量子系における 確率推論の平均場理論 田中和之 東北大学大学院情報科学研究科 E-mail: kazu@smapip.is.tohoku.ac.jp URL: http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

確率分布: 2N 重の多重和の計算 密度行列: 2N 行 2N 列の行列の対角化 確率分布と密度行列 一部の特殊な場合を除いて一般には O(eN) の計算量 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

確率分布と確率伝搬法 確率伝搬法の数理的基盤 量子系では同じ取り扱いは難しい!! 行列 A, B に対して は一般には成り立たない 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

1次元鎖または木構造のグラフ上の量子系の難しさ 量子系に対する確率伝搬法の定式化 本講演の主題 1次元鎖または木構造のグラフ上の量子系の難しさ 量子系に対する確率伝搬法の定式化 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

2ノードのハミルトニアンと密度行列 1 2 ハミルトニアン 密度行列 密度行列の各成分 はハミルトニアンを 対角化することで 計算される． 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

周辺確率と縮約密度行列 周辺確率 i 番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和 縮約密度行列 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

縮約密度行列 (Reduced Density Matrix) ノード1の状態を固定したもとでの部分対角和 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

縮約密度行列 (Reduced Density Matrix) ノード2の状態を固定したもとでの部分対角和 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

２ノードの密度行列の計算結果を使い回せない 量子系の難しさ 1 2 2 3 1 2 3 指数関数の加法定理が成り立たないので ２ノードの密度行列の計算結果を使い回せない 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

Σ Suzuki-Trotter公式 n: Trotter 数 3xn の梯子格子上のグラフィカルモデルの確率伝搬法 密度行列 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

Σ Suzuki-Trotter公式 n: Trotter 数 確率分布 密度行列 3xn の梯子格子上のグラフィカルモデルの確率伝搬法から統計量の厳密な数値を求めることができる． Σ ST 公式 密度行列 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

密度行列と縮約密度行列 縮約密度行列 (Reduced Density Matrix) Reducibility Condition 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

近似縮約密度行列と有効場 i 有効場 は行列 j i 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

量子系における確率伝搬法の有効場伝搬規則 有効場伝搬方程式 j i Output 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

閉路を持つグラフ上の 確率モデルの結合確率 無向グラフ 有向 グラフ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列 無向グラフ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

確率推論の密度行列 への拡張の一例 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列の数値実験 Exact 無向グラフ Quantum CVM 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

線形応答理論 （人為的に小さなゆらぎを与えてその応答を見ることで詳細を知ることができる．） 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列の数値実験 Exact 無向グラフ Quantum CVM 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)

まとめ 従来型のＣＶＭによる量子系の取扱い 確率推論のグラフィカルモデルにおける量子確率伝搬法としてのアルゴリズム 今後の課題 量子確率推定への情報統計力学的アプローチ 21 March, 2007 日本物理学会(鹿児島大学)