 −20 0.5 ≤ 21−20 0.5 =𝑃 −2≤𝑧≤2 =2×𝑃 0≤𝑧≤2 =2×0.4772≈0.95

問題１（章末問題9）： 𝑥 ~𝑁(20, 0.5 2 ) 𝑧= 𝑥 −20 0.5 ~𝑁(0,1) （d）22を超える確率： 𝑧= 𝑥 −20 0.5 ~𝑁(0,1) （d）22を超える確率： 𝑃 𝑥 >22 =𝑃 𝑥 −20 0.5 > 22−20 0.5 =𝑃 𝑧>4 =0.5−𝑃 0≤𝑧≤4 >0.5−𝑃 0≤𝑧≤3.09 =0.5−0.4990≈0.00

前回の演習問題の答え 問題２ （章末問題11、12） ： 一つの図に,平均10,標準偏差2の正規曲線のグラフと,この分布からの大きさ9の標本に基づく標本平均 ｘ の分布曲線のグラフを重ねて描いてみよ．次に、標本の大きさが36にすれば, ｘ の曲線のグラフはどのようになるか． 答え： 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 =𝑁 10, 2 2 大きさn1=9の標本に基づく標本平均 𝑥 1 ~𝑁 𝜇, 𝜎 2 𝑛 1 =𝑁(10, ( 2 3 ) 2 ) 大きさn2=36の標本に基づく標本平均 𝑥 2 ~𝑁 𝜇, 𝜎 2 𝑛 2 =𝑁(10, ( 2 6 ) 2 )

大きさ9の標本に基づく標本平均 𝒙 𝟏 の分布曲線は元のXの曲線に比べて、高さは３倍で、広がりは約１/３になる． 答え： 𝑥 2 ~𝑁(10, ( 2 6 ) 2 ) 𝑥 1 ~𝑁(10, ( 2 3 ) 2 ) 𝑋~𝑁 10, 2 2 大きさ9の標本に基づく標本平均 𝒙 𝟏 の分布曲線は元のXの曲線に比べて、高さは３倍で、広がりは約１/３になる． 大きさ36の標本に基づく標本平均 𝒙 2 の分布曲線は 元のXの曲線に比べて、高さは６倍で、広がりは約１/６になる, 𝒙 𝟏 の曲線に比べて、高さは２倍で、広がりは約１/２になる．

前回の演習問題の答え 問題３（章末問題１３）： 小学生1年生の体重の標準偏差が7ポンドであるとき,このような生徒100人の無作為標本の平均体重が1年生全体の平均体重と1ポンド以上異なる確率はいくらか． 答え： 1年生の体重の確率変数をX, 平均をμ,標準偏差を𝜎=7とする． 大きさ100の標本は十分大きいから,中心極限定理が使える. 𝑥 ~𝑁 𝜇, 𝜎 2 𝑛 =𝑁(𝜇, ( 7 10 ) 2 ) よって、無作為標本の平均体重 𝑧= 𝑥 −𝜇 0.7 ~𝑁(0,1) 𝑃 𝑥 −𝜇 >1 =1−𝑃 𝑥 −𝜇 ≤1 =1−2×𝑃 0≤ 𝑥 −𝜇≤1 =1−2×𝑃 0≤ 𝑥 −𝜇 0.7 ≤ 1 0.7 =1−2×𝑃 0≤𝑧≤1.43 =1−2×0.4236≈0.15

体重増の確率変数をX, 平均をμ,標準偏差を𝜎=2とする． 大きさ25の標本は十分大きいから,中心極限定理が使える. 問題４ （章末問題１４） ： 体重の増加をもたらす新しい餌をある種の鶏の母集団から無作為にとった25羽の鶏に与えることにした．1ヶ月後の体重増の標準偏差は約2オンスが期待されるとして,これらの鶏を新しい餌で飼育するとき,1ヶ月後の25羽の体重の平均と全母集団の平均の差が1/2オンス以上になる確率を求めよ． 答え： 体重増の確率変数をX, 平均をμ,標準偏差を𝜎=2とする． 大きさ25の標本は十分大きいから,中心極限定理が使える. 𝑥 ~𝑁 𝜇, 𝜎 2 𝑛 =𝑁(𝜇, ( 2 5 ) 2 ) よって、 1ヶ月後の25羽の体重の平均 𝑧= 𝑥 −𝜇 0.4 ~𝑁(0,1) 𝑃 𝑥 −𝜇 > 1 2 =1−𝑃 𝑥 −𝜇 ≤ 1 2 =1−2×𝑃 0≤ 𝑥 −𝜇≤ 1 2 =1−2×𝑃 0≤ 𝑥 −𝜇 0.4 ≤ 1 0.8 =1−2×𝑃 0≤𝑧≤1.25 =1−2×0.3944≈0.21

男子新入生の体重の確率変数をX, 平均をμ=154, 標準偏差を𝜎=20とする． 問題５（章末問題１５）： ある大学での過去5年間の男子新入生の体重の平均は154ポンドで,標準偏差は20ポンドである．今年の新入生登録名簿の中から選んだ100人の学生の体重の平均が159ポンドであったとすれば,今年の新入生の体重は例年の新入生の体重より重いといってよいか．理由をつけて答えよ． 答え： 男子新入生の体重の確率変数をX, 平均をμ=154, 標準偏差を𝜎=20とする． 大きさ100の標本は十分大きいから,中心極限定理が使える. よって、選んだ100人の体重の平均 𝑥 ~𝑁 𝜇, 𝜎 2 𝑛 =𝑁(154, ( 20 10 ) 2 ) 𝑧= 𝑥 −154 2 ~𝑁(0,1)

𝑥 ~𝑁 𝜇, 𝜎 2 𝑛 =𝑁(154, ( 20 10 ) 2 ) 選んだ100人の体重の平均 𝑧= 𝑥 −154 2 ~𝑁(0,1) 理論的に、今年選んだ100人の体重の平均 𝑥 は例年の新入生の体重の平均μ=154ポンとを４．９ポンドを超える確率は、 𝑃 𝑥 −154>4.9 =0.5−𝑃 0≤ 𝑥 −154≤4.9 =0.5−𝑃 0≤ 𝑥 −154 2 ≤ 4.9 2 =0.5−𝑃 0≤𝑧≤2.45 =0.5−0.4929 =0.0071 つまり、一般的には今年選んだ100人の体重の平均 𝑥 が例年の平均を４．９ポンドを超える確率は極めて低い. 実際に、今年の体重の平均は例年の平均より５ポンド重くなっている． それゆえ、重いように思われる．