原子核物理学 第７講 殻模型
積波動関数による近似 多体問題（ A 核子系） 次のように一粒子波動関数の積の和で近似する 最も単純な積波動関数は Slater 行列式 反対称化されている， 展開すると A! 項になる
殻模型計算の手法（１） ２重閉殻の芯（core） 陽子も中性子も閉殻をなす芯を仮定する 例：16O, 40Ca 芯の中の核子数 Ac 例： 16O の場合 Ac = 16 模型空間 芯の上の有限な数の１粒子状態を選び， Av = A – Ac 個の核子を入れる 例： 16O の芯の上の d5/2, s1/2, d3/2 18O のを計算する場合には， 上の３つの１粒子軌道に ２つの中性子を入れる
殻模型計算の手法（２） １粒子ポテンシャル（１粒子エネルギー） Hamiltonian 芯の中の核子との相互作用を１粒子ポテンシャルとする
殻模型計算の手法（３） 有効相互作用 原子核内で核子のあいだにはたらく相互作用は， 自由空間における相互作用とは異なる ⇒ 有効相互作用 原子核内で核子のあいだにはたらく相互作用は， 自由空間における相互作用とは異なる ⇒ 有効相互作用 現象論的（phenomenological）相互作用 簡単な形のポテンシャルを仮定する（例：Gauss 型，Yukawa 型） 行列要素をパラメータとして，多体系のエネルギーを再現するように最小２乗法で決める 例： USD 相互作用，Cohen-Kurath 相互作用 現実的（realistic）相互作用 有効相互作用理論に基づいて，自由空間での２核子散乱を再現するポテンシャルから計算する G行列の方法 UMOA
殻模型計算の手法（４） 基底関数 最も簡単な基底関数は Slater 行列式 j j - 結合１粒子状態を用いる 具体的な例： 18O １粒子状態 ２粒子状態 しかし，Hamiltonian は M = m + m’ を変えない（保存する） あ
M = 0 の場合
殻模型計算の手法（５） 固有値方程式 固有状態を基底関数で展開（ n は基底状態の数） 基底関数の直交性を用いて
固有値方程式を解いて（行列を対角化して）， エネルギー固有値と 波動関数（基底関数による展開の展開係数）を求める 右は 18O の例 USD相互作用を用いた計算： 14 ×14 の行列を対角化 エネルギー固有値を実験値と比較 固有状態では J は良い量子数 の状態が得られる
J-scheme Slater 行列式の線型結合で， 角運動量を良い量子数としてもつ基底状態がつくれる このような基底関数に対して， Hamiltonian 行列は block diagonal になる ⇒ 小さな行列の対角化 さらに，アイソスピンを良い量子数と してもつ基底関数を用いることも可能 あ 対称性の利用 あ
Lanczos 法 大次元行列を対角化する便利な方法 ある手順に従って基底関数の線型結合を順次つくる これらの基底関数に対して Hamiltonian 行列は三重対角になる 絶対値が最大の固有状態から順次収束する 数少ない基底関数で固有状態をよく表す
Davidson 法 エネルギーが最も小さい（絶対値は最大）固有状態とその近くの数個の固有状態だけを求めたい場合に，Lanczos 法より 更に効率の良い対角化法
大次元殻模型の困難 １粒子状態の数，核子の数が増えると，殻模型計算の基底関数の数が飛躍的に増大する 下の例は次の殻模型計算における最大次元数 sd-殻核〔8 < Z,N < 20 (sd)n 配位〕， pf-殻核〔20 < Z,N < 40 (pf)n 配位〕
殻模型による回転バンドの再現 48Cr の基底状態回転バンド 40Ca を芯とした (pf)8 配位計算 左図はエネルギースペクトル 右図は慣性モーメントの変化による Back-bending 現象 １粒子軌道として f7/2 に加えて p3/2 を取り入れているのが本質的
Self-consistent な方法 殻模型計算では，多くの場合，２体相互作用の行列要素が与えられ，１粒子波動関数の動径部分の形を仮定しない（あるいは調和振動子波動関数） ⇒ １粒子波動関数と２体相互作用の self-consistency がない Self-consistent な殻模型計算はない !! Hartree-Fock 計算は self-consistent な計算方法であるが，多体系のは導関数を１つの Slater 行列式で近似する（下の図は 40Ca と 48Ca）
Gauss 基底 11Li の中性子密度分布（Gauss 基底） １粒子波動関数の動径部分を，たとえば，Hartree-Fock 計算で求めるとき，基底となる関数系で展開し，展開係数を代数的に求めることができる 関数系として，調和振動子基底，Gauss 基底が用いられる 数値的な安定性では，Gauss 基底が良い 11Li の中性子密度分布（Gauss 基底）