マリアヴァン解析とファイナンス分野への応用 第９回 関西すうがく徒のつどい発表 マリアヴァン解析とファイナンス分野への応用 @ranoiaru 逢空れい

マリアヴァン解析とは Paul Malliavin氏がRIMSで発表した論文が 始まり。 そこから1980年代に、楠岡成雄氏、重川一 郎氏、杉田洋氏，渡辺信三氏などの活躍に より、大きく発展した。 マリアヴァン解析のカギとなる概念として 「マリアヴァン微分」というものがある。 これは確率積分に対応した「微分」の概念 であり、ここから部分積分の公式などが導 き出される

マリアヴァン解析の和書 マリアヴァン解析について取り扱った書籍は 和書だと2冊存在する ・谷口説男著「確率解析」 ・重川一郎著「確率解析」 　　・谷口説男著「確率解析」 　　・重川一郎著「確率解析」 （「確率論ハンドブック」「数理ファイナンス の基礎-マリアバン解析と漸近展開-」など他にも 存在するが、そちらは概要を書いているだけな のでここでは省略する） この二冊は基本的にはマリアヴァン解析を学 ぶ書籍として推奨されない

発表方針について 今回の発表では、もっと初心者向けに優しく書か れた本をもとに行う 　　・Øksendal, Bern著「Malliavin Calculus for 　　　 　　　Lévy Processes with Applications to 　　 　　　Finance」 　　・David Nualart著「The Malliavin Calculus 　 　　　and Related Topics」 特に前者の本を中心に用いる。 数学的な厳密性は後者のほうがいい（いつものエ クセンダールクオリティ）が、どう考えても９０ 分でファイナンスまでたどり着けない

ブラウン運動と確率積分 ブラウン運動 確率過程𝑊 𝑡 で、次の性質を持つ ・ 𝑊 0 =0 　 確率過程𝑊 𝑡 で、次の性質を持つ 　・ 𝑊 0 =0 　・𝑡>𝑠のとき 𝑊 t − 𝑊 𝑠 と𝑊 𝑆 は独立な確率変数 　・ 𝑊 𝑡 − 𝑊 𝑠 は平均0,分散t-sの正規分布に従う 　ブラウン運動は有界変動ではない。 確率積分とは 　ブラウン運動 𝑊 𝑡 に対する積分。𝑓∈ L 2 に対して 0 𝑡 𝑓𝑑 𝑊 𝑠 と いう形であらわされる。ブラウン運動は有界変動ではないの で、スティルチェス積分の枠組みでは定義できない。 (確率積分の概念はもう少し一般化できるが、今回は使わな いので省略)

確率積分の定義 確率積分の定義をかなり簡単に説明する。 𝑓に対して単関数列 ℎ 𝑛 が存在し 𝐸 0 𝑇 ℎ 𝑛 −𝑓 2 𝑑𝑡 →∞ 　𝑓に対して単関数列 ℎ 𝑛 が存在し 　𝐸 0 𝑇 ℎ 𝑛 −𝑓 2 𝑑𝑡 →∞ 　となり、単関数に対しては確率積分は容易に定義でき、 またその確率積分は𝐿^2でコーシー列になる。 その𝐿^2極限をfの確率積分と呼び以下のように表記する。 𝑓(𝑠,𝜔) 𝑑 𝑊 𝑠

Wiener-伊藤カオス展開 ここで ξ 𝐿 2 (𝑃) 2 = n=0 ∞ 𝑛! 𝑓 𝑛 𝐿 2 ( [0,𝑇] 𝑛 ) 2 ξを ℱ 𝑇 −可測で 𝐿 2 に含まれる確率変数とする。 　このとき、対称な関数の列 𝑓 n 𝑛=0 ∞ 𝑓 𝑛 ∈ 𝐿 2 ( 0,𝑇 𝑛 ) がただ一つ存在し、このように書ける ξ= 𝑛=0 ∞ 𝐼 𝑛 ( 𝑓 𝑛 ) ただし、 I n 𝑓 n := [0,T]^𝑛 𝑓 𝑛 𝑡 1 ,……, 𝑡 𝑛 𝑑 𝑊 𝑡 1 ……𝑑 𝑊 𝑡 𝑛 　　　　　　　　　 ここで ξ 𝐿 2 (𝑃) 2 = n=0 ∞ 𝑛! 𝑓 𝑛 𝐿 2 ( [0,𝑇] 𝑛 ) 2 　

スコロホッド積分(1) ℱ 𝑇 ‐可測な確率過程𝑢(𝑡)があったとして、これに 対してWiener伊藤カオス展開を行い ここで 𝑓 𝑛 𝑡 1 , ……,𝑡 𝑛 , 𝑡 𝑛+1 = 𝑓 𝑛 𝑡 1 , ……,𝑡 𝑛 ,𝑡 　　　　　　　　　　　　:= 𝑓 𝑛,𝑡 𝑡 1 ,……, 𝑡 𝑛 さらにこれを対称化する 𝑓 𝑛 𝑡 1 ,……, 𝑡 𝑛 ≔ 1 n+1 [ 𝑓 𝑛 𝑡 1 ,……, 𝑡 𝑛+1 +　　　 　　　　　　　 𝑓 𝑛 𝑡 2 ,……, 𝑡 𝑛+1 , 𝑡 1 +…]

スコロホッド積分(2) 𝐸 0 𝑇 𝑢 2 𝑡 𝑑𝑡 <∞として、 𝐸 0 𝑇 𝑢 2 𝑡 𝑑𝑡 <∞として、 𝑢 𝑡 = 𝑛=0 ∞ 𝐼 𝑛 ( 𝑓 𝑛,𝑡 ) = 𝑛=0 ∞ 𝐼 𝑛 ( 𝑓 𝑛 (・,𝑡)) このとき、𝑢のスコロホッド積分𝛿(𝑢)は δ 𝑢 ≔ 0 𝑇 𝑢 𝑡 δ 𝐵 𝑡 := 𝑛=0 ∞ 𝐼 𝑛+1 ( 𝑓 𝑛 ) この極限が 𝐿 2 の意味で存在するとき、𝑢は スコロホッド積分可能であるという

スコロホッド積分(3) などと言われてもなんのこっちゃわからないと思うので （今で理解できたらかなりの天才である）具体的な関数 に対して計算してみる。実は確率積分可能ならスコロ ホッド積分可能で、その積分結果は一致するのだが、今 回はそれに頼らずに計算する 例1: 𝑊 𝑡 𝑊 𝑡 = 0 𝑇 1 0,𝑡 ( 𝑡 1 ) 𝑑 𝑊 𝑡 1 = 𝐼 1 𝑓 1,𝑡 ( 𝑡 1 ) ただし 𝑓 1,𝑡 𝑡 1 = 1 0,𝑡 𝑡 1 𝑓 1 𝑡 1 ,𝑡 = 1 2 [ 1 0,𝑡 𝑡 1 + 1 0, 𝑡 1 (𝑡)] δ 𝑊 𝑡 = 𝐼 2 𝑓 1 𝑡 1 ,𝑡 = 0 𝑇 0 𝑡 𝑓 1 𝑡 1 ,𝑡 𝑑 𝑊 𝑡 1 𝑑 𝑊 𝑡 　= 0 𝑇 𝑊 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡 (𝑟𝑦

スコロホッド積分(4) 例2: 0 𝑇 𝑔(𝑡,𝜔) 𝑑 𝑊 𝑡 どうみても確率積分不可能だが、スコロホッド積分なら可能 である。 　どうみても確率積分不可能だが、スコロホッド積分なら可能 である。 0 T 0 𝑇 𝑔 𝑡,𝜔 𝑑 𝑊 𝑡 𝛿 𝑊 𝑡 = 𝐼 2 [ 1 2 (𝑔 𝑡 1 +𝑔( 𝑡 2 )] 　　　　　　　　　　　　　= 0 𝑇 𝑔 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡 𝑊 𝑇 − 0 𝑇 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 　なかなかに難易度が高いので、慣れるのには時間がかかるこ とが多い。

マリアヴァン微分 𝐹∈ L 2 P を、前述のWiener伊藤カオス展開により 𝐹= n=0 ∞ 𝐼 𝑛 ( 𝑓 𝑛 ) と分解する 　ここで、 D 1,2 という空間を定義し、ノルムを F 𝐷 1,2 2 := n=1 ∞ 𝑛𝑛! 𝑓 𝑛 𝐿 2 ( [0,𝑇] 𝑛 ) 2 と定義する。ここで、F∈ D 1,2 に対し、 𝐷 𝑡 𝐹≔ 𝑛=1 ∞ n 𝐼 𝑛−1 ( 𝑓 𝑛 (・,𝑡)) と定義し、これをFに対するマリアヴァン微分という。

マリアヴァン微分の性質(1) 等長性 𝐷 ・ 𝐹 𝐿 2 (𝑃×λ) 2 =𝐸 0 𝑇 (𝐷 𝑡 𝐹) 2 𝑑𝑡 = n=1 ∞ 0 𝑇 𝑛 2 𝑛−1 ! 𝑓 𝑛 (・,𝑡) 𝐿 2 ( [0,𝑇] 𝑛−1 ) 2 = n=0 ∞ 𝑛𝑛! 𝑓 𝑛 𝐿 2 ( [0,𝑇] 𝑛 ) 2 = 𝐹 𝐷 1,2 2 <∞ よって、マリアヴァン微分は 𝐷 1,2 から 𝐿 2 (𝑃×λ) への等距離写像

マリアヴァン微分の性質（２） 可閉性 ・ L 2 P 上で 𝐹 𝑘 →𝐹 ・ 𝐷 𝑡 𝐹 𝑘 が 𝐿 2 (𝑃×λ)上で収束 可閉性　 　　𝐹∈ 𝐷 1,2 に対して 　・ L 2 P 上で 𝐹 𝑘 →𝐹 　・ 𝐷 𝑡 𝐹 𝑘 が 𝐿 2 (𝑃×λ)上で収束 　以上の条件を満たすなら、 　　 𝐷 𝑡 𝐹 𝑘 → 𝐷 𝑡 𝐹が𝐿 2 (𝑃×λ)上で成り立つ

マリアヴァン微分の計算法則 𝑓∈ 𝐿 2 0,𝑇 のとき、 𝑓∈ 𝐿 2 0,𝑇 のとき、 𝐷 𝑡 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡 𝑛 =𝑛𝑓 𝑡 0 𝑇 𝑓 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡 𝑛−1 積の微分法則 𝐷 𝑡 ( 𝐹 1 𝐹 2 )= 𝐹 1 𝐷 𝑡 𝐹 2 + 𝐹 2 𝐷 𝑡 𝐹 1 合成関数の微分　𝑔∈ 𝐶 1 　　 𝐷 𝑡 𝑔(𝐹)= 𝑔 ′ 𝐹 𝐷 𝑡 (𝐹)

部分積分の公式と クラーク・オコンの公式 部分積分の公式 𝑢(𝑡)はスコロホッド積分可能、𝐹,𝑢 𝑡 𝐹∈ 𝐷 1,2 これらが成り立つとき 　𝑢(𝑡)はスコロホッド積分可能、𝐹,𝑢 𝑡 𝐹∈ 𝐷 1,2 　これらが成り立つとき 　 0 T 𝐹𝑢 𝑡 δ 𝐵 𝑡 =𝐹 0 𝑇 𝑢 𝑡 δ 𝐵 𝑡 − 0 𝑇 𝑢 𝑡 𝐷 𝑡 𝐹𝑑𝑡 クラーク・オコンの公式 𝐹∈ 𝐷 1,2 かつ　𝐹が ℱ 𝑇 -可測であるとすると 　𝐹=𝐸 𝐹 + 0 𝑇 𝐸 𝐷 𝑡 𝐹 ℱ 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡

ギルサノフ変換した場合(1) ギルサノフの定理 𝑢 𝑡 を ℱ 𝑡 適合かつ、次の「ノビコフの条件」を満 たすものとする。 　𝑢 𝑡 を ℱ 𝑡 適合かつ、次の「ノビコフの条件」を満 たすものとする。 𝐸[ exp 1 2 0 𝑇 𝑢 2 𝑠 𝑑𝑠 ] <∞ Z T := exp − 0 𝑇 𝑢 𝑠 𝑑 𝑊 𝑠 − 1 2 0 𝑇 𝑢 2 𝑠 𝑑𝑠 　とおき、確率測度Q 𝑑ω :=𝑍 𝑇,ω 𝑃(𝑑ω) と定義すると、𝑄は𝑃と同値で 𝑊 𝑡 ≔ 𝑊 𝑡 + 0 𝑡 𝑢 𝑠 𝑑𝑠 は確率測度𝑄のもとでブラウン運動になる

ギルサノフ変換した場合（２） ギルサノフ変換に対するクラークの表現定理 　𝐹∈ 𝐷 1,2 で、 𝐸 𝑄 𝐹 , 𝐸 𝑄 0 𝑇 𝐷 𝑡 𝐹 2 𝑑𝑡 <∞　 　また、𝑢 s ,Z T F∈ 𝐷 1,2 で(𝑓𝑜𝑟 𝑎.𝑎.𝑠) 　 𝐸 𝑄 𝐹 0 𝑇 0 𝑇 𝐷 𝑡 𝑢 𝑠 𝑑 𝑊 𝑠 + 0 𝑇 𝑢 𝑠 𝐷 𝑡 𝑢 𝑠 𝑑𝑠 2 𝑑𝑡 <∞ 　が成り立つとする。 　このとき、 　𝐹= 𝐸 𝑄 𝐹 + 0 𝑇 𝐸 𝑄 𝐷 𝑡 𝐹−𝐹 𝑡 𝑇 𝐷 𝑡 𝑢 𝑠 𝑑 𝑊 𝑠 ℱ 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡

数理ファイナンスとは 証券市場の諸問題に対して数学的なアプロー チを行う応用数学の一分野。おおざっぱに分け ると３つのジャンルがある ・動的最適化 ・リスク管理 ・プライジング

経済学的な背景 現在価値 リスク中立 無裁定条件 市場の摩擦、手数料、税金、認識のタイム ラグなどは考慮しない

ヨーロピアンコールオプション ここで、最も簡単かつ有用な金融派生商品 であるヨーロッパ型コールオプションを考 える 　これは、 「満期時刻𝑇において株を価格𝐾で買える権利」 権利放棄可能 を指す。 これのペイオフは、株価を 𝑆 1 (𝑡)であらわすと 𝐹≔ 𝑆 1 𝑇 −𝐾 + とあらわされる。ただし、 𝑥 + ≔ max 𝑥,0

マリアヴァン解析の応用 今回は、証券市場に二種類の資産があるとする ・無リスク資産 𝑑𝑆 0 𝑡 ≔𝜌 𝑡 𝑆 0 𝑡 𝑑𝑡 𝑆 0 0 =1 ・リスク資産 𝑑𝑆 1 =𝜇 𝑡 𝑆 1 𝑡 𝑑𝑡+𝜎 𝑡 𝑆 1 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡 , 𝑆 1 0 >0 ただし 𝐸 0 𝑇 𝜌 𝑡,𝜔 + 𝜇 𝑡,𝜔 + 𝜎 2 𝑡,𝜔 𝑑𝑡 <∞ さらに𝜎(𝑡)≠0

自己資金充足的(self-financing) この条件下で、安全資産と危険資産の保有 量を それぞれ𝜃 0 𝑡,𝜔 , 𝜃 1 (𝑡,𝜔)と書くと、保 有資産の価値過程は 𝑉 𝜃 𝑡 ≔ 𝜃 0 𝑡 𝑆 0 𝑡 + 𝜃 1 𝑡 𝑆 1 (𝑡) ・資産価値過程が自己資金充足的であるとは、 　資金の流入出がないということである 　具体的には 𝑑𝑉 𝜃 𝑡 = 𝜃 0 𝑡 𝑑 𝑆 0 𝑡 + 𝜃 1 𝑡 𝑑 𝑆 1 (𝑡)

自己資金充足性から導かれる帰結 資産過程の式から 𝜃 0 𝑡 = 𝑉 𝜃 𝑡 − 𝜃 1 𝑆 1 (𝑡) 𝑆 0 (𝑡) よって 資産過程の式から 𝜃 0 𝑡 = 𝑉 𝜃 𝑡 − 𝜃 1 𝑆 1 (𝑡) 𝑆 0 (𝑡) よって 𝑑 𝑉 𝜃 𝑡 = ρ t V 𝜃 t + 𝜇 𝑡 −𝜌 𝑡 𝜃 1 t S 1 t dt +𝜎 𝑡 𝜃 1 𝑡 𝑆 1 t d𝑊 t ここで、ある金融派生商品の満期でのペイ オフ 𝐹を𝐹=𝑉 𝜃 𝑇 𝑃−𝑎.𝑠によって定める

同値マルチンゲール測度 元の確率測度と同値で、正規化（後述）し た資産価値過程がマルチンゲールになるよ うな確率測度を指す。別名、「リスク中立 測度」 同値マルチンゲール測度が存在する証券市 場では裁定機会が存在しない 同値マルチンゲール測度に一意性が成り立 つとき、市場は完備（後述） 金融派生商品の適正価格は、ペイオフの現 在価値の、同値マルチンゲール測度下での 期待値に等しくなる

同値マルチンゲール測度導出 𝑢 𝑡 ≔ 𝜇 𝑡 −𝜌(𝑡) 𝜎(𝑡) （要するに、期待利回りの 差を分散で割ったもの）　これを利用して 新たなブラウン運動を定義する 𝑊 = 𝑊 𝑡 ≔ 0 𝑡 𝑢 𝑠 𝑑𝑠+ 𝑊 𝑡 𝑢はノビコフの条件を満たすので、ギルサノフ の定理より、 𝑊 𝑡 は確率測度 𝑄 𝑑𝜔 ≔Z 𝑇 𝑃 𝑑𝜔 の下でブラウン運動になる

これを先ほどの式に代入すると 𝑑 𝑉 𝜃 𝑡 =𝜌 𝑡 V 𝜃 t dt+𝜎 𝑡 𝜃 1 𝑡 𝑆 1 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡 ここで資産価値過程の現在価値Uを定義する （正規化） 𝑈 𝜃 𝑡 := 𝑒 − 0 𝑡 𝜌 𝑠 𝑑𝑠 𝑉 𝜃 (𝑡) よって 𝑑 𝑈 𝜃 𝑡 = 𝑒 − 0 𝑡 𝜌 𝑠 𝑑𝑠 𝜎 𝑡 𝜃 1 𝑡 𝑆 1 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡

クラーク・オコンの公式応用 ペイオフの現在価値𝐺を次のように定める 𝐺≔ 𝑒 − 0 𝑇 𝜌 𝑠 𝑑𝑠 𝐹 ここでクラークオコンの公式を用いると 𝐺= 𝐸 𝑄 𝐺 + 0 𝑇 𝐸 𝑄 𝐷 𝑡 𝐺−𝐺 𝑡 𝑇 𝐷 𝑡 𝑢 𝑠 𝑑 𝑊 𝑡 ℱ 𝑡 𝑑 𝑊 𝑡 ・また、金融派生商品を売って手にした金で運用がしたいので 𝑉 𝜃 0 = 𝐸 𝑄 [𝐺]

複製戦略・結論 よって、以上の帰結として 𝜃 1 𝑡 = 𝑒 0 𝑡 𝜌 𝑠 𝑑𝑠 𝜎 −1 𝑡 𝑆 1 −1 𝑡 𝐸 𝑄 (𝐷 𝑡 𝐺−𝐺 𝑡 𝑇 𝐷 𝑡 𝑢 𝑠 𝑑 𝑊 𝑠 ) | ℱ 𝑡 ]

ブラックショールズモデル ここでは、株価は次の幾何ブラウン運動に 従うとする 𝑑 𝑆 𝑡 =𝑟𝑑𝑡+σ𝑑 𝑊 𝑡 　𝑑 𝑆 𝑡 =𝑟𝑑𝑡+σ𝑑 𝑊 𝑡 そしてこの確率微分方程式を解くと 𝑆 𝑡 = 𝑆 0 𝑒 𝑟− 𝜎 2 2 𝑡+𝜎 𝑊 𝑡 　先々使うためこのマリアヴァン微分を計算し ておくと 𝐷 𝑡 𝑆 𝑡 =𝜎 𝑆 𝑡

ブラックショールズ方程式とは 株価を先ほどの幾何ブラウン運動に従うとした うえで、オプションの複製戦略と適正価格を考 える。時刻𝑡,株価𝑥のオプション価格を𝐶(𝑡,𝑥) とおくと 𝑟𝐶 𝑡,𝑥 = 𝐶 𝑡 𝑡,𝑥 +𝑟𝑥 𝐶 𝑥 𝑡,𝑥 + 1 2 𝜎 2 𝑥 2 𝐶 𝑥𝑥 𝑡,𝑥 という偏微分方程式に従う。ただし、 𝐶 𝑇,𝑥 = 𝑥−𝐾 + などの境界条件が存在する

複製戦略(マリアヴァン解析)を用いて さて、ブラックショールズモデルでは、次の 条件を置いていた。（いずれも定数とする） μ 𝑡,𝜔 ≡𝜇,𝜌 𝑡,𝜔 ≡𝜌,𝜎 𝑡,𝜔 ≡𝜎 　このときマリアヴァン微分の定義から 𝐷 𝑡 𝑢=0 先ほどの式から 𝜃 1 𝑡 = 𝑒 𝜌 𝑡−𝑇 𝜎 −1 𝑆 1 −1 𝑡 𝐸 𝑄 [ 𝐷 𝑡 𝐹| ℱ 𝑡 ]

計算上の不都合 ペイオフ𝐹≔𝑓 𝑆 1 𝑇 に対して𝑓(𝑥)が微分 可能であれば、前述の定理によって ペイオフ𝐹≔𝑓 𝑆 1 𝑇 に対して𝑓(𝑥)が微分 可能であれば、前述の定理によって 𝐷 𝑡 𝐹= 𝐷 𝑡 𝑆 1 (𝑇)𝑓 ′ ( 𝑆 1 (𝑇)) 　と書けて楽なのだが、あいにくヨーロッパ型 コールオプションの場合𝑓 𝑥 = 𝑥−𝐾 + とい うあからさまに微分不可能な形をしている 　ここで頼りになるのが、前述の「マリアヴァ ン微分の可閉性」である

導出される具体的な複製戦略 関数列𝑓 𝑛 を次の条件を満たすようにとる 𝑓 𝑛 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑓𝑜𝑟 𝑥−𝐾 ≥ 1 𝑛 0≤ 𝑓 ′ 𝑥 ≤1 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥 そして 𝐹 𝑛 ≔ 𝑓 𝑛 𝑆 1 𝑇 とおくと 𝐷 𝑡 𝐹= lim 𝑛→∞ 𝐷 𝑡 𝐹 𝑛 = 1 𝐾,∞ 𝑆 1 𝑇 𝐷 𝑡 𝑆 1 𝑇 = 1 𝐾,∞ 𝑆 1 𝑇 𝑆 1 𝑇 𝜎 𝜃 1 𝑡 = 𝑒 𝜌 𝑡−𝑇 𝑆 1 −1 𝑡 𝐸 𝑄 𝑦 [ 𝑆 1 𝑇−𝑡 1 𝐾,∞ ( 𝑆 1 (𝑇−𝑡))] |𝑦= 𝑆 1 (𝑡)

インサイダー取引とは 上場会社または親会社・子会社の役職員や大株主 などの会社関係者、および情報受領者（会社関係 者から重要事実の伝達を受けた者）が、その会社 の株価に重要な影響を与える「重要事実」を知っ て、その重要事実が公表される前に、特定有価証 券等の売買を行うことを(ry 数学的には「通常より大きな増大情報系のもとで の動的最適化」に関する分野のことを指す 今回は市場の摩擦がなく、マーケットインパクト も存在しないと仮定する　

インサイダー情報の取り扱い 簡単な例として、ある投資家が未来の時刻 𝑇 0 にお ける 𝑊 𝑇 0 を何らかの形で知っていたとする 簡単な例として、ある投資家が未来の時刻 𝑇 0 にお ける 𝑊 𝑇 0 を何らかの形で知っていたとする このとき、通常の観測による情報によって作られ た𝜎−加法族を ℱ 𝑡 し、インサイダー取引を行う人 間の所持情報を ℊ 𝑡 とおくと ℊ 𝑡 ≔ ℱ 𝑡 ∨𝜎(𝑊 ( 𝑇 0 )) こうすることによって、通常では可測にならないよ うな投資戦略を可測にすることが可能になる

ブラウンニアン・ブリッジ さて、この条件下で ℊ 𝑡 -可測な伊藤過程 𝑊 𝑡 を 次のように定める 𝑊 𝑡 ≔ 𝑊 𝑡 + 0 𝑡 𝑊 𝑇 0 − 𝑊 𝑠 𝑇 0 −𝑠 𝑑𝑠 これはブラウニアン・ブリッジの考え方と同 じである。微分形式に直すと 𝑑 𝑊 𝑡 =𝑑 𝑊 𝑡 + 𝑊 𝑇 0 − 𝑊 𝑡 𝑇 0 −𝑡 𝑑𝑡

動的な最適投資戦略・目的 安全資産と危険資産に関する定義は先ほどの資産価値過程を用 いて、ポートフォリオを 𝜋 𝑡 ≔ 𝜃 1 𝑡 𝜃 1 𝑡 + 𝜃 0 (𝑡) 　と表記することによって表現する。 このとき、資産価値過程は次のSDEに従う 𝑑 𝑉 𝑡 = 𝑉 𝑡 𝜌+ 𝜇−𝜌 𝜋 𝑡 𝑑𝑡+𝜋 𝑡 𝜎𝑑 𝑊 𝑡 , 𝑉 0 :=𝑣>0 　これを解くと 𝑉 𝑡 =𝑣・exp⁡{ 0 𝑡 𝜎𝜋 𝑠 𝑑 𝑊 𝑠 + 0 𝑡 𝜌+ 𝜇−𝜌 𝜋 𝑠 − 1 2 𝜎 2 𝜋 2 𝑠 𝑑𝑠 }　 𝑨 ℱ , 𝑨 ℊ を、それぞれℱ,ℊ適合で 0 𝑇 𝜋 2 (𝑡)𝑑𝑡 <∞,𝑃−𝑎.𝑠を満たす 投資戦略の集合とする 効用関数は対数型とする。期待効用を最大化したい。すなわち 𝑉 ℱ := sup 𝜋∈ 𝑨 ℱ 𝑬[𝑙𝑜𝑔 𝑉 𝜋 𝑣 (𝑇)], 𝑉 ℊ := sup 𝝅∈𝑨 ℊ 𝑬[𝑙𝑜𝑔 𝑉 𝜋 𝑣 (𝑇)] を実現するような𝜋を見つけ、その時の期待効用を求める

最適投資戦略・結論 インサイダー情報なしの場合 　最適な投資戦略 𝜋 ℱ ∗ ∈ 𝑨 ℱ は 𝜋 ℱ ∗ (𝑡)= 𝜇−𝜌 𝜎 2 で与えられる 　このとき、最大期待効用は 𝑉 ℱ 𝑣 =𝑙𝑜𝑔𝑣+ ρ+ 𝜇−ρ 2 2 𝜎 2 𝑇 インサイダー情報ありの場合 　最適な投資戦略 𝜋 ℊ ∗ ∈ 𝑨 ℊ は 𝜋 ℊ ∗ (𝑡)= 𝜇−𝜌 𝜎 2 + 𝑊 𝑇 0 − 𝑊 𝑡 𝜎( 𝑇 0 −𝑡) となる 𝑉 ℊ 𝑣 = 𝑉 ℱ (𝑣)+ 1 2 𝜎 2 log⁡( 𝑇 0 𝑇 0 −𝑇 ) よって、インサイダー取引を行うことによって得られる利得は 𝑉 ℊ − 𝑉 ℱ = 1 2 𝜎 2 log⁡( 𝑇 0 𝑇 0 −𝑇 )

発展・フォワード積分（１） 別名”Forward, backward and symmetric stochastic integration”(フォワード・バッ クワード対称経路積分) 例えば先ほどの例で 　ここで𝜑(𝑡)を積分する場合 0 𝑡 𝜑 𝑠 𝑑 𝑊 𝑠 = 0 𝑡 𝜑 𝑠 𝑑 𝑊 𝑠 + 0 𝑡 𝑊 𝑇 0 − 𝑊 𝑡 𝑇 0 −𝑡 𝑑𝑡 　となる。tと 𝑇 0 の差が十分大きいなら何も問 題はないが、そうでないならかなり困ったこと になる。

発展・フォワード積分（２） 先ほどは 𝑊 𝑇 0 がわかっているという単純な例だっ たが、もっと一般的なインサイダー情報に対す る理論を作っていきたい 強い意味でフォワード積分可能であるとは lim ε→0 0 T 𝜑 𝑡 W t+ε −W t ε 𝑑𝑡 　の極限がL^2の意味で存在することを言い、その 極限を𝜑のフォワード積分といい、このように表記 する 0 𝑇 𝜑 𝑡 𝑑 − 𝑊 𝑡

発展・フォワード積分（３） 以下の条件を満たす可測関数𝜑の集合を 𝐃 0 と書く （１）𝜑 ・,𝜔 :𝑡→𝜑(𝑡,𝜔)は確率１で左連続右極限 （２）任意の𝑡に対して𝑡∈ 𝑫 1,2 （３）𝑡→ 𝐷 𝑠 𝜑 𝑡 が𝑠−𝑎.𝑒 ,𝑃−𝑎.𝑒で左連続右極限 （４） 𝐷 𝑡+ 𝜑 𝑡 ≔ lim 𝑠→𝑡+ 𝐷 𝑠 𝜑 𝑡 が 𝐿 2 の意味で存在する （５） 𝜑はスコロホッド積分可能 𝜑∈ 𝑫 0 のとき𝜑はフォワード積分可能で 0 𝑇 𝜑 𝑡 𝑑 − 𝑊 𝑡 = 0 𝑇 𝜑(𝑡 )𝛿 𝑊 𝑡 + 0 𝑇 𝐷 𝑡+ 𝜑 𝑡 𝑑𝑡

参考文献 Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance (2009)Giulia Di Nunno, Bernt Øksendal, Frank Proske The Malliavin Calculus and Related Topics(2006) David Nualart A general stochastic calculus approach to insider trading(2005) Francesca Biagini,Bernt Øksendal Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models (2008) Steven Shreve 三菱ＵＦＪフィナンシャル・グループ カブドットコム証券 http://kabu.com/rule/insider_trading.html