電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁

ラプラス変換による過渡現象の解析 3. RLC直列回路の過渡現象 図に示すRLC直列回路において、任意の電圧 e(t) で励振した時の電流を i(t) とすると、閉路方程式は、 C R L E(s) i(t) e(t) I(s) q(0) i(0) で与えられる。 この式をラプラス変換すると、 となる。 ただし、　　　　　　　　　　　　　　　　　　とした。 従って、I(s) について解くと、 となる。 全ての初期条件を 0 とすると、 となり、 Z(s) は回路のインピーダンスを表わす。

ラプラス変換による過渡現象の解析 例 6.3.1 i(t) I(s) q(0) i(0) C R E0 S t = 0 L 左図の回路で、t = 0 でスイッチを閉じて直流電圧 E0 を印加する。 かつ としてよいから、 より、 となる。 この式をラプラス逆変換するには、 と変形し、 ラプラス変換表(教科書の表5.2)の(32)の関係 を用いて、 とみなすと、 となる。

ラプラス変換による過渡現象の解析 (a) 臨界減衰( R2 = 4L/C )の場合には、 ロピタルの定理より、 であるから、 となる。 (b) 過減衰( R2 > 4L/C )の場合には、 であるから、 の関係を用いると、 となる。 (c) 振動減衰( R2 < 4L/C )の場合には、 であるから、 となる。

ラプラス変換による過渡現象の解析 例 6.3.2 RLC直列回路で、時刻 t = 0 にスイッチを閉じて、正弦波電圧 Emsinω1t を印加する。 そのとき であり、かつ簡単のために q(0) = 0, i(0) = 0 とすれば、 電流は、 で与えられる。 この式のラプラス逆変換は、表5.2(36)の表関数 f(t) を微分した df(t)/dt に、 を代入し、係数　　　　　を乗じたものに等しい。 ラプラス変換表5.2の(36)の関係式は、

ラプラス変換による過渡現象の解析 この表関数を微分すると 従って、 ただし、 また　　　　　　　　と置いて、

ラプラス変換による過渡現象の解析

ラプラス変換による過渡現象の解析 i(t) の式 励振周波数 ω1 で 振動を続ける定常項 過渡項 自由振動周波数は β i(t) の時間変化を以下の図に示す。(ただし、ω12 = 1/LC、かつ ω1 ≈ β の場合)

ラプラス変換による過渡現象の解析 教科書第2章の章末問題2.2の解答に誤りがあります。ラプラス変換を用いて、正しい答えを導いてみよう。 RC直列回路の場合 閉路方程式は、 C R E(s) i(t) e(t) I(s) q(0) となり、 両辺をラプラス変換すると、 I(s) について解くと、 ここで、 時定数 CR = τ と置くと、

ラプラス変換による過渡現象の解析 従って、表5.2のラプラス変換表の式(18)と式(4)の関係を用いてラプラス逆変換すると、 と求まる。

ラプラス変換による過渡現象の解析 同様にRL直列回路の場合、閉路方程式は、 R E(s) i(t) e(t) I(s) L i(0) となり、 両辺をラプラス変換すると、 I(s) について解くと、 ここで、 時定数 　　 = τ と置くと、

ラプラス変換による過渡現象の解析 従って、表5.2のラプラス変換表の式(17)と式(4)の関係を用いてラプラス逆変換すると、 と求まる。

ラプラス変換による過渡現象の解析 教科書第6章の章末問題6.6 スイッチを閉じた後の閉路方程式は、 であり、 ラプラス変換は、 となる。 I(s) について解くと、 ラプラス逆変換すると、 となる。

ラプラス変換による過渡現象の解析 教科書第6章の章末問題6.7 スイッチを閉じた瞬間、キャパシタ C1 からキャパシタ C2 に無限大の電流が流れて、キャパシタ C2 が瞬間的に充電され、キャパシタ C1 とキャパシタ C2 の電圧が等しくなる。その時、スイッチを閉じる前後で電荷量は不変である。その後は、両キャパシタから R に電流が流れ、蓄えられた電荷は放電される。スイッチを閉じた直後の両キャパシタの電圧 V0 は、 である。 その後は単に、並列接続されたキャパシタ C1, C2 と、R からなる CR 直列回路であるから、 となる。

ラプラス変換による過渡現象の解析 教科書第6章の章末問題6.8 (a)の場合の回路は下図のようになる。 Rl E0 S i2(t) C R1 i1(t) 表記の簡単化のために、R1 = Rl = R と置く、 (i) 定常電流 定常状態では、キャパシタ C は完全に充電或いは放電された状態にあり、電流は流れないので、無いものと考えてよい。従って Rl に流れる定常電流 i2 は、 (ii) 過渡電流 電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。 このラプラス変換は、C の初期電荷が 0 であるから、 となる。

ラプラス変換による過渡現象の解析 これを I2 に対して解くと、 このラプラス逆変換は、 (b)の場合の回路は下図のようになる。 Rl S i2(t) t = 0 C R1 i1(t) C0 q0 表記の簡単化のために、R1 = Rl = R, C0 = C と置く、 (i) 定常電流 定常状態では、キャパシタ C0 に蓄えられていた電荷は完全に放電された状態にあるので、電流は流れない。従って定常電流 i2 は 0 である。 (ii) 過渡電流 電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。

ラプラス変換による過渡現象の解析 このラプラス変換は、 C0 の初期電荷が q0、C の初期電荷が 0 であるから、 となり、これを I2 に対して解くと、 となる。 表5.2の(14)の関係式を変位定理を用いて加工すると、 という関係が得られる。 従って上式で、 と置くと、 I2 のラプラス逆変換より電流 i2 は、 と求まる。これが電流 i2 の過渡電流である。

ラプラス変換による過渡現象の解析 (c)の場合の回路は下図のようになる。 Rl S i2(t) t = 0 C R1 i1(t) e(t) 表記の簡単化のために、R1 = Rl = R と置く、 (i) 定常電流 となる。ただし、 (ii) 過渡電流 e(t) のラプラス変換は、 従って、電流 i2 のラプラス変換は、 となる。

ラプラス変換による過渡現象の解析 表5.2の(27)の関係式を用いて、 と置くことにより、 従って、電流 i2 のラプラス逆変換は、 となる。 左辺の第1項が過渡電流である。

ラプラス変換による過渡現象の解析 教科書第6章の章末問題6.11 スイッチを開く前の定常状態での電流(初期電流) i(0) は、 スイッチを開いた後では、 の閉路方程式が成り立つ。 コイル L1 の初期電流が　　　　　　、コイル L2 の初期電流が 0 であることに注意してこれをラプラス変換するすると、 となり、I(s) について解くと、

ラプラス変換による過渡現象の解析 従って i(t) は、 と求まる。 これを図示すると、 i(t) t スイッチを入れる前後での鎖交磁束 ϕbefore, ϕafter を比較してみると、 となり、鎖交磁束不変の理が成り立っていることが分かる。