A Note on Asymmetric Power Index for Voting Games 東京大学 松井知己 東京大学 上原良賢

Symmetric Index（対称投票力指数） Shapley-Shubik (1953,1954) Banzhaf (1965) Power Indices 目的：新しい非対称投票力指数の提案 Symmetric Index（対称投票力指数） Shapley-Shubik (1953,1954) Banzhaf (1965) Deegan-Packel (1978) 投票力を議席数と割当数のみから測る. Asymmetric Index（非対称投票力指数） Shapley-Owen (1971) Frank-Shapley (1981) Rabinowitz-Macdonald (1986) Ono-Muto (1997) イデオロギー空間の存在を仮定． 各政党は､イデオロギー空間内に配置. （位置の近い2政党は､投票行動が似る.） 議案は位置or方向ベクトルとして発生.

投票行動表 参議院での投票行動（1989-1992） Y Y Y N Y Y ： 85 Y N N N N N ： 18 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 議席： 109 74 21 14 10 12 . Y Y Y N Y Y ： 85 Y N N N N N ： 18 Y N N N Y N ： 9 Y N Y N Y Y ： 6 N Y Y Y Y Y ： 6 Y N Y N Y N ： 5 Y N Y Y Y Y ： 3 Y Y Y N Y N ： 1 全員一致という議案は取り除いてある.

各政党を点(n次元ベクトル）として配置する. 投票行動の近い政党は近い位置にある. イデオロギー空間 イデオロギー空間： n次元ユークリッド空間. 各政党を点(n次元ベクトル）として配置する. 方法は後に述べる. 投票行動の近い政党は近い位置にある. 議案ベクトル(Rabinowitz-Macdonald)： 議案は1つの方向として与えられる. O A党 D党 B党 C党 議案 j に賛成 議案 j に反対

議案ベクトルに沿った順に提携が形成される. {C}, {C,B}, {C,B,D},{C,B,D,A} 敗北→ 敗北→ 勝利 → 勝利 ピヴォット 議案ベクトルに沿った順に提携が形成される. {C}, {C,B}, {C,B,D},{C,B,D,A} 敗北→ 敗北→ 勝利 → 勝利 D:ピヴォット ピヴォット：敗北から勝利に変化させた政党 O A党 D党 B党 C党 議案 j に賛成 議案 j に反対

(Rabinowitz-Macdonald) （1）投票行動表を用いて 政党をイデオロギー空間中に配置する (2) 議案ベクトルを 非対称投票力指数の計算 非対称投票力指数の計算法 (Rabinowitz-Macdonald) （1）投票行動表を用いて 政党をイデオロギー空間中に配置する (2) 議案ベクトルを 適当な方法で確率的に発生させる (3) 政党i の指数＝政党i がピヴォットとなる確率 を計算する

Rabinowitz-Macdonald：因子分析を用いる Ono-Muto ：数量化III類を用いる 政党の配置と議案ベクトルの発生 (1) 投票行動表を用いて 政党をイデオロギー空間中に配置する Rabinowitz-Macdonald：因子分析を用いる Ono-Muto ：数量化III類を用いる (2) 議案ベクトル（または点）の発生 Shapley：各方向が等確率で発生する Rabinowitz-Macdonald：投票行動表の議案もイデオロギー空間中に方向として配置, 過去の議案の非負結合ベクトルを等確率で発生 Ono-Muto：投票行動表の議案もイデオロギー空間中に点として配置, 過去の議案数に比例して発生

(1) 既往の方法：投票行動表から各政党のイデオロギー空間での配置を構築 研究の動機 既往の方法： 投票行動表 → イデオロギー空間 →指数 本発表の方法： 投票行動表 → → → 指数 (1) 既往の方法：投票行動表から各政党のイデオロギー空間での配置を構築 (2) A党とB党が同じ投票行動を示す議案が多い→A,B党は似たイデオロギーを持つ→指数 (3) 各議案の発生比率→各提携の発生確率 →(非対称)投票力指数

Y Y Y N Y Y ： 85 (勝利) Y N N N N N ： 18 (敗北) 新しい指数(1) 投票行動表 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 議席： 109 74 21 14 10 12 . Y Y Y N Y Y ： 85 (勝利) Y N N N N N ： 18 (敗北) Y N ・ ・ ・ ・ ・ ・ Y N ： 9 (敗北) ・ ・ ・ ・ ・ ・ 重み付き多数決ゲームを生成 （121=割当数） [ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] [ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ]

Shapley-Shubik 指数を計算 （総議案数=133） (.75 .083 .083 0 0 .083)×(85/133） 新しい指数(2) 重み付き多数決ゲームを生成 政党： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 ： 議案数 議席： 109 74 21 14 10 12 . [ 121; 109, 74, 21, 0, 10, 12 ] 85 [ 121; 0, 74, 21, 14, 10, 12 ] 18 [ 121; 0, 74, ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0, 12 ] 9 ・ ・ ・ ・ ・ ・ Shapley-Shubik 指数を計算 （総議案数=133） (.75 .083 .083 0 0 .083)×(85/133） (0 .025 .25 .25 0 .25 )×(18/133） (0 .025 ・ ・ ・ ・ ・ ・ 0 .25 )×( 9/133) ＋ ・ ・ ・ ・ ・ ・ . (.550 .117 .145 .064 0 .125)

他の指数との比較 指数 ： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 109 74 21 14 10 12 . S-S ：.564 .117 .117 .067 .067 .067 Bz ：.844 .156 .156 .094 .094 .094 D-P ：.333 .117 .117 .144 .144 .144 S-O1： .5 .5 S-O2：.155 .032 .211 .144 .458 . O-M1: .932 .068 O-M2: .632 .292 .068 O-M3: .639 .135 .180 .045 O-M4: .707 .007 .105 .135 .045 O-M5: .511 .166 .202 .049 .072 . M-U : .550 .117 .145 .064 .125

他の指数を特殊ケースとして含む Shapley-Shubik 指数 投票行動表 政党： A B C D E F ：議案数 他の指数との関係 他の指数を特殊ケースとして含む Shapley-Shubik 指数 投票行動表 政党： A B C D E F ：議案数 議案： Y Y Y Y Y Y ： 1 Deegan-Packel 指数 政党 ： A B C D E F ：議案数 議案1： Y Y N Y Y Y ： 1 議案2： Y Y Y N Y Y ： 1 全ての 議案3： Y Y Y Y N N ： 1 極小勝利提携 ･ ･ ･ ･ ･ ･

公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理系(0) 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE) =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) 公理4 指数の総和=1 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)

G=[q；w1, w2,..., wn]： wi ：i の票数, q ：割当数 プロフィール p :各勝利提携の発生確率 公理系(1) データ： G=[q；w1, w2,..., wn]： wi ：i の票数, q ：割当数 v : 特性関数 プロフィール p :各勝利提携の発生確率 (発生確率の総和は1） 指数： (η(G,p)1, η(G,p)2,...,η(G,p)n) 公理1 [∀F， v(F) = v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 公理3 ・ ・ ・ ・

単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理系(2) 単純プロフィール pE :勝利提携Eの発生確率=1 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE) =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) 公理4 指数の総和=1 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ･ ･ ･ ･

公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理系(3) 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE) =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) 公理4 指数の総和=1 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE) v’：G [E ]の特性関数, v’（F)=1 ⇔ v(F∩E)=1

定理：提案した指数は, 公理1～6で特徴付けられる. 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理系(4) 公理1 [∀F， v(F)=v(F+i)] → η(G,p)i = 0 公理2 [i,j ∈E, [∀F， v(F+i ｰ j)=v(Fｰ i+j)]] → η(G,pE)i = η(G,pE) j 公理3 ∀ E, η(G1, pE)+η(G2, pE) =η(G1 ∧G2, pE)+η(G1 ∨ G2, pE) 公理4 指数の総和=1 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G1, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE) 定理：提案した指数は, 公理1～6で特徴付けられる.

S-S指数, D-P指数 を特殊ケースとして含む 参議院のデータを用いた他の指数との比較 O-M指数と近い数値が得られた まとめ 新たな指数の提案 イデオロギー空間の導入が不要 S-S指数, D-P指数 を特殊ケースとして含む 参議院のデータを用いた他の指数との比較 O-M指数と近い数値が得られた （議案ベクトルの発生が偏っている場合に有効） 指数を特徴付ける公理系の証明 S-S指数の公理系 +（公理5）プロフィｰルに関する線形性 +（公理6）単純プロフィールを持つ際の仮定 公理5 (0≦∀λ≦1), η(G, λp+(1‐λ)p’) =λη(G, p)+ (1‐λ) η(G, p’) 公理6 ∀ E, η(G, pE) =η(G [E ], pE)

おわり

他の指数との比較 指数 ： 自民 社会 公明 共産 民社 連合 109 74 21 14 10 12 . S-S ：.564 .117 .117 .067 .067 .067 Bz ：.844 .156 .156 .094 .094 .094 D-P ：.333 .117 .117 .144 .144 .144 S-O1： .5 .5 S-O2：.155 .032 .211 .144 .458 . O-M1: .932 .068 O-M2: .632 .292 .068 O-M3: .639 .135 .180 .045 O-M4: .707 .007 .105 .135 .045 O-M5: .511 .166 .202 .049 .072 . M-U : .550 .117 .145 .064 .125