計算の理論 II 言語とクラス 月曜4校時 大月美佳

講義の前に 今後の予定 講義：1/22, 1/30, 2/2 試験：2/9 レポート 回収延期：1/30まで待つ

今日の講義内容 予定 時間があれば 前回の復習 クラス 問題 還元可能性 NP完全など P, NP, PSPACE, NSPACE, NLOG, DLOG 問題 時間があれば 還元可能性 NP完全など

T(n)時間限定 T(n)を関数とし、MをkテープNTMとする。 言語Lに対して以下の(1)(2)が成り立つとき、 MはLを時間T(n)で受理するという。 また、MはT(n)時間限定(T(n)-time bounded) であるという。 L=L(M) 有限個を除いてすべてのx∈Lに対して timeM(x)≦T(|x|)

S(n)領域限定 S(n)を関数とし、MをkテープNTMとする。 言語Lに対して以下の(1)(2)が成り立つとき、 MはLを領域S(n)で受理するという。 また、MはS(n)領域限定(S(n)-space bounded) であるという。 L=L(M) 有限個を除いてすべてのx∈Lに対して spaceM(x)≦S(|x|)

NTIME(T(n)), NSPACE(S(n)) NTIMEk(T(n)) ={L|LはあるkテープNTMによって時間T(n)によって受理される} NSPACEk(S(n)) ={L|LはあるkテープNTMによって領域S(n)によって受理される}

DTIME(T(n)), DSPACE(S(n)) DTIMEk(T(n)) ={L|LはあるkテープDTMによって時間T(n)によって受理される} DSPACEk(S(n)) ={L|LはあるkテープDTMによって領域S(n)によって受理される}

正規言語 Lを正規言語とする。 このとき、以下の(1), (2)が成立する。 L∈DTIME(n) L∈DSPACE(1)

領域構成可能 関数S(n)は、 このときMはS(n)を、 L(M)={1}*かつ 有限個を除いてすべてのx∈{1}*に対して spaceM(x)=|_S(x)_|となるDTM Mが 存在するとき、 領域構成可能(fully space constructible)である。 このときMはS(n)を、 領域構成する。

時間構成可能 関数T(n)は、 このときMはT(n)を、 L(M)={1}*かつ 有限個を除いてすべてのx∈{1}*に対して timeM(x)=|_T(x)_|≧xとを満たすDTM Mが 存在するとき、 時間構成可能(fully time constructible)である。 このときMはT(n)を、 時間構成する。

P, NP P NP P≠NP 決定性Turing機械によって多項式時間で 受理される言語 非決定性Turing機械によって多項式時間で まだ証明されていない

Pの定義

NPの定義

PSPACE, NSPACE

NLOG, DLOG 非常にわずかな領域しか使用しないTMによって受理される言語 包含関係 NLOG=NSPACE(log n) DLOG=DSPACE(log n) 包含関係 DLOG⊆NLOG⊆P⊆NP⊆PSPACE このうち証明されているのはNLOG⊆PSPACE のみ

問題 写像A: Σ*→{0, 1} 写像Aの複雑さ アルファベットΣで表現された 真偽問題(yes/no problem)、問題 Σ*の部分集合{x∈Σ*|A(x)=1} →AはΣ*上の言語 写像Aの複雑さ =言語{x∈Σ*|A(x)=1}を受理するTMの計算量

問題の例1 COMPOSITE ={x∈{0, 1}*|xは合成数の2進数表現} ∈NP TMの動作 wが受理される場合の時間量 第1作業テープと第2作業テープにxとyを書き出す。 x, yが2以上の2進数であることを調べた後で xとyを掛け算したものを第3作業テープに書き出し、 これが入力wと一致すればwを受理する。 wが受理される場合の時間量 |x|, |y|≦|w|であるので多項式時間

問題の例2 GRAPH GRAPH∈DLOG 有限な有向グラフの符号化のひとつ G=(V, E) G⊆(Γ∪{#})*として符号化 頂点集合V={w1, …, wn} 辺集合E={(u1, v1), …, (um, vm)}⊆V×V G⊆(Γ∪{#})*として符号化 w1#…#wn##u1#v1#…#um#vm## wi∈Γ+ (1≦i≦n), uj ,vj ∈V (1≦j≦m) GRAPH∈DLOG ∴ GRAPH∈P

還元可能性 計算可能関数 f: Σ1*→Σ2* x∈L1 の判定 言語 L1⊆Σ1*, L2⊆Σ2* すべてのx∈Σ1*に対して それぞれTM M1 ,M2で受理 すべてのx∈Σ1*に対して x∈L1 ⇔ f(x)∈L2 となるとき、 L1をL2に還元(reduce)できるという。 x∈L1 の判定 M1 を走らせるかわりにf(x)がM2 で受理できるか調べる。

変換機 変換機(transducer) 対数領域計算可能(log space computable) 1本の入力テープ(読みとりのみ) k本の作業テープ(読み書き可) 1本の書き出し専用テープ(左方向に動けない) 対数領域計算可能(log space computable) fが領域log2 nで計算可能 多項式時間計算可能(polynomial time computable) ある多項式p(n)とfが時間p(n)で計算可能

還元可能 対数領域還元可能 (log space reducible) L1≦log L2 (via f ) 多項式時間還元可能 (polynomial time reducible) L1≦p L2 (via f ) C≦log L0, C≦p L0 言語のクラスCがすべてのLについて L≦log L0, L≦p L0

NP完全、PSPACE完全、P完全 ≦log 完全、 ≦p 完全 NP, P, PSPACEに対して L0 ∈C すべてのL ∈Cに対してL≦log L0, L≦p L0 となる NP, P, PSPACEに対して それぞれ≦log 完全(または≦p 完全)であるとき NP完全(NP-complete) PSPACE完全(PSPACE-complete) P完全(P-complete)

NP完全な言語 充足可能性問題(SAT) 和積標準形(CNF) 3和積標準形(3SAT) 頂点被覆問題(VERTEX COVER)

最後に 開始 次回 明日1/22 14:20～15:50 NP完全まわり