電磁気全般の話

電磁気の構成 前期 電磁気の構成 物理は単なる頭の体操ではない。 ２．社会に出たら、練習問題１番、という風には出てこない。 　　わけのわからない所から問題点をつかまないといけないこともある。 ３．今後も役立つ。

電磁気が関係した現象、応用 医学 生体内：膜、神経 測定方法：NMR、心電図、血糖値測定、など。 自然現象 雷 地球の磁場、宇宙の磁場 　生体内：膜、神経 　測定方法：NMR、心電図、血糖値測定、など。 自然現象 　雷　　地球の磁場、宇宙の磁場 日常生活 　身の回りの電磁波 　　スマートフォン、携帯電話 送電線 ガンの原因の１つとも言われている。 　電気製品：テレビ、洗濯機、など。 興味のある人はレポート課題で調べてみて下さい。

ある年のレポートのテーマ分布 医療関係18 MRI(磁気共鳴画像法)and/or NMR(核磁気共鳴)11 　　　　　　PET(ポジトロン断層撮影)２、ベータトロン１ 　　　　X線CT、心電図、光ピンセット、電磁波の生体への影響（ガン） 製品7　電磁誘導３　自転車のライト、綿菓子作り、 　　　　　　　　　IH (電磁誘導加熱)調理 　　　 電磁波４　　電子レンジと携帯電話、 　　　　　　　　GPS測量(カーナビ)、ラジオ放送、TVのアンテナの形　　　　　　　　　　 電磁波５。　　電磁波、電波、赤外線、電波の測定、ピラミッドの謎 自然　７　　オーロラ４、雷２、プラズマ１ エネルギー３　　燃料電池、電気エネルギーの損失、エアコン コンピュータ関係２　　記録の物理、メモリ。 他　２　　　　大学と高校の電磁気の比較。原子と原子核の大きさの実験、

ここからベクトル場の話

数学のベクトルの矢印 x y 1 2 3 -1 (1,3)のベクトルを図示せよ。 （数学のベクトルとして） 数学の場合は特に指示がなければ、 数学のベクトルの矢印　　 x y 1 2 3 -1 (1,3)のベクトルを図示せよ。 　（数学のベクトルとして） 数学の場合は特に指示がなければ、 原点を始点にして、 x方向1, y方向に3進んだ点を 終点とする矢印を書く。 数学のベクトルは平行移動できる。

物理のベクトル 数学のベクトル：自由に平行移動してよい。 ベクトルの成分表示 y 2 1 x 1 2 物理のベクトル：平行移動できない。 物理のベクトル　　 数学のベクトル：自由に平行移動してよい。 　ベクトルの成分表示 y 2 1 x 1 2 物理のベクトル：平行移動できない。 　作用点（始点）が大事。 例：点(1,1)において、 ベクトル(3,2)を書け。 y 2 1 x 1 2

２つの表記方法 1)場の考え方： オイラー(Euler)の考え方 2)粒子についていく考え方。 ラグランジュ(Lagrange) z x y ２つの表記方法　 1)場の考え方：　オイラー(Euler)の考え方 2)粒子についていく考え方。 　　　ラグランジュ(Lagrange) z x y 電磁気だと、 ・電場 E(r,t)を考えるのは、場の考え方。 ・荷電粒子を追いかけて行くのは、ラクランジュの考え方。

「場（ば）」の考え方 場：field 電磁気や流体力学では、「場」の考え方を使う。 z 座標と時間を指定すると、 「場（ば）」の考え方　　 場：field 電磁気や流体力学では、「場」の考え方を使う。 z 座標と時間を指定すると、 ある場の量が決まる。（スカラー、ベクトル） 　　　電場、磁場、電荷、粒子密度など。 y x 空間の各点で定義される。 ２次元スカラー場の例は以前図示した。 問題1　２次元ベクトル場　 を図示せよ。 問題2 を図示して前問の結果と比較せよ。 ヒント:座標上のいろいろな点において、x,y,A(x,y)の 　表を作る。それに基づき、矢印を書く。 　問題２なら、矢印の始点が(x,y), そこから(-y,x)の変化。

これから ベクトル場の微分

偏微分(へんびぶん） 前期の復習 教科書p.376 partial differentiation ２変数以上の関数で、１つの変数について微分する ：xについて微分する。(ｙを一定とみる）

偏微分の記号 前期の復習 読み方はいろいろある。 英語では、 ・ラウンドディー ・rounded d ・パーシャルディー ・ディー 英語では、 ・rounded d ・partial d ・d 英語なら、rounded d over rounded x 日本語なら、ラウンドx 分の ラウンドf または　ディーf, ディーｘ 　（これだと普通の微分と同じ読み方になるので、 　　ラウンドの方がよい。）

偏微分の例 前期の復習 xについての偏微分　（yは定数だと思って微分する） yについての偏微分　（xは定数だと思って微分する）

場の微分 gradient: 勾配 グラジエント divergence:湧き出し、 吸い込み ダイバージェンス rotation:回転 ラウンド 場の微分　 前期の復習 gradient: 勾配 グラジエント に対して、 ベクトル divergence:湧き出し、 　　　吸い込み ダイバージェンス rotation:回転 ローテーション

場の微分 ∇：ナブラ 問題１ 内積 外積 補助問題：２つのベクトルPとQに対して、内積と外積の 角度を使った定義および成分表示を書け。 を使えば、 問題１ と書けることを示せ。 内積 外積 補助問題：２つのベクトルPとQに対して、内積と外積の 角度を使った定義および成分表示を書け。 問題2 ベクトル場 に対して、 を計算せよ。 についても同様に求めよ。 ヒント　２次元ベクトルはz成分が0の３次元ベクトルと と考えてrotを計算する。

教科書　p.378-379 ここから面積積分の話

べき関数の微分 前期の復習 微分の定義は （数２） 微分の定義を使って、関数の微分を求めた。 a) -> b) c) -> d) e) -> -> -> -> -> nは自然数 17

積分は微分の逆 数２の復習 は積分定数 18

積分とは 積分はたし算： 微小量をたくさん加える。 ・高校の数学の積分は、 １次元（直線上）。 ・大学では、いろいろな領域での積分 積分はたし算：　微小量をたくさん加える。 ・高校の数学の積分は、 　　１次元（直線上）。 ・大学では、いろいろな領域での積分 　　1) 線積分 　　2) 面積積分 　　3) 体積積分 　積分する領域によって名前が付いている。

面積積分 y xy面上の小さい面積要素を考える。 dS dy ある面Ｓ上で関数f(x,y)を積分する ことができる。 dx x

補足 の意味 変数x, yの関数 変数xの関数 の意味 ある関数f(x,y)の関数形がxy 関数f(x)の関数形が

補足 なぜ か？ dxはx軸方向の微小量 dyはy軸方向の微小量 すると、xy面に平行な面の dx 微小面積dSは、 x 補足　なぜ　　　　　か？ dxはx軸方向の微小量 dyはy軸方向の微小量 すると、xy面に平行な面の 微小面積dSは、 dx x (dxとdyのかけ算の意味） になる。 y x dx dy dS

面積積分の問題 y xy面上の小さい面積要素を考える。 dS dy ある面Ｓ上で関数f(x,y)を積分する dx ことができる。 x (1) 前期の問題にあるので、 前ではやりません。 各自やってみてください。 問題　関数f(x,y)=xyについて、 　　　0≦x≦1, 0≦y≦1の正方形上で 　　　上記(1)の積分を求めよ。 次の問題で、方向を加えた面積積分を考えます。

ここから 方向を含む面積積分の話

方向を含む面積積分 dS dSは面積の微小量。スカラー ベクトル nは法線ベクトル 面に垂直なベクトル。 外向けをプラスにとる。 一般には法線ベクトルの長さはいろいろであるが、 ここでは単位ベクトル（長さが１）にする。

法線ベクトル normal vector 垂直なベクトル ２次元空間内： 線上の法線ベクトル （直線でも曲線でもよい） ３次元空間内： 面上の法線ベクトル （平面でも曲面でもよい） 直線上のどの点でも 法線ベクトルの 方向は同じ 場所によって 方向が違う

方向を含む面積積分 なぜ、わざわざ法線ベクトルをかけて、 方向のある面積積分にするのか？ dS 流れ出す量を表すには、法線ベクトルと内積を取ると便利 水の流れ 面の法線 ベクトル が小さい が大きい 面から流れ出る量が多い。 面から流れ出る量が少ない。

方向を含む面積積分の問題 問題 ベクトルA=(y,x,0)に対して、 面S: 0≦y≦1, 0≦z≦1, x=1 の正方形上で を求めたい。 右の図をノートに書き、 　正方形を図示せよ。 2) この正方形の法線ベクトル　　　を求めよ。 　　（ただし、原点から見て外向けの方向にとる。） 3) 正方形上の点(1,y,z)における　　　を求めよ。 4) をこの面上で求めよ。 　　　　　補助問題：３次元ベクトルの内積の成分表示を 　　　　　　　　　　書きなさい。 5)　積分　　　　　　　を求めよ。 y x

補足 x=1は１次元では点、２次元では線、３次元では面を表す。 x y 1 z y x 1 x 1

式x=1が３次元では面を表す １次元、２次元、３次元と増やしてみて理解する。 （前のページ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（前のページ） (2) x=1は、x座標が一定であることを示す。 　　ある点のx座標は、yz平面への距離。 　　平面から距離一定の点の集合は、平面になる。 　　　例：　教室の壁から一定の距離にある点の集合は、 　　　　　　壁に平行な面になる。

補足：スカラー場とベクトル場 スカラー：１成分、方向がない。 例 温度 個数 面積 体積 密度 ベクトル：２成分以上。矢印で表す。 例 　　　例　温度 　　　　　個数 　　　　　面積 　　　　　体積 　　　　　密度 ベクトル：２成分以上。矢印で表す。 例 　　速度ベクトル、 　　加速度ベクトル 　　電場、磁場（後で電磁気でやります。） 　　方向を持った面積要素

ガウスの定理の前に 微分の復習 32

微分の定義 前期の復習 教科書p.367-368 関数 の微分 引き算と割り算 Δ デルタ と読む。 Δｘ xが少し変化した量 Δ　　デルタ　と読む。 Δｘ　　xが少し変化した量 limitの略。極限、限度。 Δｘが0に近づいた時の値。 xが少しだけ変化した時に、y=f(x)がどのくらい変化するか 割合を示す。 微分の図形的意味は後のページへ。 33

微分の補足 前期の復習 Δxとは xの増分（＝増加した分） もし、xがΔｘだけ増えると、 がどんどん小さくなること。 とは 34

直線の傾きとは 前期の復習 y Δy Δｘ x 傾斜が急かどうかを表す。 35

曲線の傾きとは？ その点での接線の傾き。 場所によって傾きが違う。 青い点での傾き大きい 赤い点での傾き小さい 36

接線の傾きをどう定義するか？ 前期の復習 y=f(x) 直線の傾きを求めるには、２点必要. 37

接線の傾きをどう定義するか？ 前期の復習 赤い点での傾きを求めるには、 曲線上の点（黄色）との傾きを求める。 黄色、緑、青と近づけると、 赤い点での傾きに近くなっていく。 38

微分の図形的意味 y y=f(x) 前期の復習 f(x+Δx) 接線 f(x) x x x+Δx 青い点線の傾きが は接線の傾きを現す。 39

よく使う微分の式 Δxが小さい場合、limをはずして使うと、 偏微分の場合も同様に Δxが小さい場合、limをはずして使うと、 40

微分の復習、終わり 41

ここから ガウスの定理

ガウスの定理（divergence) ベクトル場Ａに対して S V (1) わきだし 表面積全体の 積分 体積内の積分 後で電磁気で使います。 ベクトル場Ａに対して S V (1) わきだし 表面積全体の 積分 体積内の積分 表面に垂直、外向きのベクトル

ガウスの定理の補足 (1) ・コメント「面積積分＝体積積分が疑問」について 両辺の単位を比較してみる。 divは場所に関する微分が入っている。 両辺とも（長さ）の２乗の単位になる。 ・コメント「左辺はベクトル、右辺はスカラーで積分？」 左辺は内積を取っているので、スカラーになる。 右辺のdivAもスカラーになる。 したがって、両辺ともスカラーになる。

定積分の補足 不定積分：場所を指定しない積分 定積分：決まった場所での積分 高校の定積分 １次元で積分：区間を指定 高校の定積分　 １次元で積分：区間を指定 大学の定積分：３次元空間内 　面上の積分　　　　　　　　　　立体の中の積分 どこで積分するかを、 積分記号の下または右下に書く。

ガウスの定理（divergence) 続き S V ベクトル場Ａに対して (1) わきだし 意味 ある立体の表面積から出ていく流れは、 内部からの湧き出しと同じ。

ガウスの定理の証明 (1) 問題１ 微小直方体（１辺Δx, Δy, Δz)に関して、 S (1)式の右辺と左辺をそれぞれ書いて変形し、 　(1)式の右辺と左辺をそれぞれ書いて変形し、 　(1)が成立することを示せ。 小問に分けると、 xy面に平行な２面に関して、それぞれ法線ベクトルを図示せよ。 2) 法線ベクトルの成分を書け。 3) 1)の面に関して、スカラーのdSはdx, dy, dzを使って 　どう書けるか。 4) ベクトル　　を求めよ。 5) 1)の２つの面について、　　　　　を求めなさい。 ただし 6) ６面について(1)の左辺を計算せよ。 S V

ここから 連続の式

連続の式（積分形） 流体の場合、 場所(x,y,z)だけでなく、時間tによっても違う (1) vは単位時間の変位。 面に平行な方向の流れは、 単位時間で 中身の変化＝表面で出入りする量 (1) vは単位時間の変位。 面に平行な方向の流れは、 出入りに関係ない。 vが外向けの時、dSとの内積がプラス。 外向けの流れで領域内の水量が減る。 流体中に仮想的な箱を 考える。 （本当の箱を置くと 流体が箱にぶつかって、 流れが乱れるので 仮想的な箱） (1)式が定義できるには、 ・定量化されている必要。ρ（密度）が定義できるか。 ・領域が定義できるか。

仮想的な箱でないとなぜ乱れるのか？ 本当の箱を流れの中に置くと、水は箱をよけて流れる。

流体の密度 f(x)は１変数の場合。 f of x f as a function of x ρ as a function of x, y, z and t x, y, z, tの関数 場所(x,y,z)だけでなく、 時間tによっても違う

流体の密度の解説 ある時間tにおける、ある場所(x, y, z)での密度と速度

左辺の意味 密度の体積積分 ＝体積内の質量全体 質量の時間変化

右辺の意味 密度x 速度 = 質量の流れ （単位時間に単位面積から 出る質量） kg/m3 × m/s = kg/m2s 　　　　　　　　出る質量） kg/m3 × m/s = kg/m2s 面Ｓから出る質量の流れ 次のページに図

ｖの方向による違い。 外 内 速度が内向けの時、 右辺の内積は負。右辺全体は正。 速度が外向けの時、 左辺で質量が増えるので正。 右辺の内積は正。 右辺全体は負。 左辺で質量が減るので負。

連続の式の微分形を求める問題 連続の式（積分形） 流体の密度 流体の速度 問題 流体に関する連続の式（積分形）から 問題　流体に関する連続の式（積分形）から 　ガウスの定理を使って、微分形を導きなさい。 を示せ。

クイズ： 上記(1)が成立しない例をあげよ。 物理以外の例でもよい。 連続の式が成立しない場合の問題 連続の式の積分形 (1) 中身の時間変化＝　表面での出入り クイズ：　上記(1)が成立しない例をあげよ。 　　　　物理以外の例でもよい。

教科書p.380-382 線積分 ストークスの定理

積分 integration 微分 differentiation （元の意味は差別化） 「差」を取る。 積分はたし算： 　　（元の意味は差別化） 　　「差」を取る。 （元の意味は統合） 積分はたし算： 　　微小量をたくさん加える。 ・高校の数学の積分は、 　　１次元（直線上）。 ・大学では、いろいろな領域での積分 　　1) 線積分　　曲線上での積分 　　2) 面積積分　面での積分 　　3) 体積積分　立体の体積内での積分 　積分する領域によって名前が付いている。

積分の基本的性質 高校の数学の１次元積分では、 a b c 大学では、もっと一般的に領域の積分を考える

線積分 ベクトル場Ａに対して ある曲線Cに沿った 微小ベクトル を考える。 積分すると長さになる。 微小ベクトルとは。 エル。lineから 積分すると長さになる。 微小ベクトルとは。 高校の数学で、dxやΔxは勉強した。スカラーの微小量。 では微小ベクトルはどのような量か？ 　　長さが微小。方向は変わる。

線積分の例題 y A B C D 1 -1 問題 図のように、xy面上に原点を中心 とする一辺の長さ２の正方形がある。 1 -1 問題 図のように、xy面上に原点を中心 　とする一辺の長さ２の正方形がある。 　A=(y,-x)とする。 辺AD上で図の方向のベクトル を求めよ（成分で書く）。 x ヒント：dxとdyのどちらを使うか考える (2) 辺AD上で を求めよ。 ヒント：内積の成分表示を 　　　　　　　　　　思い出す (3) 辺AD上で を求めよ。 (4)他の辺についても同様に積分を求め、正方形の周囲全体で を求めよ。

ここから ストークスの定理

divとrotの意味 復習 x y 1 2 回転しているベクトル場は、 が回転面に 垂直方向になる。 回転していないベクトル場は、 1 2 回転しているベクトル場は、 　　　　が回転面に 垂直方向になる。 回転していないベクトル場は、 　　　　がゼロになる。

ストークスの定理 Cは曲面Sの周囲 ベクトル場Ａに対して 証明は後の問題にあります。 ストークスの定理の意味 面Ｓでのベクトル場の回転を 後で電磁気で使います。 ベクトル場Ａに対して 表面に垂直、 外向きのベクトル Cは曲面Sの周囲 証明は後の問題にあります。 ストークスの定理の意味 面Ｓでのベクトル場の回転を ２通りの方法で表現している。

ストークスの定理の意味 面Ｓでのベクトル場の回転を ２通りの方法で表現している。 右辺 は回転を表すベクトル。 面Sの法線方向の成分 　　　　は回転を表すベクトル。 面Sの法線方向の成分 は、面Ｓでの回転を表す。 回転していない場では、 回転している場では、 　　　　　が回転面と 垂直方向になる。

ストークスの定理の意味 左辺 ベクトル場が回転していると、 回転していない場では、 内積が値を持つ。 経路上の微小ベクトルとの 内積がゼロになる。

ストークスの定理の証明 ベクトル場Ａに対して (1) Cは曲面Sの周囲 問題 微小長方形（１辺Δx, Δy)に関して、 表面に垂直、 外向きのベクトル ベクトル場Ａに対して (1) Cは曲面Sの周囲 問題　微小長方形（１辺Δx, Δy)に関して、 　(1)式の左辺と右辺をそれぞれ書いて変形し、 　(1)が成立することを示せ。 y Δy Δx 1) 上の辺について(1)の左辺を求めよ。 　　　　　　はdx, dyのどちらを使って書けるか。 を使う。 2) 下の辺について(1)の左辺を求め、1)との和を求めよ。 3) 左右の辺についても同様に求めよ。 x

ガウスの定理の単位 ベクトル場Ａに対して S V (1) わきだし これがヒント。 ある人のコメント：「面積積分＝体積積分が疑問」 復習 ベクトル場Ａに対して S V (1) わきだし 表面積全体の 積分 体積内の積分 これがヒント。 ある人のコメント：「面積積分＝体積積分が疑問」 両辺の単位を比較してみる。 divは場所に関する微分が入っている。 両辺とも（長さ）の２乗の単位になる。

ストークスの定理の単位 左辺は長さの積分なので、 単位は(Ａの単位) ×m 右辺の面積積分の単位は、m2 は微分が含まれているので、 よって右辺の単位は 　　（Ａの単位）/m × m2 = （Ａの単位）×　m　になり、 左辺の単位と等しくなる。

３次元極座標をやる前に 復習をします。 １．三角関数の復習（高校数学）（前期） ２．２次元極座標の復習（高校の数学Ｂ）

三角関数の復習 高校の数学１，数学２ 図のように、直角三角形を置く。 （角度φが水平からの角度、直角部分が右下） 斜辺 垂直の辺 φ 水平の辺 高校では、角度はθ（シータ）を用いたが、 後で極座標と比較するために、 φ（ファイ）を使っている。

２次元極座標 高校の数学３の復習 質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。 y P(x,y) r r≧0 0≦φ＜2π φ x ２次元極座標　 高校の数学３の復習 質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。 y P(x,y) r r≧0 0≦φ＜2π φ x 高校ではθを使うが、 後の都合でφを 使っている。

質問：なぜφの範囲を0からπにして、 rをマイナスも考えないか？ y ぐるっと回った時に、 rがプラスからマイナスになるのは、不連続な変化になってしまう。 rはずっとプラスにしておく。 x

２次元極座標、続き y r=一定の図形　　　半径rの円 x φ=一定の図形　　　半直線 y x

３次元極座標

３次元極座標 教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照 z P(x,y,z) ある点Pの直交座標(x, y, z)と θ P(x,y,z) x y z r Q ある点Pの直交座標(x, y, z)と 極座標(r, θ、φ）の関係 r: 点Pから原点までの距離　 θ：z軸からOPへの角度 φ：x軸からOQへの角度 （点Qは点Pをxy平面に投影した点） 直交座標x, y, zと、極座標r, θ、φの関係は φの不等号は2πを 含まない θの不等号はπを含む 後で証明します。

補足 不等号 同じ意味です。 ≦ 大学ではこちらが多い。 水平線が１本。 高校ではこちら 水平線が２本。

角度の範囲：２次元極座標の場合 ２次元空間は、x,yの正負により、 ４つの象限に分けられる。 ２次元極座標だと、角度は１個でよくて、 r θ x ２次元空間は、x,yの正負により、 ４つの象限に分けられる。 ２次元極座標だと、角度は１個でよくて、 0から2π。

角度の範囲：３次元極座標 z P(x,y,z) θ r ３次元空間は、x,y,zの正負により、 y ８個の象限に分けられる。 x r Q 角度の範囲：３次元極座標 ３次元空間は、x,y,zの正負により、 ８個の象限に分けられる。 角度は２個必要。 １個めの角度φが0から2πで平面上の回転。 　　2πでもとの所に戻るので、不等号は2πを含まない。 ２個めの角度θはz方向の角度で、0からπでよい。 　（もしz方向も0から2πにすると、余分になる。） 　θ=0が北極、θ=πが南極にあたり、別の場所なので、 　不等号はπを含む。

３次元極座標の問題 z P(x,y,z) ある点Pの直交座標(x, y, z)と 極座標(r, θ、φ）の関係 r r Q ある点Pの直交座標(x, y, z)と 極座標(r, θ、φ）の関係 r: 点Pから原点までの距離　 θ：z軸からOPへの角度 φ：x軸からOQへの角度 （点Qは点Pをxy平面に投影した点） 問題１　直交座標x, y, zと、極座標r, θ、φの関係を示せ 問題２　３次元空間内で、以下の図形をそれぞれ描け。 　　（別々の図にすること。） 　　(a) r=一定、 (b) φ=一定、(c) θ=一定、 　　(d) r＝一定、φ=一定　(e) r=一定、θ=一定、 　　(f) φ=一定、 θ=一定

次に、３次元極座標で 体積の微小部分を求める

体積の微小部分とは 基本ベクトルの方向に xyz座標の場合 微小量増えたときに 作る立体 x,y,z方向に長さa, b, cの直方体の体積を P(x, y, z) x,y,z方向に長さa, b, cの直方体の体積を 積分で求めるには、

平面角と弧の長さ 扇形の弧の長さ=　半径x 中心角 θ r 単位はラジアン θ 半円の場合 円の場合 θ θ

３次元極座標 z P(x,y,z) θ r y x 問題１ 極座標の基本ベクトル を図に描け。 (r,θ,φが増える方向の単位ベクトル） r ３次元極座標 問題１　極座標の基本ベクトル　　　　　　を図に描け。 　　　　　(r,θ,φが増える方向の単位ベクトル）　　　　　 問題２　r,θ,φがdr, dθ, dφだけ増えたときの、 　各基本ベクトル方向の増加がdr,rdθ、rsinθdφであることを 　示せ。 （図を描くこと） 問題３ 体積の微小部分を３次元極座標で書くと、 　 (1) と書けることを示せ。 問題４　式(1)を「r≦a、φ、θは全範囲」で積分して、 　　半径aの球の体積が得られることを確かめよ。　

教科書　p.229 数学編の最後： 立体角

平面角の復習 (高校の数学) 1 θ O 半径１の円上の弧の長さ。 0から2πの範囲。 単位：ラジアン(rad)

立体角 中心０から半径1の球に投射した時の 球上の面積 単位：ステラジアン(sr) 空間的な広がりを表す量 Ω O 大文字の「オメガ」 抵抗の単位として使う時は、「オーム」とも読む。 ω　小文字のオメガ 立体角の別の表現 　点Ｏから出る半直線が、半径１の球の表面に 　切り取る面積

立体角をいつ使うか ・ガウスの法則の証明 ・照明の明るさを立体角あたりで表すことがある。 光度(cd, カンデラ) このページは 試験に出ません 立体角をいつ使うか ・ガウスの法則の証明 ・照明の明るさを立体角あたりで表すことがある。 　　光度(cd, カンデラ) 光源からある方向に放射された 　　　　単位立体角当たりの光の明るさ 　　　ゲーム作成に使うこともある。 ・天文学 　　天体からの電波の強さを１立体角あたりで 　　表すことがある。 　　　W/sr ワット/ステラジアン

立体角の図解 （球の半径が1の場合） 大きな立体角 小さな立体角 (a) (b) (c) (d) 2π<立体角<4π 立体角<2π 立体角=2π （半球の表面積） 立体角=4π （球の表面積）

立体角の問題 ある閉曲面上の微小面積dSの法線ベクトルnが ベクトルrとなす角をθとする。 dSが原点Ｏに対して作る立体角をdΩとする。 この時、 であることを、図を使って説明せよ。 O ヒント まずθ=0, つまり面dSがベクトルrと垂直な場合について 考えてみる。

ここから、 電磁気

電荷とは electric charge 前期の復習 静電気 セーターを脱ぐ時 ドアに触った時など、 パチパチ音がすることがある。 　　セーターを脱ぐ時 　　ドアに触った時など、 　　パチパチ音がすることがある。 物体が電気を帯びている。 これを「電荷」と呼んでいる。 1C(クーロン): 1A(アンペア）の電流が１秒間に運ぶ 　　　　　　　電気の量 電子１個の電荷：　1.6 x 10-19クーロン

物資や粒子が持つ電気の量を「電荷」とよぶ。 陽子や電子の１個が持つ電荷の絶対値は 1.6 x 10-19クーロン である。 高校化学における電荷 前期の復習 数研出版 「化学基礎」 ・ 物資や粒子が持つ電気の量を「電荷」とよぶ。 陽子や電子の１個が持つ電荷の絶対値は 1.6 x 10-19クーロン である。 これは電気量の最小の単位で、電気素量と呼ばれる。 １C(クーロン）は1A（アンペア）の電流が１秒間に運ぶ電気量の大きさである。

クーロンの法則 教科書p.225-226 前期の復習 電荷Q1からベクトルｒの位置にある電荷Q2が受ける力は、 ベクトルで書くと、 Q2 単位 動径方向の 単位ベクトル Q: C(クーロン) r: m F: N(ニュートン) 同じ符号の電荷 の時に反発力 前についている定数の値 前期に やった =9.0 x 109 N・m2/C2 真空の誘電率 「誘電」の意味は後で。

Na+とCl-は静電気力（クーロン力）で引きあって 結びつく。 このようにしてできた陽イオンと陰イオンの 結びつきを「イオン結合」という。 高校化学におけるクーロン力 前期の復習 数研出版 「化学基礎」 静電気力(クーロン力） 　電荷を持つ粒子の間で、 　符号が異なれば引きあう力、 　符号が同じなら反発しあう力がはたらく。 イオン結合の説明 Na+とCl-は静電気力（クーロン力）で引きあって 結びつく。 このようにしてできた陽イオンと陰イオンの 結びつきを「イオン結合」という。

大学の化学におけるクーロン力 (1)無機化学 (2) 生化学 前期の復習 「化学、基本の考え方を学ぶ」上巻 p.237 　　イオン化学物のエネルギーの所で出てくる。 　　「クーロンの法則によると、２個のイオンの間に働く 　　ポテンシャルエネルギーEは、イオンの電荷の積に比例し、 　　イオン間の距離に反比例する。」 (2) 生化学 　　　ヴォート「生化学」 　　　２章水溶液の「溶媒としての水」p.33 　　「イオンに限らず電荷間の力はクーロンの法則に従う」

定理と法則の違い 前期の復習 定理 theorem 数学で使う。証明できる。 例：３平方の定理 ガウスの定理、ストークスの定理 法則 law 　　　　例：３平方の定理 　　　　　　ガウスの定理、ストークスの定理 法則　law 自然科学、社会学、日常用語にも使う。 　　　証明できる法則も、経験則もある。 　　　　例：電場に関するガウスの法則 　　　　　　クーロンの法則。オームの法則。

クーロンの法則の補足 前期の復習 イプシロン 誘電率の意味は後で出てきます。 今はとりあえず、何かの定数だと思って下さい。

SI単位系 前期の復習 m(メートル), kg(キログラム）,s(秒） を使って表した単位系。 電磁気ではこれに、 Ａ(アンペア）またはC(クーロン）を 加えて使う。

クーロンの法則（補足） 前期の復習 経験則（実験から発見） 18世紀後半にクーロン(Coulomb)さんが 法則として提唱した。 クローン(clone)ではない。

クーロンの法則 前期の復習 前ではやりません。 問１ の単位を、クーロンの法則から求めよ。 m(メートル), s(秒)、kg(キログラム), C(クーロン） を使って書け。 　　補助問題：力Fの単位を、m, ｓ, kgを使って書け。 問2 ２つの電荷の間に働く力を大きくするには、 　　どうすればよいか書け。 問3 距離rを横軸にして、クーロン力のグラフを書け。 問4　xy面上の原点に正の電荷Q1を置く。 　　いろいろな点に正の電荷Q2を置いた時に、受ける力を 　　ベクトルで書け。

クーロン力の特徴 前期の復習 たんぱく質の構造：電荷のクーロン力の効果が大きい。 電荷が変わると立体構造が変わる可能性。 長距離力。 　純粋なクーロン力はかなり遠くまで行っても減衰しない。 　他の電荷で遮蔽されることが多い。（水中など） たんぱく質の構造：電荷のクーロン力の効果が大きい。 　　電荷が変わると立体構造が変わる可能性。 　（立体構造が変わると性質が変わる。） 　　例：狂牛病は、たんぱく質が正しくfold（折りたたみ） 　　　　しなくなる。 　　　　だが、なぜ正しくfoldしないかは明確ではないし、 　　　　間違ったfoldのたんぱく質を正しくする方法は 　　　　今の所ないらしい。

電場の定義 教科書p.225-227 電場　　 ある場所に単位電荷を置いた時に、受ける力。 電荷qの粒子を電場 　から受ける力は、

ガウスの法則 閉じた曲面Sで囲まれた領域Vを考える。 領域V内の電荷をQとする。 が成立する。 後の問題で証明します。

閉曲面の例：球の表面。 開曲面の例：球面に穴があいた場合。 閉曲面（閉じた曲面とは） 大きさが有限で、空間を切り分けるような曲面。 中に水を入れて振っても水が漏れない。 閉曲面の例：球の表面。 開曲面の例：球面に穴があいた場合。 閉曲線：閉じた曲線 　元の所に戻って来る曲線

いろいろな積分 閉曲線の積分（ぐるっと一周する積分）の 場合、積分記号に○を付けることがある。 面積積分の場合、２次元なので、 積分記号を２つ書く場合がある。 （省略して１個でもよい。） 体積積分の場合、３次元なので、 積分記号を３つ書く場合がある。 （省略して１個でもよい。）

ガウスの法則の証明の問題 重要 教科書p.228-230 問題：閉じた曲面Sで囲まれた領域Vを考える。 領域V内の電荷をQとする。 であることをクーロンの法則を使って示せ。 (1) 点電荷Qが閉曲面Ｓの「内側」にあるとする。 　　閉曲面上の微小面積 が点電荷に対してなす立体角を とおくと を示しなさい。 ヒント：クーロン力の電場 　　　　立体角の式　　　　　　　　　を使う。 (2) 前問で得られた式を閉曲面全体について積分して、 　ガウスの法則を示しなさい。 (3) 閉曲面の外に点電荷がある場合について、 　教科書を参考に考えてみなさい。

電場に関するガウスの法則 教科書p.228の下から ガウスの法則： 積分形 で書くと、上の式は、 電荷を電荷密度 ガウスの法則： 微分形 　　積分形 電荷を電荷密度 で書くと、上の式は、 ガウスの法則： 　　微分形 になる。 後で証明します。

ガウス このページは 試験に出ません ドイツの数学者(1777-1855) ・ガウスの（発散）定理 ・電場に関するガウスの法則 ・ガウス分布（正規分布） ・複素数 ・複素積分 ・楕円関数 ・曲率 ・高速フーリエ変換の考え方

電荷密度とは 単位体積の電荷　電荷/体積 　単位は、C/m3 　 クーロン 毎 立方メートル 電荷密度を体積で積分すると、全部の電荷になる。

密度とは 密度＝ ある量 体積、面積、長さのどれか 例: 人口密度＝人口/ 面積

いろいろな密度 電荷の場合 体積密度 （普通の密度） 単位体積当たりの量 (volume) density 電荷密度、または 体積密度　（普通の密度） 　　　単位体積当たりの量 (volume) density 　　　density per volume (2)面密度、または面積密度 　　　単位面積当たりの量 area density density per area (3)線密度 　　　単位長さ当たりの量 line density density per length 電荷密度、または 　　電荷の体積密度 単位　C/m3 電荷の面積密度 単位　C/m2 電荷の線密度 単位　C/m

電場に関するガウスの法則 教科書p.228の下から ガウスの法則： 積分形 問題 電荷を電荷密度 で書くと、上の式は、 ガウスの法則： 　　積分形 問題　電荷を電荷密度 で書くと、上の式は、 ガウスの法則： 　　微分形 と書けることを示せ。

ここから保存場の話

「経路によらない」とは。 英語で言うと、 does not depend on the path. 始点と終点を固定する。 どの経路をとっても、変わらない時、 「経路によらない」と言う。

保存場 教科書p26 一般に、あるベクトル場 の経路Ｃに沿った積分、 C が経路によらない時、 は「保存場」であるという。 一般に、あるベクトル場　　　の経路Ｃに沿った積分、 C が経路によらない時、 は「保存場」であるという。 （特に力の場合は「保存力」という。） 前期のポテンシャルエネルギーの所 始点　　　と終点　　　を固定して、 経路Ｃを変化させても、変わらない場合が保存場。 保存力の例：　重力、　クーロン力（後で証明） 保存力でない例：摩擦力、空気抵抗

保存場の問題 教科書p26 問題 クーロン場は保存場であることを示しなさい。 1)電荷 がrの所に作る電場が であることを説明しなさい。 問題　クーロン場は保存場であることを示しなさい。 1)電荷　　がrの所に作る電場が であることを説明しなさい。 2) ３次元極座標で　　 と書けることを使って、 を示しなさい。 3) 積分　 を求めなさい。

補足：中心力 中心力 ・力がある点からの動径方向 ・力の大きさが、ある点からの距離のみで決まる　 　　　（角度には関係ない） 中心力は保存力（経路が違っても同じ） であることが示せる。

問題１を微分形で書くと 左辺が任意の閉曲線に対して０なら、 保存力の微分形を使った定義 問題２のクーロン力の場合 ３次元極座標でrotを書いて　rotE=0を示せる。 （余裕のある人は、やってみて下さい。）

電位と電場 教科書p.234 クーロン場は保存場。 違う経路でも積分 の値が変わらない 積分値を１つの記号で書ける。 逆は 電位 　違う経路でも積分　　　　　　　　の値が変わらない 積分値を１つの記号で書ける。 逆は 電位 特に、動径方向に経路をとり、r0=∞にとると、 逆は

電位の補足 gradは勾配（傾き）を 表す。 電位は山の高さのようなもの。 正電荷を置いた時に、電位の低い方に動く。 具体的な例を後で考える。

静電場の例題

ガウスの法則 教科書p.232, 236－237 積分は領域Vの面について。 Q:領域Vの「中」の電荷 半径aの球の内部に、密度ρで一様に 　　電荷が分布しているとする。 　　この時の電場を球の外と中で求めたい。 方法１：微小電荷からのクーロン力を積分する。（大変） 方法２：ガウスの法則を使う。 　　ガウスの法則は元々クーロンの法則を使っているので、 　　結果は同じになるはず。 次のページに問題

問題：ガウスの法則を使う 問題 半径aの球の内部に、 密度ρで一様に電荷が分布している。 積分は領域Vの面 Q:領域Vの「中」の電荷 　密度ρで一様に電荷が分布している。 積分は領域Vの面 Q:領域Vの「中」の電荷 1)電荷の球の中心Oから半径rの球を描いたとき、 　この半径rの球の内部に入っている電荷を、 　　a) r≧aの場合　　b) r<aの場合　に求めなさい。 2)球の中心から距離rの場所での電場は、動径(r)方向であり、 電場の大きさはrだけで決まることを説明しなさい。 （球の電荷の各部分からの電場の和であることを用いる） 3) 半径rの球に関してガウスの法則を適用して、 　半径rの場所での電場を求めなさい。グラフにしなさい。 4) 電位を求めなさい。r=∞を基準にすること。 　　　a) r≧aの場合　の電位を求めなさい。 　　　b) r<aの場合の電位を求めなさい。 　グラフにしなさい。

補足：球でない場合 電荷分布がもし 立方体だと 電荷 電荷 中心からの距離が同じなら、 中心からの距離が同じ場所でも 電場の大きさは同じ。 方向は動径方向 電荷 中心からの距離が同じ場所でも 電場の大きさは異なる。 ガウスの法則を使って電場を求めることができない。

ここから磁場の話

磁場の例 自然界 ・地球磁場 地球内部でFeやNiが溶けている。 ・宇宙磁場 生体内の磁場 電荷が動けば磁場ができる。 人間が作った電磁波 　　導電性で電流が流れると磁場を作る。　 地磁気は反転している。 　　　　過去7600万年で171回。 　　　　一番最近は70万年前。 ・宇宙磁場 生体内の磁場 　　電荷が動けば磁場ができる。 人間が作った電磁波 ・携帯電話の電磁波　　　 ・医療機器　　磁場を利用した計測。 　　　例：MRI (磁気共鳴イメージング）

電流とは 電流Iは、電荷Qの流れ 単位時間にどれだけの電荷が 流れるか。 単位も割り算 交通流（交通の流れ）と似ている １分間に自動車が何台通るか。

動径ベクトルの復習 の説明 z P O y x 動径ベクトル。原点から点Pまでのベクトル。 動径ベクトルの長さ 動径方向の単位ベクトル したがって、

電流の作る磁場：ビオ・サバールの法則 ×は外積 教科書p.274, 275 I 電流の微小部分 が ある点Ｐに作る磁場は、 P 電流の微小部分　　　　が ある点Ｐに作る磁場は、 微小部分から点Ｐへのベクトルを 　とすると、 P 磁場の単位は、 A/m A:アンペア dは微小量 ×は外積 磁場 電流 単位はアンペア[A] I 電流に沿った微小長さ 電流の微小部分から点Ｐまでの動径ベクトル

参考：ビオ・サバール(Biot-Savart)の法則 フランス人の物理学者、ビオさんとサバールさんが 1820年に発見した。

電流の作る磁場 :電流の微小部分 : ある点Ｐに作る磁場 :微小部分から点Ｐへのベクトル I P 問題 電流Iが直線状に流れている時、 　: ある点Ｐに作る磁場 　:微小部分から点Ｐへのベクトル I P 問題 　電流Iが直線状に流れている時、 　　　　電流から距離bの点での磁場を ビオ・サバールの法則から求めよ。 電流の流れる方向をz軸上向けにとる。 　電流の微小部分Idsとそこから観測点Pへの 　ベクトルrのなす角をθとするとき、 　　　　の方向と大きさを求めなさい。 (2) ビオサバールの法則を使って磁場を求めなさい。 b z θ I P

補助問題 を微分せよ 前ではやりません。 ヒント 割り算の微分を思い出す。

ストークスの定理 復習 ベクトル場Ａに対して Cは曲面Sの周囲 表面に垂直、外向きのベクトル

電流の作る磁場 ・は内積 閉曲線に沿った微小長さのベクトル 磁場ベクトル 磁場の閉曲線に沿った成分 教科書p.276-279 アンペールの法則 対称性を使う方法 ある閉曲線の周りで磁場を積分すると、 この閉曲線を貫く電流Ｉに等しい。 あるいは ・は内積 閉曲線に沿った微小長さのベクトル 磁場ベクトル 磁場の閉曲線に沿った成分

電流の作る磁場 教科書p.276-279 アンペールの法則 対称性を使う方法 ある閉曲線の周りで磁場を積分すると、 この閉曲線を貫く電流Ｉに等しい。 あるいは ・は内積 問題1 電流Iが直線状に流れている時、 　　　　電流から距離rの点での磁場を、 　　　　アンペールの法則を使って求めよ。 問題２　ストークスの定理を用いて、上記のアンペールの 　　　法則は、 　　　と書けることを示せ。 は単位面積を流れる 　　　電流密度。

電場と磁場の比較 ガウスの法則 クーロンの法則 アンペールの法則 ビオ・サバールの法則 発展問題（興味のある人はやってみて下さい。） 電荷があると、電場ができる。 対称性が高い場合に 便利 アンペールの法則 ビオ・サバールの法則 電荷が動くと電流になる。 電流があると磁場ができる。 発展問題（興味のある人はやってみて下さい。） 　　前回の電荷が一様に分布した球の作る電場を、 　　クーロンの法則から（対称性を使わずに）出してみよ。

対称性が高い場合、低い場合 とは。 オレンジの部分に電荷が分布している 場合の電場は、クーロンの法則を使って、 対称性が高い場合、低い場合　とは。 オレンジの部分に電荷が分布している 場合の電場は、クーロンの法則を使って、 微小電荷からの電場を積分する。 対称性が低い 青い部分に電荷があるとする。 中心から距離rの点では、 電場の大きさが等しいと考えられる。 　　（対称性が高い） したがって、ガウスの法則を使って 計算できる。

ここから、導体と誘電体の話

導体 電気を通す。 例：金属 教科書p.237 前期の復習 + + + + - 単位はF(ファラッド)=C(クーロン)/V(ボルト) - - 電場があると、電子がすぐ動く。 電場の中で電荷が表面に来る。 導体内の電場はゼロ。 導体面上では電位が等しい。 + + + + - 導体が電荷Qを持ち、電位Vとする。 この時QとVにQ=CVが成立し、比例係数Cを 電気容量と言う。 　　単位はF(ファラッド)=C(クーロン)/V(ボルト) - - - 表面だけに電荷 問題１：導体の表面の電荷密度がσである時、導体表面の電場は、 であることを、ガウスの法則を使って示せ。 問題２：２枚の平行な導体板でコンデンサーを作る。 　極板の面積をS, 間隔をdとする時、 を示せ。

コンデンサー 前期の復習 電荷をためておくところ。 iPhoneにも使われている。

コンデンサー 注意：英語ではコンデンサーはcapacitorと言う。 コンデンサー： ボルタさん（Alessandro Volta)さんが 前期の復習 コンデンサー このページは 物理の試験には出ません 注意：英語ではコンデンサーはcapacitorと言う。 　コンデンサー： 　　ボルタさん（Alessandro Volta)さんが 　　最初に論文でcondensorの言葉を使った。 　　Alessandro Volta(1745-1827) 　　　　イタリアの物理学者。 　　　　ボルタ電池を作った。 　　　　　（ZnとCuの電極） 　　電圧の単位ボルト（volt)と 電圧voltage　はボルタさんの名前から。 英単語のページ→コンデンサー

Capacitor （日本語ではコンデンサー） capable 有能な、○○できる 語源：ラテン語capere:つかむ、取る このページは 物理の試験には出ません 前期の復習 Capacitor （日本語ではコンデンサー） capable 有能な、○○できる 語源：ラテン語capere:つかむ、取る 派生語　capability 収容能力、大きさ、キャパ 　　　　capacitance 静電容量 　　　　capacitor コンデンサー 同じ語源(capere)の単語 ・caputure 捕獲する、画面のキャプチャー ・captivate 人の心をとらえる

絶縁体 (誘電体） 前期の復習 教科書p247 電気を通さない。 例：空気、大部分の物質 電場中でも電子は少ししか動けない。 中では - + 　　　　例：空気、大部分の物質 　　　　電場中でも電子は少ししか動けない。 外部から見ると、表面だけに 電荷があるように見える。 （しかし誘電体のどこを切っても 同じように電荷分布している。 導体は中は電荷はいない。） 中では - + - + - + - + - + - + - + - + - + + - + - + - + - + 外から見ると 誘導分極 分極電荷：正負に分けて取り出せない。

分極ベクトル 前期の復習 教科書p247-249 方向は図のように、 負の電荷から正の電荷に向かう方向 大きさは、表面電荷σに等しい。 + 分極方向の 単位ベクトル 多くの場合、分極ベクトルは電場に比例（同じ向き） 真空の誘電率(クーロンの法則で 　　出てきた） 電気感受率（無次元量） electric susceptibility →　英単語：感受率、分極

導体の間に誘電体をはさむ 教科書p.250までの部分 前期の復習 真空の時 V V 誘電体の時、電圧Vは真空中と同じ。 従って、電場Eも真空中と同じ。電荷が異なる。 極板上の電荷をQ, 誘電体の分極電荷を-Q’ とする。電場EはQ-Q’によって作られる。 -Q’ Q’ -Q - Q + + - + - + - + - - + - + 面密度で、 + - + - 誘電分極で とおく。電束密度と言う。

電束密度 前期の復習 Dに対する ガウスの法則 領域内の 真の電荷 とおくと 誘導電荷も 含む 電気感受率の値 微分形 水 80 水　80 ベンゼン　1.2 CO2 9.9x 10-4 電荷密度 （体積あたり） 水の話は電気伝導の所でまたします。 純水と不純物が入った水の違い。

磁場の空間変化と電流の関係 教科書p.297から 既に見たように、 アンペールの法則の微分形 ここは 後期の内容 定常電流の周りの磁場。 電流が定常でない場合。空間のある部分で 電荷がたまることがある。この場合は、 電束密度 マクスウェル方程式の１つ。 　使い方は後でやります。

電気抵抗 教科書p.255-256 前期の復習 電荷の時間変化 導体に流れる電流Iと電位差Vは比例する。(オームの法則) 電荷の時間変化　 導体に流れる電流Iと電位差Vは比例する。(オームの法則) I: 電流.単位はA =C/s（秒) V: 電圧.単位はV （ボルト） R: 抵抗　単位はΩ(オーム) 長さℓ、断面積Sの針金の場合、 ρ：抵抗率　（物質によって違う） σ=1/ρ：　電気伝導率 Rの逆数を電気伝導度と言う。 Ωの逆数1/ΩをS(シーメンス）と呼ぶことがある。 電流密度 (単位面積を流れる電流） を使って書くと、 後でマクスウェル方程式と一緒に使う。 英単語　→　抵抗

電位と電場 前期の復習 電位　　単位電荷を無限遠からその点まで運ぶのに要する 　　　　　エネルギー 電場が一定だとすると、 とおくと、 電位差 距離

問題 前期の復習 問題１ 抵抗率の単位を求めよ。 問題２ 電気伝導率の単位を求めよ 問題３ を示せ。 ρ：抵抗率 σ=1/ρ： 電気伝導率 問題１　抵抗率の単位を求めよ。 問題２　電気伝導率の単位を求めよ 問題３　　　　　　　　を示せ。 ρ：抵抗率　 σ=1/ρ：　電気伝導率 電流密度 (単位面積を流れる電流）

補足：単位の話　 （勉強レポートの内容から） divもrotも微分が入っている。 なぜ微分の単位が割り算になるかは、微分の定義のため。

補足：単位の話　その２ 電位 φの単位　= E（電場）の単位　x m(メートル）

ここから、 磁性体の話

磁極に作用する力 教科書p.264 「磁極」Qm が磁場H中にある時、作用する力は、 電場中の電荷に似ている。 磁極 Wb (ウェーバー) 磁場 A/m しかし電荷と違い、片方の符号の磁極を 単独では取り出せない。

磁極に作用する力 教科書p.265 の間に作用する力は、 ２つの磁極 磁荷 真空の透磁率 より、磁極の作る磁場は、 ２つの磁極　 磁荷 真空の透磁率 より、磁極の作る磁場は、 電場の場合と同様に、ガウスの法則が成立する。

磁位 教科書p.266 一番上の行 無限遠からある場所Pまで単位磁極を運ぶのに 要する仕事。 あるいは、

力のモーメント 復習 教科書p.50 Moment of force ある質点mが原点Oからrの位置にあり、 m mに力Fが加わっているとする。 この時の、点Oのまわりの力のモーメントは、 図でNの方向は、スクリーンを （裏から表に）貫く方向 外積 回転させる能力を表す 　　回転面と回転の方向もわかる。

ベクトル積（外積） 復習 教科書p.51 ベクトル のなす角をθとする。 ベクトル積 は、 ベクトル に垂直で、 大きさは ベクトル　　　　　のなす角をθとする。 ベクトル積　　　　　　は、 　　ベクトル　　　　に垂直で、 　　大きさは　　　 のベクトルである。 θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる(進む）向きを ベクトル　　　　　　の向きとする。 に対して、 の成分は

磁気モーメント 教科書p.265, 266 磁極 があり、 と の位置から までの ベクトルを とする。 ベクトルを とする。 を磁気モーメントという。　単位：Wb・m 問題：　磁気モーメントmが磁場H中に、 mとHのなす角θで置かれた時、 　　　磁気モーメントの受ける力のモーメントを求めよ。 を一定にしたまま、dを小さくした極限を 磁気双極子と呼ぶ。

磁性体 教科書 p.267 磁場の中に入れると、磁場と相互作用する物質。 電場の中の誘電体と似ている。 磁化 単位体積あたりの磁気モーメント 磁化　 単位体積あたりの磁気モーメント 単位：Wb/m2 は　磁場と同じ方向。 多くの磁性体で χm：帯磁率　 magnetic susceptibility　

磁束密度 教科書p.269下-p.270 が成立するような物質では、 透磁率 permeability 真空の透磁率

電磁誘導

ストークスの定理 復習 ベクトル場Ａに対して 表面に垂直、 外向きのベクトル 面上で積分 Cは曲面Sの周囲

磁束 教科書p.285 磁束密度 磁化 磁場 ある断面積を通るBを積分したものを、 磁束と呼ぶ。 単位はWb(ウェーバー）

電磁誘導 教科書p.286 ある閉回路の中を通る磁束 が時間的に変化する時は、 変化の速さに比例した起電力が生じる。 ファラデーの ある閉回路の中を通る磁束　　が時間的に変化する時は、 変化の速さに比例した起電力が生じる。 ファラデーの 電磁誘導の法則 閉じた回路で積分 微分表示で上の式は、 磁場の中で閉回路を 回転させると、 閉回路を貫く磁束が 変化して起電力が 生まれる。 例：自転車のライト と書ける。 後で問題でやります。

レンツの法則 教科書p.286 電磁誘導で流れる電流の向きは、 その電流の作る磁場が、 誘導の原因となった磁場の変化に さからうように生じる

なぜ、磁束は常微分で、磁束密度は偏微分か？ 磁束密度は、場所と時間の関数 他の変数もあるので、 時間についての微分は偏微分になる。 （偏微分：２変数以上の関数を 　　１つの変数で微分する） 磁束密度を面積について積分すると、 時間だけの関数となる。 したがって、時間に関する微分は普通の微分。

電磁誘導の問題 教科書p.286 ある閉回路の中を通る磁束 が時間的に変化する時は、 変化の速さに比例した起電力が生じる。 ファラデーの ある閉回路の中を通る磁束　　が時間的に変化する時は、 変化の速さに比例した起電力が生じる。 ファラデーの 電磁誘導の法則 問題　微分表示で上の式は、 と書けることを示せ。 ヒント 磁束と磁束密度の関係 ストークスの定理

マクスウェルの方程式 電磁誘導 アンペールの法則 ガウスの法則 （クーロン則を使う） 単独磁荷はない。 は物質によって値が違う。 電場 rotとdivを間違えない。 rotは電場と磁場の両方が 　出てくる式で使う。 divは電場のみ、または、磁場のみ。 ４つの式が大事 電磁誘導 　　磁場が変化すると、 　　　電場ができる。 アンペールの法則 　電流や電束密度の時間変化 　で磁場ができる。 ガウスの法則 　（クーロン則を使う） 単独磁荷はない。 補助方程式３つ は物質によって値が違う。 電場 電束密度 磁場 磁束密度

電磁波の話

マクスウェルの方程式 電磁誘導 アンペールの法則 ガウスの法則 （クーロン則を使う） 単独磁荷はない。 は物質によって値が違う。 電場 rotとdivを間違えない。 rotは電場と磁場の両方が 　出てくる式で使う。 divは電場のみ、または、磁場のみ。 ４つの式が大事 電磁誘導 　　磁場が変化すると、 　　　電場ができる。 アンペールの法則 　電流や電束密度の時間変化 　で磁場ができる。 ガウスの法則 　（クーロン則を使う） 単独磁荷はない。 補助方程式３つ は物質によって値が違う。 電場 電束密度 磁場 磁束密度

電磁誘導の応用 金属探知機（空港で飛行機に乗る前） 弱い磁場の中を荷物を通す。 もし金属があれば、磁場を切るので、電流が流れる。 その電流を探知する。 9.11事件以降、パイロットは、ハイジャッカーの 言う通りにしなくてよいことになった。 それまでは、犯人が言う場所に連れて行けば、 乗客の安全が守られることが多かった。 金属探知機だけでは、9.11の犯人は見つけられないが、 初歩的なハイジャッカーを探すことはできる。 参考：Physics for Presidents 　　翻訳は『今この世界を生きているあなた 　　のためのサイエンス』

電磁波に関する問題 教科書p.302-305 一様な媒質中を伝わる電磁波を考える。 電磁波の進む方向をz軸とする。 E,D,B,Hの各成分は、zとtだけの関数で、x,yにはよらない。 媒質中には電荷も電流もないとする。 マクスウェル方程式を成分で書き、 マクスウェル方程式を電場と磁場の成分で書き、上記の 　条件より、どの項がゼロになるか示せ。 2) 電磁波は横波である（電場、磁場のz成分が0になる） 　　ことを示せ。 3) 次の微分方程式が導かれることを示せ。 　　　　　　　　（波動方程式） 4) とおく時、 の関数形が2)の微分方程式の解になっていることを確かめよ。 5) Eがx方向の時、Hがy方向であることを示せ。　　

4) の補足 前期の演習３回めで考えた。 xの正の方向に進む波だった。 zの正の方向に速さvで進む波 zの負の方向に速さvで進む波 前期の復習 前期の演習３回めで考えた。 xの正の方向に進む波だった。 zの正の方向に速さvで進む波 zの負の方向に速さvで進む波

波の位相が伝わる速度 𝑘𝑥−𝜔𝑡=𝑘 𝑥+Δ𝑥 −𝜔(𝑡+Δ𝑡) 𝑘Δ𝑥−𝜔Δ𝑡=0 Δ𝑥 Δ𝑡 = 𝜔 𝑘 𝑣= 𝜔 𝑘 前期の復習 （演習３回め） 波の位相が伝わる速度 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐴 sin (𝑘𝑥−𝜔𝑡) 時間t、場所xから少しの時間Δtだけたって、 Δｘ離れた場所に同じ位相が伝わったとすると、 𝑘𝑥−𝜔𝑡=𝑘 𝑥+Δ𝑥 −𝜔(𝑡+Δ𝑡) 𝑘Δ𝑥−𝜔Δ𝑡=0 Δ𝑥 Δ𝑡 = 𝜔 𝑘 位相が伝わる速さは、 𝑣= 𝜔 𝑘

電磁波の続き の測定値から、 特に真空中で を求めると、光速度の測定値に一致することが知られている。 光も電磁波も横波であることと合わせて、 「光は電磁波である」とマクスウェルは考えた

電磁波のイメージ 電場や磁場は、電磁波の進行方向に垂直な方向に 振動している。 進行方向 電場が大きくなる場所を追うと、 進行方向に進んでいく。