確率伝搬法と量子系の平均場理論 田中和之 東北大学大学院情報科学研究科 E-mail: kazu@smapip.is.tohoku.ac.jp URL: http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) 確率分布と密度行列 確率分布: 2N 重の多重和の計算 密度行列: 2N 行 2N 列の行列の対角化 一部の特殊な場合を除いて確率分布の場合の計算量の2乗のオーダーの計算量 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) 確率分布と確率伝搬法 確率伝搬法の数理的基盤 量子系では同じ取り扱いは難しい!! 行列 A, B に対して は一般には成り立たない 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) 本講演の主題 1次元鎖または木構造のグラフ上の量子系の難しさ 量子系に対する確率伝搬法の定式化 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) 2ノードのハミルトニアンと密度行列 ハミルトニアン 1 2 密度行列 密度行列の各成分 はハミルトニアンを 対角化することで 計算される． 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) 周辺確率と縮約密度行列 周辺確率 i 番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和 縮約密度行列 i 番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

縮約密度行列(Reduced Density Matrix) ノード1の状態を固定したもとでの部分対角和 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

縮約密度行列(Reduced Density Matrix) ノード2の状態を固定したもとでの部分対角和 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

２ノードの密度行列の計算結果を使い回せない 量子系の難しさ 1 2 2 3 1 2 3 指数関数の加法定理が成り立たないので ２ノードの密度行列の計算結果を使い回せない 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) Suzuki-Trotter公式 n: Trotter 数 3xn の梯子格子上のグラフィカルモデルの確率伝搬法 積に分かれたときn乗が残るのでやはりそのままでは確率伝搬法を使うのは難しい． Σ Suzuki-Trotter 公式 密度行列 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) Suzuki-Trotter公式 n: Trotter 数 確率分布 3xn の梯子格子上のグラフィカルモデルの確率伝搬法から統計量の厳密な数値を求めることができる． Σ ST 公式 密度行列 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) 密度行列と縮約密度行列 縮約密度行列 (Reduced Density Matrix) Reducibility Condition 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) 近似縮約密度行列と有効場 i 有効場 は行列 j i 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

量子系における確率伝搬法の有効場伝搬規則 有効場伝搬方程式 j i Output 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

閉路を持つグラフ上の 確率モデルの結合確率 無向グラフ 有向 グラフ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) 閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列 無向グラフ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) 確率推論の密度行列への拡張の一例 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列の数値実験 Exact 無向グラフ Quantum CVM 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)

Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo) まとめ 従来型のＣＶＭによる量子系の取扱い 確率推論のグラフィカルモデルにおける量子確率伝搬法としてのアルゴリズム 今後の課題 量子確率推定への情報統計力学的アプローチ 19 December, 2006 Dex-Smi Workshop 2006 (Tokyo)