3. Chiral Perturbation Theory S.Weinberg, Physica 96A, 327 (1979). J.Gasser and H.Leutwyler, Ann. of Phys. 158, 142 (1984). J.Gasser and H.Leutwyler, Nucl. Phys. B 250, 465, (1985). A.Pich, lecture note for Les Houches Summer School (hep-ph/9806303). A.Manohar and H.Georgi, Nucl. Phys. B 234, 189 (1984). “ゲージ場の量子論” 九後汰一郎著 （培風館）. C.Rosenzweig, J.Schechter and C.G.Trahern, Phys. Rev. D 21, (1980). P.Di Vecchia and G.Veneziano, Nucl. Phys. B 171, 253 (1980). E.Witten, Ann. of Phys. 128, 363 (1980).

☆ QCD のパラメータの極限・対称性の情報 (漸近的自由性) （ミクロな領域 ； 高エネルギー領域） ヘビークォーク対称性 カイラル対称性 ハドロンによる量子補正が小さくなる

3.1. ＱＣＤにおけるカイラル対称性と その自発的破れ

☆ ＱＣＤラグランジアン カレント・ クォーク質量

☆ カレントと保存電荷 ； ベクトル・カレント ； 軸性ベクトル・カレント (vector charge) (axial-vector charge)

☆ カイラル対称性の自発的破れ ・オーダー・パラメータ

・カレント・クォーク質量 ； mu, md ・・・ 5 - 10 MeV ⇒ カイラル対称性は explicit に破れている ☆ 現実世界 ・カレント・クォーク質量 ； mu, md ・・・ 5 - 10 MeV ⇒ カイラル対称性は explicit に破れている ・構成子(constituent)クォーク質量 陽子(uud), 中性子(udd)の質量 ・・・ 1 GeV → ハドロンの中では、Mu, Md ・・・ 300 MeV Mu, Md ; QCDの強い相互作用により生成された有効質量 ◎ ＱＣＤラグランジアンでの近似的カイラル対称性 ◎ ・π中間子 ・・・ 近似的 南部-ゴールドストーン粒子

◎ 南部-ゴールドストーン定理の低エネルギー定理 NG boson の低エネルギー極限における散乱振幅は 対称性の要求から、力学系の詳細によらずに決定される。 ◎ Chiral Perturbation Theory 低エネルギー定理の系統的記述 高いエネルギー領域への組織的拡張

3.2. Basic Concept of the ChPT

☆ Generating Functional of QCD ・current quark masses ・・・ VEV of S

☆ Basic Concept of the ChPT

3.3. Derivative Expansion

☆ Derivative expansion

3.4. Order Counting

☆ M ・・・ matrix element with Ne external π lines (Ni internal π lines and NL loops) ・ general form of an interaction ・・・ dimension carried by the coupling constants

☆ General expression of the matrix element μ : a common renormalization scale E : a common energy scale ☆ Chiral order

☆ Examples of chiral order

3.5. Lagrangian (leading order)

☆ Building blocks

π kinetic term π mass term π Interaction terms

and Masses at Leading Order 3.6. Particle Asignment and Masses at Leading Order

◎ pseudoscalar mesons

☆ masses at leading order (Nf = 3 の場合)

3.7. ππ散乱の低エネルギー定理

☆ ラグランジアン ・・・ 低エネルギー極限では D = 2 のみ寄与 ◎ ファインマンルール

ππ散乱振幅

3.8. Lagrangian (next order)

・ Eq. of motion ・ trivial relation = O(p4) = 0

=0

・ Eq. of motion ・ trivial relation = O(p4) = 0

3.9. Background Field Method in pure Yang-Mills Theory

☆ SU(N)局所対称性に基づくYM Lagrangian 変換性 : ; ◎ background field と quantum field に分離 background field quantum field

・変換性

◎ Gauge fixing term (Feynman gauge) ; ◎ Fadeev-Popov ghost term ; GF + FP terms は SU(N)対称性を keep ⇔ 普通の量子化では、GF + FP がゲージ対称性を破る

◎ Lagrangian tree contribution quantum correction at one loop equations of motion for background fields

・ 具体的計算 tree contribution equations of motion for background fields quantum correction at one loop

☆ Feynman rules

・２次発散はキャンセルし、log 発散のみ存在 ◎ くりこみ ◎ くりこみ群方程式 asymptotic free

3.10. Background Field Method ChPT での loop 計算のための準備

☆ Background fields の導入 (1)

☆ Background fields の導入 (2) quantum field background fields

☆ Background fields including external gauge fields

☆ ラグランジアン 第１項と第２項への２次発散の補正が異なる ⇒ くりこみを行った後、Fχ=Fπとおく ⇒ tree contribution quantum correction at one loop equations of motion for background fields ⇒

・ generator Ta は質量が対角化されるようにとっておく 例 ：

☆ Feynman Rules ・ propagator ・ vertices の例

3.11. Pion Decay Constant への補正

◎ tree contribution

・積分の正則化 ・・・ dimensional regularization ◎ 1-loop correction ・積分の正則化 ・・・ dimensional regularization log発散 ２次発散

◎ くりこみ ◎ Pion decay constant chiral 極限(Mπ=0)での decay constant chiral極限からのズレ

3.12. Pion Decay Constant への補正

(gmn part のみ) ◎ tree contribution

◎ 1-loop correction ◎ くりこみ ◎ Decay constants ・・・

注： ＱＣＤのテストというよりは、カイラル対称性のテスト ・ ＱＣＤ（カイラル対称性以外）のテスト ・ もしくは、計算手法のテスト

3.13. Renormalizat ion of Low Energy Constants

☆ Renormalization in the dimensional regularization

3.14. Vector Form Factors and L9

☆ Vector form factors ◎ Charge radii from ChPT π K W K e ν ◎ Charge radii from ChPT ・・・ independent of L9

◎ predictions & experiments PDG (2006) 0.452±0.011 ; 0.314±0.035 ; - 0.077±0.010

3.15. π→ e νγ and L10

☆ π → e νγ independent of μ γ W π e ν ⇔ ◎ Axial-vector form factor

3.16. Values of low energy constants

Wess-Zumino-Witten Term 3.17. Chiral Anomaly and Wess-Zumino-Witten Term

+ ☆ Chiral anomaly Lagrangian is invariant (classical level). SU(3)L × SU(3)R infinitesimal transformation Lagrangian is invariant (classical level). ◎ Axial part, αR = －αL = β, is broken at quantum level. + change of effective action

☆ Wess-Zumino-Witten Lagrangian ◎ Wess-Zumino anomaly equation for effective Lagrangian of NG bosons

☆ Solution for Wess-Zumino anomaly equation

☆ π0 → γγ photon field charge matrix ；

3.18. U(1)A Anomaly and η’

☆ U(1)A Anomaly + change of effective action

☆ Effective Action with η’ ・・・ ◎ Anomaly ◎ η’ の質量