電磁気学Ⅱ Electromagnetics Ⅱ 6/9講義分 電磁場の波動方程式 山田 博仁

自由空間でのMaxwell方程式 Maxwell方程式 ファラデーの電磁誘導則 アンペール・マクスウェルの法則 電場に関するガウスの法則 変位電流 電場に関するガウスの法則 磁場に関するガウスの法則 自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷 ρe および伝導電流 ie がゼロ) 等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中 真空中

波動方程式の導出 第1式 ここで媒質は、等方性かつ線形かつ非分散性と仮定している 両辺の rotation をとる ベクトル恒等式 第2式 第3式 従って、 波動方程式 練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう

波動方程式導出においての変位電流の役割 変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察を行って付加したものであるが、 仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、どんな方程式が導かれるだろうか? 変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。 第1式の rotation をとると、 第2式 従って、 となり、 静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。

波動方程式の意味 ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定 つまり、 E(x, t)　→　 E(z, t) 今ここで、 と置くと、 後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は光速度 c で与えられ、

波動方程式の解 波動方程式 (教科書 p.200 参照) の解は、 で与えられる。 x y z + z 方向に速度 v で進む波 (進行波) (後退波) より一般的には、波動方程式 の解は、 で与えられる。 + k 方向に進む波 - k 方向に進む波 kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル w は波の角周波数

参) 伝送線路と電信方程式 送電端 受電端 E ZL x x=0 R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m) L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m) G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m) 上記の伝送線路に対して、以下の線路方程式が得られる 電信方程式あるいは伝送方程式 無損失線路(R = G = 0)の場合、 線路上での電圧波と電流波の伝搬速度 v は、 であることが分かる

参) 伝送線路上の電圧波の伝搬 ZL E x 入射波 反射波 線路上の位置 x での電圧 ej(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx)は、∓x方向に進む角周波数ω, 位相定数β の正弦波 vp: 位相速度 ここで、 x は波の振幅を表し、α > 0 (α < 0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する 因みに、波の包絡線の形状が伝わる速度を群速度: vgという x

進行する正弦波 +x 方向に伝搬する正弦波 波数 角周波数 位相角 従って、波数と角周波数の比は、 x1 x = 0 t = T x = λ 波の伝搬速度 t1 ある時刻(t = t1)について見てみると、 ある場所(x = x1)について見てみると、 +x -x +t -t

平面電磁波 波面が平面からなる波が、波面に垂直方向に伝搬していく k・x – w t を波の位相と呼ぶ。これがある一定値 a を保持したまま(等位相)、時間発展して いく様子は、等位相面(波面)が平面からなる波が波面に垂直方向に伝搬する様子を表す 波面 (等位相面) z x3 x2 x1 k y k: 波数ベクトル(波の進行方向を向いている) x

平面電磁波 今、自由空間を伝搬する電磁波(進行波)の中で、特別な場合として正弦波で表される電磁波を取り上げる。 角周波数 w で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波 kは波数で、 x y z E Ex0 Ey0 Ez0

平面電磁波 x, y 方向には一様 + z方向に伝搬する電磁波 電場の波と磁場の波の間には位相差φがあると仮定している に代入、 φはゼロでなければならない

平面電磁波 同様に、 に代入、 φ = 0 以上の関係より、 ここで、 の関係を用いた となる

平面電磁波 x y z Ex Hy Ey E E と H (ベクトル)は、波の進行方向に垂直な平面内に存在し、互いに直交する。また、 E と H の大きさの比は一定 媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質のインピーダンスという H 真空中のインピーダンス Z0は、

平面電磁波 インピーダンス Z の媒質中を伝搬する電磁波に関して、E と H との間には以下の関係が成り立つ x k E z H y 電場の波と磁場の波は同相(同じ時刻に共に節や腹となる)

電磁気学Ⅱ Electromagnetics Ⅱ 6/16講義分 波動方程式から導かれる電磁波の性質 山田 博仁

自由空間でのMaxwell方程式 自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷および伝導電流がゼロ) 等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中 真空中 ε, μ は、異方性媒質ならテンソル　　　　　　　　　　　,　　　　　　　　　　　　になる 非線形媒質なら電場や磁場の強さの関数( ε(E), μ(H) )になる (非線形光学で扱う) 分散性媒質なら電磁波の周波数の関数( ε(ω), μ(ω) )になる 等方性かつ線形かつ非分散性の媒質中として上の方程式を解くと、以下の波動方程式 が得られる

波動方程式とその解 波動方程式 ここで、 と置くと、 ダランベルシアン v は電磁波が物質中を伝わる速度 真空中の場合に v は通常 c で表記され、 (真空中の光速度) 波動方程式の解は、 で与えられる。 + k 方向に進む波 - k 方向に進む波 X1, X2は任意のベクトル関数 kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル w は波の角周波数

平面電磁波 電場が e(1) 方向に偏り(直線偏波)、正弦関数的に振動する平面電磁波を考える 波動方程式 に上式を代入すると、 上式が、任意の場所 x、任意の時刻 t で成立するためには、 つまり、 角周波数 w を、正の値と定義すると、 これを分散 (dispersion) 関係という。 f は周波数(振動数) と置けば、 T は周期

平面電磁波 電場が e(1) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波 を、 電場に関するガウスの法則 に代入する 上式が常に成り立つためには、 でなければならない 即ち、電場の偏りの方向 e(1) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する つまり、電場の波は横波である k e(1)

平面電磁波 磁場に対しても e(2) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波 を考え、 磁場に関するガウスの法則 に代入する 上式が常に成り立つためには、 でなければならない 即ち、磁場の偏りの方向 e(2) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する つまり、磁場の波も横波である k e(2) 従って、 電磁波は横波　!!

平面電磁波の性質 媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の電磁インピーダンスという 真空中では、 インピーダンス Z の媒質中を伝搬する平面電磁波に関して、E と H との間には以下の関係が成り立つ つまり、電場および磁場の偏りの方向(偏波方向)は、波の進行方向に対して垂直。(電場および磁場ベクトル E, B は、波の進行方向に対して垂直面内に存在する。) また、電場および磁場の偏波方向( E, B の向き)は互いに直交する。 x y z k E H

電磁波のエネルギー 媒質中の電磁場のエネルギー密度 u は、 で与えられるが、 電磁波の電場と磁場の大きさの間には の関係がある 従って、 電磁波の電場と磁場の大きさの間には　　　　　　　　　　の関係がある 従って、 つまり、電場のエネルギーと磁場のエネルギーは等しい 従って、電磁波のエネルギー密度は、 で表せる。 また、E = v B, Z = μv (Z0 = μ0c ) の関係も成り立つことが分かる 電場も磁場も正弦波関数的に振動している場合、 u は時間的にも空間的にも変動するが、1周期 (T=2p/w)について平均すれば、 平面電磁波の場合、E と H は電磁波の進行方向 k に垂直な平面内にあるので、 Poyntingベクトル S は、 と表せる。従って、

ベクトル解析の復習 重要なベクトル恒等式 ラプラシアン ダランベルシアン ガウスの定理 ストークスの定理 dS F V S n dS F S dr C n