東北大学 大学院情報科学研究科 応用情報科学専攻 田中 和之(Kazuyuki Tanaka) 物理フラクチュオマティクス論 Physical Fluctuomatics 第12回 量子力学からみた確率的情報処理 12th Quantum-mechanical extensions of probabilistic information processing 東北大学 大学院情報科学研究科 応用情報科学専攻 田中 和之(Kazuyuki Tanaka) kazu@smapip.is.tohoku.ac.jp http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

量子ホップフィールドモデル (H. Nishimori) 量子アニーリング (H. Nishimori) 多体系の量子統計力学を用いた情報処理 量子ホップフィールドモデル (H. Nishimori) 量子アニーリング (H. Nishimori) ゲージ理論による量子誤り訂正符号 (H. Nishimori) 量子確率場による大規模情報処理への展開 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

My works of Information Processing by using in Quantum Statistical Mechanics 画像処理に対する量子平均場アニーリング K. Tanaka and T. Horiguchi: Quantum Statistical-Mechanical Iterative Method in Image Restoration, IEICE Transactions (A), J80-A (1997). 画像処理における量子ライン場の導入 K. Tanaka: Image Restorations by using Compound Gauss-Markov Random Field Model with Quantized Line Fields, IEICE Transactions (D-II), J84-D-II (2001). July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

確率伝搬法の深化と展開 確率伝搬法の情報幾何的解釈 確率伝搬法と平均場理論の類似性の指摘 Y. Kabashima and D. Saad, Belief propagation vs. TAP for decoding corrupted messages, Europhys. Lett. 44 (1998). M. Opper and D. Saad (eds), Advanced Mean Field Methods ---Theory and　Practice (MIT Press, 2001). クラスター変分法による一般化された確率伝搬法への拡張 J. S. Yedidia, W. T. Freeman and Y. Weiss: Constructing free-energy approximations and generalized belief propagation algorithms, IEEE Transactions on Information Theory, 51 (2005). 確率伝搬法の情報幾何的解釈 S. Ikeda, T. Tanaka and S. Amari: Stochastic reasoning, free energy, and information geometry, Neural Computation, 16 (2004). July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

確率推論: 2N 重の多重和の計算 量子確率場: 2N 行 2N 列の行列の対角化 確率推論と量子確率推論 一部の特殊な場合を除いて厳密な数値対角化は一般には困難 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

確率分布と確率伝搬法 確率伝搬法の数理的基盤 量子系では同じ取り扱いは難しい!! 行列 A, B に対して は一般には成り立たない July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

1次元鎖または木構造のグラフ上の量子系の難しさ 量子系に対する確率伝搬法の定式化 本講演の主題 1次元鎖または木構造のグラフ上の量子系の難しさ 量子系に対する確率伝搬法の定式化 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

1 1 1ノードの量子状態 古典状態として可能なのは2つの状態のみ 2次元空間の2つの位置ベクトル July, 2009 1 2次元空間の2つの位置ベクトル July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

1 1 1ノードの量子状態 量子状態は 古典状態は 2次元空間 2次元空間 の任意の点 の2点 量子状態は2つの古典状態の重合せにより 表されるすべての可能な状態を想定 1 1 ＃係数は複素数でもかまわない July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

1ノードの量子状態 直交性 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

1ノードの量子状態とパウリ演算子 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

1ノードの量子状態とパウリ演算子 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

1ノードの量子状態とパウリ演算子 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

2ノードの量子状態 量子状態は4次元空間の任意の点 ＃ 一般に N ノードの量子状態は 2N 次元空間の任意の点 古典状態を考えた場合は4次元空間の4点 量子状態は4次元空間の任意の点 ＃ 一般に N ノードの量子状態は 2N 次元空間の任意の点 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

2ノードの量子状態の遷移行列 同じ状態の積をとると対応する対角成分の1つが1になる 異なる状態の積をとると対応する非対角成分の1つが1になる July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

遷移行列と密度行列 ハミルトニアン 密度行列 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

密度行列と確率分布 確率分布 P(a1,a2) H が対角行列であり，対角成分が確率分布により与えられる場合，量子確率モデルは確率分布と簡単に関係づけられる． July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

密度行列の計算 ハミルトニアンを対角化することで初めて統計量の計算が始まる． July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

確率分布と密度行列 確率分布の最大値を与える状態 古典的 な状態 古典的な 密度行列の最大固有値 状態の に対応する固有ベクトル 重合せ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

周辺確率と縮約密度行列 周辺確率 i 番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和 縮約密度行列 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

縮約密度行列 (Reduced Density Matrix) ノード1の状態を固定したもとでの部分対角和 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

縮約密度行列 (Reduced Density Matrix) ノード2の状態を固定したもとでの部分対角和 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

2 ノードの量子 Heisenberg モデル July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

2ノードの量子 Heisenberg モデル July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

2ノードの量子 Heisenberg モデルの固有状態 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

2ノードの量子 Heisenberg モデルの密度行列の計算 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

2 ノードの Ising モデルの例に対する密度行列の解釈 密度行列の対角成分 がIsingモデルの 各状態の確率分布 に対応する． July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

2 ノードの横磁場 Ising モデル (Transverse Ising Model)に対する 密度行列の解釈 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

3ノードの場合の密度行列 23x23 Matrix July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

3ノードの場合の密度行列 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

3ノードの場合の密度行列 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

確率分布と確率伝搬法 そこで同じ操作が量子系でも可能か? July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

量子系の難しさ 指数関数の加法定理が成り立たない July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Σ Suzuki-Trotter公式 n: Trotter 数 3xn の梯子格子上のグラフィカルモデルの確率伝搬法 密度行列 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Suzuki-Trotter公式 n: Trotter 数 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Suzuki-Trotter公式 n: Trotter 数 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Σ Suzuki-Trotter公式 確率分布 n: Trotter 数 密度行列 ST 公式 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Σ Suzuki-Trotter公式 3ノードからなる1次元鎖グラフ上の量子系 3xn の梯子格子上のグラフィカルモデルの確率伝搬法から統計量の厳密な数値を求めることができる． 確率分布 Σ ST 公式 密度行列 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

クラスター変分法（Cluster Variation Method） 古典系のクラスター変分法 　　R. Kikuchi: A theory of cooperative phenomena, Phys. Rev., 81 (1951). T. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena and its generalization I, J. Phys. Soc. Jpn, 12 (1957). 量子系のクラスター変分法 T. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena and its generalization II, Quantum Statistics, J. Phys. Soc. Jpn, 12 (1957). T. Morita: An Approximation Scheme of the Cluster Variation Method for Quantum Lattice Gases, Progress of Theoretical Physics, 92 (1994). July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

ギブス分布と 自由エネルギー最小原理 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

密度行列と縮約密度行列 i はノード 縮約密度行列 (Reduced Density Matrix) Reducibility ij は i と j を結ぶリンク B は与えられたグラフ すべてのリンクの集合 縮約密度行列 (Reduced Density Matrix) Reducibility Condition Normalization Condition July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

クラスター変分法における近似自由エネルギー Consistency Conditions July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

近似自由エネルギーの変分 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

近似縮約密度行列と有効場 k から i への有効場 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

量子系における確率伝搬法の有効場伝搬規則 有効場伝搬方程式 j i Output July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

確率推論と従来の確率伝搬法 閉路を持たないグラフ上の確率モデルに対して厳密な結果を与える． 閉路を持つグラフ上の確率モデルでは近似アルゴリズムとなる． July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

閉路を持つグラフ上の 確率モデルの結合確率 無向グラフ 有向 グラフ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

確率推論の密度行列 無向グラフ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列 無向グラフ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列 無向グラフ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列 無向グラフ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

確率推論の密度行列 への拡張の一例 July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列の数値実験 Exact 無向グラフ Quantum CVM July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

線形応答理論 （人為的に小さなゆらぎを与えてその応答を見ることで詳細を知ることができる．） July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

閉路を持つグラフ上の 量子系の密度行列の数値実験 Exact 無向グラフ Quantum CVM July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

Contents はじめに 量子系の概説 Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化 確率推論への量子統計力学的アプローチ まとめ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）

まとめ 従来型のＣＶＭによる量子系の取扱い 確率推論のグラフィカルモデルにおける量子確率伝搬法としてのアルゴリズム 今後の課題 量子確率推定への情報統計力学的アプローチ July, 2009 物理フラクチュオマティクス論（東北大）