電気回路学Ⅱ 通信工学コース 5セメ 山田 博仁

ラプラス変換による過渡現象の解析 1. RC直列回路の過渡現象 C R E(s) i(t) e(t) I(s) q(0) 図に示す回路における閉路方程式は、 電流 i(t) の積分を、 ただし、 と置く。 両辺をラプラス変換すると、 ただし、I(s) および E(s) は、i(t) および e(t) のラプラス変換である。 q(0) は、t = – ∞ から t = 0 の直前までの間にキャパシタ C に流入した電流を積分したもの、即ち C に蓄えられた電荷である。

ラプラス変換による過渡現象の解析 I(s) について書き直すと、 第1項は励振 E(s) に関する項 第2項は初期条件 q(0) に関する項 となり、s を jω で置き換えれば、 は回路のインピーダンスであるから、インピーダンス関数と呼ばれる。 当然その逆数はアドミタンス関数と呼ばれ、 I(s) をラプラス逆変換すれば、電流の瞬時値 i(t) が求まる。

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) 例 6.1.1 時刻 t = 0 でスイッチを閉じる場合、電源電圧の 過渡関数 e(t) は、単位ステップ関数 u-1(t) を用いて、 C R E0 S i(t) t = 0 q(0) + と同じ意味 で与えられる。 時刻 t = 0 で電圧 E0 を印加する過渡関数波 従って、 これをラプラス変換すると、 となり、I(s) は、 となる。 これをラプラス逆変換すると、 となり、微分方程式の直接解法による解と一致する。 (t > 0)

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) 例 6.1.2 時刻 t = 0 で2つのスイッチを同時に閉じる場合、抵抗 R を流れる電流を求める。ただし、C1, C2 には当初、各々電荷 q1, q2 が蓄えられていたとする。 C1 R S1 q1 C2 q2 S2 i1 i2 C1-S1-R の閉路に対して、以下の閉路方程式が成り立つ。 C2-S2-R の閉路に対して、以下の閉路方程式が成り立つ。 これらの式をラプラス変換すると、 ただし、I1 = L i1、 I2 = L i2 とした。 両式より、I1, I2 を求めると、

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) 従って、抵抗 R を流れる電流 I は、 となる。 これをラプラス逆変換すると、 (t > 0) となる。 スイッチを閉じた直後( t = +0 )での電荷の総量は、スイッチを閉じる直前( t = −0 )において、各キャパシタが蓄えていた電荷の合計(q1 + q2)に等しいことが分かる。(電荷量不変の理)

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) 例 6.1.3 t = 0 の時刻に、e(t)=Emsinωt なる正弦波を印加する時、回路を流れる電流 i(t) を求める。ただし、C には当初、電荷 q(0) が蓄えられていたとする。 C R e(t)=Emsinωt S i(t) t = 0 q(0) (t > 0) (表5.2(11)参照)であるから、 従って、 このラプラス逆変換を求めるにあたり、ラプラス変換表(教科書の表5.2)を用いる。

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) 表5.2(27)にある表関数 f(t) を b →1/τ, τ → RC , a → ω と置き換えて、t について微分 (27) つまり、 従って、 をラプラス逆変換すると、

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) と求まる。 t → ∞ で 0 に収束する過渡項 持続する正弦波振動を表わす定常項

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) これを図に示すと、

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) キャパシタ C の電荷 q(t) は t > 0 に対して、 となる。

ラプラス変換による過渡現象の解析 1. RL直列回路の過渡現象 R E(s) i(t) e(t) I(s) L i(0) を解いて求められる。 両辺をラプラス変換すると、 ただし、I(s) および E(s) は、i(t) および e(t) のラプラス変換であり、 i(0) は初期電流である。 i(0) は、厳密には時刻 t = +0 での電流であるので i(+0) とすべきであるが、コイルに流れる電流は瞬時には変化できないので、時刻 t = −0 での電流 i( −0) とは等しい。 上式より、 I(s) をラプラス逆変換すれば、電流の瞬時値 i(t) が求まる。

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) 例 6.2.1 時刻 t = 0 でスイッチを閉じる場合、電源電圧の 過渡関数 e(t) は、単位ステップ関数 u-1(t) を用いて、 L R E S i(t) t = 0 i(0) で与えられる。 スイッチを入れた瞬間(t = 0)の電流はゼロであるから、 従って、 表5.2の(15)を参考にしてこれをラプラス逆変換すると、 より、 となる。

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) 例 6.2.2 t = 0 の時刻に、e(t)=Emsinωt なる正弦波を印加する時、回路を流れる電流 i(t) を求める。 R e(t)=Emsinωt S i(t) t = 0 L (t > 0) (表5.2(11)参照)であるから、 と置いた。 従って、 このラプラス逆変換を求めるにあたり、ラプラス変換表(教科書表5.2)の(27)を用いると、 と求まる。

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) 例 6.2.3 R2 E0 S i1 t = 0 R1 L1 L2 i2 R2 i R1 L1 L2 左図の回路において、スイッチ S が閉じた状態で、R1 および R2 に定常電流 i1, i2 が流れている。t = 0 でスイッチを開くと、右図のような回路となり、電流 i が流れるとする。 t > 0 に対して閉路方程式は、 となる。この式をラプラス変換すると、 となり、ラプラス逆変換すると、 と電流が得られる。

ラプラス変換による過渡現象の解析(具体例) コイルに流れる電流は急変することはないので、 従って、これを代入すると、 となる。 ところで、前のスライドで求めた i(t) において、t → +0 を考えると、 となる。左辺は S を開いた直後における全コイルの鎖交磁束であり、右辺は S を開く直前における各コイルの鎖交磁束の和である。即ちスイッチを開閉する直前直後においては、全てのコイルについての鎖交磁束の総和は変化しない(鎖交磁束不変の理) また、 であり、単純に とはならないので注意が必要。

補足)ラプラス変換における初期条件の扱い 1. キャパシタの初期電荷 初期電荷 q(0)により発生する電圧が v(t)と同一方向なら +、逆なら ‒ + の意味 流れる電流と両端の電圧との関係は、 q(0) i(t) C v(t) これをラプラス変換すると、 2. コイルの初期電流 流れる電流と両端の電圧との関係は、 i(0) 初期電流 i(0)が i(t)と同一方向なら ‒、逆なら + i(t) L v(t) これをラプラス変換すると、