第7章 スカラー場と勾配 gradient (grad) ベクトル場の発散 divergence (div) ベクトル場の回転　rotation (rot)

(𝑃169) 【解】

例題1 ベクトル場𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦𝒊−2𝑥𝑧𝒋+2𝑦𝑧𝒌 について、 例題1　ベクトル場𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦𝒊−2𝑥𝑧𝒋+2𝑦𝑧𝒌 について、 ① div 𝑭, 　② rot 𝑭, 　③ rot rot 𝑭 　を求めよ。 div𝑨=𝛻・𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 【解】 ① div 𝑭= 𝜕 𝑥 2 𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕 −2𝑥𝑧 𝜕𝑦 + 𝜕 2𝑦𝑧 𝜕𝑧 =2𝑥𝑦+0+2𝑦=2𝑦(𝑥+1) rot𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 【解】 ② rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 2𝑧+2𝑥 𝒊− 0−0 𝒋+ −2𝑧− 𝑥 2 𝒌 =2 𝑥+𝑧 𝒊− 𝑥 2 +2𝑧 𝒌

例題1 ベクトル場𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦𝒊−2𝑥𝑧𝒋+2𝑦𝑧𝒌 について、 例題1　ベクトル場𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦𝒊−2𝑥𝑧𝒋+2𝑦𝑧𝒌 について、 　③ rot rot 𝑭 　 rot𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 【解】 rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 2𝑧+2𝑥 𝒊− 0−0 𝒋+ −2𝑧− 𝑥 2 𝒌 =2 𝑥+𝑧 𝒊− 𝑥 2 +2𝑧 𝒌 　rot rot 𝑭 = 0−0 𝒊− −2𝑥−2 𝒋+ 0−0 𝒌= 2𝑥+2 𝒋　

𝝎= 𝜔 𝑧 𝒌、 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 とすると、 【例題】　　（剛体の回転運動） 一定の角速度 𝝎で 𝑧 軸のまわりを反時計向きに回転する【剛体の運動を考える　（　rot 𝒗 を求めよ）． 【解】 右ネジが「進む向きを𝝎の 向きとする。 剛体の回転の速度ベクトル場 𝒗 は， 剛体内の点の位置ベクトル　𝒓 を用いて 𝒗=𝝎×𝒓　で与えられる。 𝝎= 𝜔 𝑧 𝒌、　　𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌　とすると、 𝒗=𝝎×𝒓= 𝜔 𝑦 𝜔 𝑧 𝑟 𝑦 𝑟 𝑧 𝒊− 𝜔 𝑥 𝜔 𝑧 𝑟 𝑥 𝑟 𝑧 𝒋+ 𝜔 𝑥 𝜔 𝑦 𝑟 𝑥 𝑟 𝑦 𝒌= 0 𝜔 𝑧 𝑦 𝑧 𝒊− 0 𝜔 𝑧 𝑥 𝑧 𝒋+ 0 0 𝑥 𝑦 𝒌 =−𝑦 𝜔 𝑧 𝒊+𝑥 𝜔 𝑧 𝒋 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 rot 𝒗=𝛻×𝒗= 𝜕 𝑣 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝑣 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝑣 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝑣 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 = 0−0 𝒊− 0−0 𝒋+ 𝜔 𝑧 + 𝜔 𝑧 𝒌=2 𝜔 𝑧 𝒌=2𝝎

演習問題 1. 𝑭=𝑥 𝑧 3 𝒊−2 𝑥 2 𝑦𝑧𝒋+2𝑦 𝑧 4 𝒌 について， 点 1, −1, 1 における　rot 𝑭 を求めよ． 2. 𝑭= 𝑎𝑥𝑦− 𝑧 3 𝒊+ 𝑎−2 𝑥 2 𝒋+ 1−𝑎 𝑥 𝑧 2 𝒌 が至るところで rot 𝑭=0 となるように定数　𝑎 を定めよ．

rot 𝑭 𝑃 = 2+2(−1) 𝒊− 0−3 𝒋+ −4 −1 −0 𝒌=3𝒋+4𝒌 1. 𝑭=𝑥 𝑧 3 𝒊−2 𝑥 2 𝑦𝑧𝒋+2𝑦 𝑧 4 𝒌 について， 点 1, −1, 1 における　rot 𝑭 を求めよ． 【解答】 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑦 𝒌= 2 𝑧 4 +2 𝑥 2 𝑦 𝒊− 0−3𝑥 𝑧 2 𝒋+ −4𝑥𝑦𝑧−0 𝒌 rot 𝑭 𝑃 = 2+2(−1) 𝒊− 0−3 𝒋+ −4 −1 −0 𝒌=3𝒋+4𝒌

2. 𝑭= 𝑎𝑥𝑦− 𝑧 3 𝒊+ 𝑎−2 𝑥 2 𝒋+ 1−𝑎 𝑥 𝑧 2 𝒌 【解答】 が至るところで 2. 𝑭= 𝑎𝑥𝑦− 𝑧 3 𝒊+ 𝑎−2 𝑥 2 𝒋+ 1−𝑎 𝑥 𝑧 2 𝒌 が至るところで rot 𝑭=0 となるように定数　𝑎 を定めよ． 【解答】 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑦 𝒌= 0−0 𝒊− 1−𝑎 𝑧 2 − 0−3 𝑧 2 𝒋+ 2 𝑎−2 𝑥−𝑎𝑥 𝒌= 𝑎−4 𝑧 2 𝒋+ 𝑎−4 𝑥𝒌=0 𝑎=4

(𝑝147) スカラー→　ベクトル (𝑝160) ベクトル→　スカラー (𝑝169) ベクトル→　ベクトル 𝑟𝑜𝑡𝑨 を 𝑐𝑢𝑟𝑙𝑨 と 表すこともある

第7章 「スカラー場とベクトル場の微分」関連課題 第7章　「スカラー場とベクトル場の微分」関連課題 𝑓 を 𝑢,𝑣,𝑤 の関数とし， 𝑢,𝑣,𝑤 を 𝑥,𝑦,𝑧 の関数とする。　 𝑓 を 𝑥,𝑦,𝑧 の関数とみたとき， 𝑓の勾配は 1. 𝛻𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑢 𝛻𝑢+ 𝜕𝑓 𝜕𝑣 𝛻𝑣+ 𝜕𝑓 𝜕𝑤 𝛻𝑤 　　　となることを示せ． 【解答】 𝛻𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑓 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑓 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝒋 + 𝜕𝑓 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑓 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑓 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝒌 = 𝜕𝑓 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝒌 + 𝜕𝑓 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝒌 + 𝜕𝑓 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝒌 = 𝜕𝑓 𝜕𝑢 𝛻𝑢+ 𝜕𝑓 𝜕𝑣 𝛻𝑣+ 𝜕𝑓 𝜕𝑤 𝛻𝑤

【解答】 2. 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 とするとき， 次の勾配を求めよ． 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 とするとき，　次の勾配を求めよ． 1 log 𝑟 , 2 𝑒 −𝑟 𝑟 , 3 𝑟 2 𝑒 −𝑟 【解答】 𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 1 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝛻 log 𝑟 = 𝜕 log 𝑟 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕 log 𝑟 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕 log 𝑟 𝜕𝑧 𝒌 = 𝜕 log 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕 log 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕 log 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝒌 = 1 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝒌 = 1 𝑟 1 2 𝑟 −1 2𝑥𝒊+2𝑦𝒋+2𝑧𝒌 = 𝒓 𝑟 2

【解答】 【2 のつづき】. 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 とするとき， 次の勾配を求めよ． 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 とするとき，　次の勾配を求めよ． 【解答】 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 2 1 𝛻 𝑒 −𝑟 𝑟 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝒊 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 1 𝑟 − 𝑒 −𝑟 − 𝑒 −𝑟 𝑟 2 1 2 𝑟 −1 2𝑥𝒊+2𝑦𝒋+2𝑧𝒌 =− 𝑒 −𝑟 𝑟 2 𝑟+1 𝑟 −1 𝒓=− 𝑒 −𝑟 𝑟 3 𝑟+1 𝒓

【解答】 【2 のつづき】. 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 とするとき， 次の勾配を求めよ． 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 とするとき，　次の勾配を求めよ． 【解答】 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 3 1 𝛻 𝑟 2 𝑒 −𝑟 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝒊 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 2𝑟 𝑒 −𝑟 + 𝑟 2 − 𝑒 −𝑟 1 2 𝑟 −1 2𝑥𝒊+2𝑦𝒋+2𝑧𝒌 = 𝑒 −𝑟 𝑟 2−𝑟 𝑟 −1 𝒓= 2−𝑟 𝑒 −𝑟 𝒓

3. 【解答】 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =4𝑥 𝑧 3 −3𝑥𝑦𝑧 の, 点P(1,2,1) における 　　　　　　　　　　　　　　　　　6𝒊−3𝒋+2𝒌 方向の方向微分係数を求めよ。 【解答】 6𝒊−3𝒋+2𝒌 方向の単位ベクトルは，　𝒂= 1 7 6𝒊−3𝒋+2𝒌 𝛻𝑓= 4 𝑧 3 −3𝑦𝑧 𝒊−3𝑥𝑧𝒋+ 12𝑥 𝑧 2 −3𝑥𝑦 𝒌 𝛻𝑓 𝑃 = 4−3×2 𝒊−3𝒋+ 12−3×2 𝒌=−𝟐𝒊−3𝒋+6𝒌 方向微分係数 𝑑𝑓 𝑑𝑎 =𝒂∙𝛻𝑓= 1 7 6𝒊−3𝒋+2𝒌 ∙ −𝟐𝒊−3𝒋+6𝒌 = 1 7 −12+9+12 = 9 7 [𝑃151− 7.4 ]

4. 【解答】 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑥 𝑧 3 − 𝑥 4 𝑦 について, 点P(1,−1,2) における勾配を求めよ。 𝛻𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝒌 𝛻𝑓= 𝑧 3 −4 𝑥 3 𝑦 𝒊− 𝑥 4 𝒋+3𝑥 𝑧 2 𝒌 𝛻𝑓 𝑃 = 2 3 −4(−1) 𝒊−𝒋+3× 2 2 𝒌=12𝒊−𝒋+12𝒌

5. 【解答】 曲線 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑥+ 𝑧 2 𝑦=3 上の点 P(0,3,1)において，次のものを求めよ。 （１）　単位法線ベクトル　𝒏 （2）　法線方向に対する　𝑔 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑥𝑦𝑧 の方向微分係数 【解答】 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑥+ 𝑧 2 𝑦 とおく． 1 𝑓 の等位面 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =3 における単位法線ベクトルを求めればよい。 𝛻𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝒌= 2𝑥𝑦+ 𝑦 2 𝒊+ 𝑥 2 +2𝑥𝑦+ 𝑧 2 𝒋+2𝑦𝑧𝒌 𝛻𝑓 𝑃 =9𝒊+𝒋+6𝒌 , 𝛻𝑓 = 9 2 +1+ 6 2 = 118 𝒏= 𝛻𝑓 𝑃 𝛻𝑓 = 9𝒊+𝒋+6𝒌 118 点 P(0,3,1)において，

【5のつづき】. 【解答】 曲線 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑥+ 𝑧 2 𝑦=3 上の点 P(0,3,1)において，次のものを求めよ。 （2）　法線方向に対する　𝑔 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑥𝑦𝑧 の方向微分係数 【解答】 方向微分係数 𝑑𝜑 𝑑𝑢 = 𝜕𝜑 𝜕𝑥 𝑢 𝑥 + 𝜕𝜑 𝜕𝑦 𝑢 𝑦 + 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝑢 𝑧 =𝒖∙𝛻𝜑 , (𝑃151 7.4 ) (𝒖 は単位ベクトル) 𝒏= 𝛻𝑓 𝑃 𝛻𝑓 = 9𝒊+𝒋+6𝒌 118 1 より 点 P(0,3,1)において，単位法線ベクトル 𝑑𝑔 𝑑𝑛 = 𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝑛 𝑥 + 𝜕𝑔 𝜕𝑦 𝑛 𝑦 + 𝜕𝑔 𝜕𝑧 𝑛 𝑧 =𝒏∙𝛻𝑔 𝛻𝑔= 𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑔 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑔 𝜕𝑧 𝒌=𝑦𝑧𝒊+𝑥𝑧𝒋+𝑥𝑦𝒌 𝑑𝑔 𝑑𝑛 =𝒏∙𝛻𝑔= 1 118 9𝑦𝑧+𝑥𝑧+6𝑥𝑦 𝑑𝑔 𝑑𝑛 𝑝 = 1 118 9×3×1+0+6×0×3 = 27 118

6. 【解答】 曲面 𝑥 2 𝑦+2𝑥𝑧=4 上の点 𝑝 2,−2,3 における単位法線ベクトルと その点における接平面を求めよ。 曲面　 𝑥 2 𝑦+2𝑥𝑧=4 上の点 𝑝 2,−2,3 における単位法線ベクトルと 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　その点における接平面を求めよ。 【解答】 𝛻𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝒌 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦+2𝑥𝑧 とおくと 𝛻𝑓= 2𝑥𝑦+2𝑧 𝒊+ 𝑥 2 𝒋+2𝑥𝒌 𝛻𝑓 𝑃 = 2×2(−2)+2×3 𝒊+ 2 2 𝒋+2×2𝒌=−2𝒊+4𝒋+4𝒌 𝛻𝑓 = −2 2 + 4 2 + 4 2 =6 𝒏= 𝛻𝑓 𝑃 𝛻𝑓 = −2𝒊+4𝒋+4𝒌 6 = −𝒊+2𝒋+2𝒌 3 点 𝑝 2,−2,3 における接平面は 𝑥−2 𝒊+ 𝑦+2 𝒋+ 𝑧−3 𝒌 𝒏 と直交するから − 1 3 𝑥−2 + 2 3 𝑦+2 + 2 3 𝑧−3 =0 𝑥−2𝑦−2𝑧=0

7. 【解答】 曲面 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑧+ 𝑧 2 𝑥=1 上の点 𝑝 −2,1,−1 において，①単位法線ベクトルと 曲面　 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑧+ 𝑧 2 𝑥=1 上の点 𝑝 −2,1,−1 において，①単位法線ベクトルと 　②　𝒂=𝒊−2𝒋+2𝒌　方向の方向微分係数を求めよ。 【解答】 𝛻𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝒌 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑧+ 𝑧 2 𝑥とおくと 𝛻𝑓= 2𝑥𝑦+ 𝑧 2 𝒊+ 𝑥 2 +2𝑦𝑧 𝒋+ 𝑦 2 +2𝑧𝑥 𝒌 𝛻𝑓 𝑃 = 2×(−2)+1 𝒊+ −2 2 +2(−1) 𝒋+ 1+2(−1)(−2) 𝒌 =−3𝒊+2𝒋+5𝒌 𝛻𝑓 = −3 2 + 2 2 + 5 2 = 38 𝒏= 𝛻𝑓 𝑃 𝛻𝑓 = −3𝒊+2𝒋+5𝒌 38 𝒃= 𝒂 𝒂 = 1 3 𝒊−2𝒋+2𝒌 𝒂=𝒊−2𝒋+2𝒌　方向の単位ベクトルは 𝒂 = 1 2 + −2 2 + 2 2 =3 (𝑃151 7.4 ) (𝒖 は単位ベクトル) 𝑑𝜑 𝑑𝑢 = 𝜕𝜑 𝜕𝑥 𝑢 𝑥 + 𝜕𝜑 𝜕𝑦 𝑢 𝑦 + 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝑢 𝑧 =𝒖∙𝛻𝜑 , 𝑑𝑓 𝑑𝑏 =𝒃∙𝛻𝑓= 1 3 𝒊−2𝒋+2𝒌 ∙ −3𝒊+2𝒋+5𝒌 =1,

8. 【解答】 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑧−𝑥𝑦𝑧 について，点 𝑝 1,2,3 における 𝑃 の位置ベクトルと 　𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦+ 𝑦 2 𝑧−𝑥𝑦𝑧 について，点 𝑝 1,2,3 における 𝑃　の位置ベクトルと 　　　　同じ方向の方向微分係数を求めよ．　 　　　　　　また， 𝑃　における方向微分係数の最大値を求めよ。 8. 𝛻𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝒌 【解答】 𝛻𝑓= 2𝑥𝑦−𝑦𝑧 𝒊+ 𝑥 2 +2𝑦𝑧−𝑥𝑧 𝒋+ 𝑦 2 −𝑥𝑦 𝒌 𝛻𝑓 𝑃 = 2×1×2−2×3 𝒊+ 1 2 +2×2×3−1×3 𝒋+ 2 2 −1×2 𝒌 =−2𝒊+10𝒋+2𝒌 𝒏= 𝛻𝑓 𝑃 𝛻𝑓 = −2𝒊+10𝒋+2𝒌 108 𝛻𝑓 = −2 2 + 10 2 + 2 2 = 108 𝑃　の位置ベクトル　 𝒊+2𝒋+3𝒌　と同じ方向の単位ベクトルは 𝒂= 1 14 𝒊+2𝒋+3𝒌 𝑑𝑓 𝑑𝑎 =𝒂∙𝛻𝑓= 1 14 𝒊+2𝒋+3𝒌 ∙ −2𝒊+10𝒋+2𝒌 = 24 14 , 𝒂 方向の方向微分係数は 方向微分係数が最大になるのは単位法線ベクトル 𝒏 の方向で 𝑑𝑓 𝑑𝑛 =𝒏∙𝛻𝑓= 1 108 −2𝒊+10𝒋+2𝒌 ∙ −2𝒊+10𝒋+2𝒌 = 108

9. 【解答】 点 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトルを 𝒓 とするとき， スカラー場 𝑓 に対して 𝑑𝑓= 𝛻𝑓 ∙𝑑𝒓= 𝑑𝒓∙𝛻 𝑓 を示せ． 点　 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトルを 𝒓 とするとき，　スカラー場 𝑓 に対して 𝑑𝑓= 𝛻𝑓 ∙𝑑𝒓= 𝑑𝒓∙𝛻 𝑓 を示せ． 【解答】 𝛻𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝒌 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 𝛻𝑓 ∙𝑑𝒓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒊+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝒋+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝒌 ∙ 𝑑𝑥𝒊+𝑑𝑦𝒋+𝑑𝑧𝒌 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑑𝑧=𝑑𝑓 𝑑𝒓∙𝛻 𝑓= 𝑑𝑥𝒊+𝑑𝑦𝒋+𝑑𝑧𝒌 ∙ 𝒊 𝜕 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕 𝜕𝑧 𝑓 = 𝑑𝑥 𝜕 𝜕𝑥 +𝑑𝑦 𝜕 𝜕𝑦 +𝑑𝑧 𝜕 𝜕𝑧 𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑑𝑧=𝑑𝑓

10. 【解答】 点 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトルを 𝒓 とし， 𝑓 を 𝑥,𝑦,𝑧, 𝑡 のスカラー関数とするとき， 点 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトルを 𝒓 とし， 𝑓 を 𝑥,𝑦,𝑧, 𝑡 のスカラー関数とするとき， 𝑑𝑓= 𝑑𝒓∙𝛻 𝑓+ 𝜕𝑓 𝜕𝑡 𝑑𝑡 となることを示せ。 【解答】 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 　とする。 𝑑𝒓= 𝜕𝒓 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝒊+ 𝜕𝒓 𝜕𝑦 𝑑𝑦𝒋+ 𝜕𝒓 𝜕𝑧 𝑑𝑧𝒌=𝑑𝑥𝒊+𝑑𝑦𝒋+𝑑𝑧𝒌　 𝛻=𝒊 𝜕 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕 𝜕𝑧 𝑑𝒓∙𝛻=𝑑𝑥 𝜕 𝜕𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕 𝜕𝑦 +dz 𝜕 𝜕𝑧 𝑑𝒓∙𝛻 𝑓=𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +dz 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑑𝑓= 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑑𝑥+ 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑦+ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑑𝑧+ 𝜕𝑓 𝜕𝑡 𝑑𝑡= 𝑑𝒓∙𝛻 𝑓+ 𝜕𝑓 𝜕𝑡 𝑑𝑡

11. 【解答】 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 をベクトル場，𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 をスカラー場とするとき， 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 をベクトル場，𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 をスカラー場とするとき， 𝛻∙ 𝑓𝑭 = 𝛻𝑓 ∙𝑭+𝑓 𝛻∙𝑭 となることを示せ。 【解答】 𝑭= 𝐹 1 𝒊+ 𝐹 2 𝒋+ 𝐹 3 𝒌 　とする。 𝑓𝑭=𝑓 𝐹 1 𝒊+ 𝑓𝐹 2 𝒋+𝑓 𝐹 3 𝒌 𝛻=𝒊 𝜕 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕 𝜕𝑧 𝛻∙𝑨=div 𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝛻∙ 𝑓𝑭 = 𝜕 𝑓 𝐹 1 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑓 𝐹 2 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑓 𝐹 3 𝜕𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝐹 1 +𝑓 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝐹 2 +𝑓 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑦 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝐹 3 +𝑓 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝐹 1 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝐹 2 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝐹 3 +𝑓 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑧 = 𝛻𝑓 ∙𝑭+𝑓 𝛻∙𝑭

12. 13. 【解答】 【解答】 次のベクトル場の (1,−1,1) における発散の値を求めよ． 次のベクトル場の　(1,−1,1)　における発散の値を求めよ． 1 𝑭= 𝑥 2 +𝑦𝑧 𝒊+ 𝑦 2 +𝑧𝑥 𝒋+ 𝑧 2 +𝑥𝑦 𝒌 2 𝑭=2 𝑥 2 𝑧𝒊−𝑥 𝑦 2 𝑧𝒋+3y 𝑧 2 𝒌 【解答】 𝛻∙𝑨=div 𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 1 　𝛻∙𝑭=div 𝑭= 𝜕 𝑥 2 +𝑦𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑦 2 +𝑧𝑥 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑧 2 +𝑥𝑦 𝜕𝑧 =2𝑥+2𝑦+2𝑧=2 2 𝛻∙𝑭=div 𝑭= 𝜕 2 𝑥 2 𝑧 𝜕𝑥 + 𝜕 −𝑥 𝑦 2 𝑧 𝜕𝑦 + 𝜕 3y 𝑧 2 𝜕𝑧 =4𝑥𝑧−2𝑥𝑦𝑧+6𝑦𝑧=0 13. ベクトル場の　 𝑭= 𝑥+3𝑦 𝒊+ 𝑦−2𝑧 𝒋+ 𝑥+𝑎𝑧 𝒌 の発散が至るところで　0　になるように定数　𝑎 を定めよ． 【解答】 𝛻∙𝑭=div 𝑭= 𝜕 𝑥+3𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑦−2𝑧 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑥+𝑎𝑧 𝜕𝑧 =1+1+𝑎=0 𝑎=−2

14. 【解答】 ベクトル場 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦𝒊−2𝑥𝑧𝒋+2𝑦𝑧𝒌 について， ベクトル場　 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 2 𝑦𝒊−2𝑥𝑧𝒋+2𝑦𝑧𝒌 について， div 𝑭 ,　rot 𝑭 , rot rot 𝑭 　を求めよ． 𝛻×𝑨= 𝒊 𝒋 𝒌 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 【解答】 1 div 𝑭= 𝜕 𝑥 2 𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕 −2𝑥𝑧 𝜕𝑦 + 𝜕 2𝑦𝑧 𝜕𝑧 =2𝑥𝑦+0+2𝑦=2𝑦 𝑥+1 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 2 rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 = 2𝑧+2𝑥 𝒊− 0−0 𝒋+ −2𝑧− 𝑥 2 𝒌=2 𝑥+𝑧 𝒊− 𝑥 2 +2𝑧 𝒌 rot rot 𝑭 = 𝜕(− 𝑥 2 +2𝑧 ) 𝜕𝑦 − 𝜕0 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 − 𝑥 2 +2𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 2 𝑥+𝑧 𝜕𝑧 𝒋 + 𝜕0 𝜕𝑥 − 𝜕 2 𝑥+𝑧 𝜕𝑦 𝒌 =(2𝑥+2)𝒋 3

15. 【解答】 ベクトル場 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥𝑧 3 𝒊−2 𝑥 2 𝑦𝑧𝒋+2𝑦 𝑧 4 𝒌 について， ベクトル場　 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥𝑧 3 𝒊−2 𝑥 2 𝑦𝑧𝒋+2𝑦 𝑧 4 𝒌 について， 　　点𝑃 1,−1,1 における　rot 𝑭　を求めよ。 【解答】 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 = 2 𝑧 4 +2 𝑥 2 𝑦 𝒊− 0−3𝑥 𝑧 2 𝒋+ −4𝑥𝑦𝑧−0 𝒌= 2 𝑧 4 +2 𝑥 2 𝑦 𝒊+3𝑥 𝑧 2 𝒋−4𝑥𝑦𝑧𝒌 rot 𝑭 𝑃 =0𝒊+3𝒋+4𝒌=3𝒋+4𝒌

16. 【解答】 ベクトル場 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑎𝑥𝑦− 𝑧 3 𝒊+ 𝑎−2 𝑥 2 𝒋+ 1−𝑎 𝑥 𝑧 2 𝒌 が ベクトル場　 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑎𝑥𝑦− 𝑧 3 𝒊+ 𝑎−2 𝑥 2 𝒋+ 1−𝑎 𝑥 𝑧 2 𝒌 が 至るところで　， rot 𝑭=0　になるように定数　𝑎 を定めよ。 【解答】 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 = 0−0 𝒊− 1−𝑎 𝑧 2 +3 𝑧 2 𝒋+ 2𝑥(𝑎−2 −𝑎𝑥 𝒌= 𝑎−4 𝑧 2 𝒋+ 𝑎−4 𝑥𝒌 ゆえに　， rot 𝑭=0　となるのは　𝑎=4 のときである。

17. 【解答】 1 任意のスカラー場 𝑓 に対し，rot grad 𝑓=0 であることを示せ. 2 任意のベクトル場　𝑭　に対し，div rot 𝑭=0　であることを示せ. 【解答】 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 rot grad 𝑓=𝛻× 𝛻𝑓 = 𝒊 𝜕 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕 𝜕𝑧 × 𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 𝒊 𝒋 𝒌 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑧 − 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝒊− 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑧 − 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝒋+ 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝒌=0

【解答】 2 任意のベクトル場 𝑭 に対し，div rot 𝑭=0 であることを示せ. 2 𝑭= 𝐹 1 𝒊+ 𝐹 2 𝒋+ 𝐹 3 𝒌 　とする。 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 div 𝑨= 𝛻∙𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 div rot 𝑭= 𝛻∙ 𝛻×𝑭 = 𝛻∙ 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 𝒌 = 𝜕 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑧 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = 𝜕 2 𝐹 3 𝜕𝑦𝜕𝑥 − 𝜕 2 𝐹 2 𝜕𝑧𝜕𝑥 − 𝜕 2 𝐹 3 𝜕𝑦𝜕𝑥 − 𝜕 2 𝐹 1 𝜕𝑧𝜕𝑦 + 𝜕 2 𝐹 2 𝜕𝑧𝜕𝑥 − 𝜕 2 𝐹 1 𝜕𝑧𝜕𝑦 =0

18. 【解答】 𝑓, 𝑔 をスカラー関数とし，𝑭=𝑓grad 𝑔とするとき，𝑭∙ rot 𝑭 =0 となることを示せ． 𝑨= 𝐴 𝑥 𝒊+ 𝐴 𝑦 𝒋+ 𝐴 𝑧 𝒌 𝛻×𝛻𝑔= 𝒊 𝒋 𝒌 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑔 𝜕𝑥 𝜕𝑔 𝜕𝑦 𝜕𝑔 𝜕𝑧 = 𝜕 2 𝑔 𝜕𝑦𝜕𝑧 − 𝜕 2 𝑔 𝜕𝑧𝜕𝑦 𝒊− 𝜕 2 𝑔 𝜕𝑥𝜕𝑧 − 𝜕 2 𝑔 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝒋+ 𝜕 2 𝑔 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝜕 2 𝑔 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝒌=0 rot 𝑭=𝛻× 𝑓𝛻𝑔 = 𝛻𝑓 × 𝛻𝑔 +𝑓𝛻×𝛻𝑔= 𝛻𝑓 × 𝛻𝑔 (𝑃89) 𝑨∙ 𝑩×𝑪 =𝑩∙ 𝑪×𝑨 =𝑪∙ 𝑨×𝑩 𝑭∙ rot 𝑭 = 𝑓𝛻𝑔 ∙ 𝛻𝑓 × 𝛻𝑔 =𝑓 𝛻𝑓 ∙ 𝛻𝑔 × 𝛻𝑔 =0

19. 【解答】 𝑓 が調和関数なら，定ベクトル 𝒄 に対し rot 𝒄 ×grad 𝑓 =− 𝒄∙𝛻 grad 𝑓 となることを示せ． 𝑓 が調和関数なら，定ベクトル　𝒄　に対し 　　　　　rot 𝒄 ×grad 𝑓 =− 𝒄∙𝛻 grad 𝑓　　となることを示せ． （注：　∆𝑓=0を満たす関数𝑓を調和関数という) 【解答】 (𝑃95) 𝑨× 𝑩×𝑪 = 𝑨∙𝑪 𝑩− 𝑨∙𝑩 𝑪 (𝑃165) 𝛻 2 =𝛻∙𝛻=∆ 𝑓 調和関数　→ ∆ 𝑓=0　 rot 𝒄×grad 𝑓 =𝛻× 𝒄×𝛻 𝑓 = 𝛻∙𝛻𝑓 𝒄− 𝛻∙𝒄 𝛻𝑓=∆ 𝑓− 𝛻∙𝒄 𝛻𝑓 =− 𝛻∙𝒄 𝛻𝑓=− 𝒄∙𝛻 grad 𝑓

20. 【解答】 ベクトル関数 𝑼= 𝑈 1 𝒊+ 𝑈 2 𝒋+ 𝑈 3 𝒌 に対する微分演算子 𝑼×𝛻 に関する ベクトル関数　𝑼= 𝑈 1 𝒊+ 𝑈 2 𝒋+ 𝑈 3 𝒌　に対する微分演算子　𝑼×𝛻 に関する 次の関係式を示せ．ただし，𝑓　はスカラー場，𝑭　はベクトル場とする． 1 𝑼×𝛻 𝑓=𝑼× 𝛻𝑓 2 𝑼×𝛻 ∙𝑭=𝑼∙ 𝛻×𝑭 【解答】 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝒊 𝒋 𝒌 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 = 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 𝑨×𝑩= 𝐴 𝑦 𝐵 𝑧 − 𝐴 𝑧 𝐵 𝑦 𝒊− 𝐴 𝑥 𝐵 𝑧 − 𝐴 𝑧 𝐵 𝑥 𝒋+ 𝐴 𝑥 𝐵 𝑦 − 𝐴 𝑦 𝐵 𝑥 𝒌 1 𝑼×𝛻 = 𝑈 2 𝜕 𝜕𝑧 − 𝑈 3 𝜕 𝜕𝑦 𝒊− 𝑈 1 𝜕 𝜕𝑧 − 𝑈 3 𝜕 𝜕𝑥 𝒋+ 𝑈 1 𝜕 𝜕𝑦 − 𝑈 2 𝜕 𝜕𝑥 𝒌 𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 =grad 𝑓 𝑼×𝛻 𝑓= 𝑈 2 𝜕𝑓 𝜕𝑧 − 𝑈 3 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝒊− 𝑈 1 𝜕𝑓 𝜕𝑧 − 𝑈 3 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒋+ 𝑈 1 𝜕𝑓 𝜕𝑦 − 𝑈 2 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝒌=𝑼× 𝛻𝑓

【解答】 【20の続き】. ベクトル関数 𝑼= 𝑈 1 𝒊+ 𝑈 2 𝒋+ 𝑈 3 𝒌 に対する微分演算子 𝑼×𝛻 に関する ベクトル関数　𝑼= 𝑈 1 𝒊+ 𝑈 2 𝒋+ 𝑈 3 𝒌　に対する微分演算子　𝑼×𝛻 に関する 次の関係式を示せ．ただし，𝑓　はスカラー場，𝑭　はベクトル場とする． 2 𝑼×𝛻 ∙𝑭=𝑼∙ 𝛻×𝑭 【解答】 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝒊 𝒋 𝒌 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 = 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 𝑨×𝑩= 𝐴 𝑦 𝐵 𝑧 − 𝐴 𝑧 𝐵 𝑦 𝒊− 𝐴 𝑥 𝐵 𝑧 − 𝐴 𝑧 𝐵 𝑥 𝒋+ 𝐴 𝑥 𝐵 𝑦 − 𝐴 𝑦 𝐵 𝑥 𝒌 𝑼×𝛻 = 𝑈 2 𝜕 𝜕𝑧 − 𝑈 3 𝜕 𝜕𝑦 𝒊− 𝑈 1 𝜕 𝜕𝑧 − 𝑈 3 𝜕 𝜕𝑥 𝒋+ 𝑈 1 𝜕 𝜕𝑦 − 𝑈 2 𝜕 𝜕𝑥 𝒌 𝑭= 𝐹 1 𝒊+ 𝐹 2 𝒋+ 𝐹 3 𝒌 𝑼×𝛻 ∙𝑭= 𝑈 2 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑧 − 𝑈 3 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 − 𝑈 1 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑧 − 𝑈 3 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 + 𝑈 1 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑦 − 𝑈 2 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑥 = 𝑈 1 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑧 + 𝑈 2 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑧 − 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑥 + 𝑈 3 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 =𝑼∙ 𝛻×𝑭

21. 【解答】 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 とするとき， 𝒓∙𝛻 𝑟 𝑛 =𝑛 𝑟 𝑛 となることを示せ。 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 とするとき， 　 𝒓∙𝛻 𝑟 𝑛 =𝑛 𝑟 𝑛 となることを示せ。 【解答】 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝒓∙𝛻 𝑟 𝑛 = 𝑥 𝜕 𝜕𝑥 +𝑦 𝜕 𝜕𝑦 +𝑧 𝜕 𝜕𝑧 𝑟 𝑛 =𝑥 𝜕 𝑟 𝑛 𝜕𝑥 +𝑦 𝜕 𝑟 𝑛 𝜕𝑦 +𝑧 𝜕 𝑟 𝑛 𝜕𝑧 =𝑥𝑛 𝑟 𝑛−1 𝑥 𝑟 +𝑦𝑛 𝑟 𝑛−1 𝑦 𝑟 +𝑧𝑛 𝑟 𝑛−1 𝑧 𝑟 = 𝑛 𝑟 𝑛−1 𝑟 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 =𝑛 𝑟 𝑛

22. 【解答】 次のスカラー場 𝑓 に対し，𝛻𝑓 を求めよ． 1 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =3 𝑥 2 𝑦− 𝑦 3 𝑧 2 次のスカラー場 𝑓 に対し，𝛻𝑓　を求めよ． 1 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 =3 𝑥 2 𝑦− 𝑦 3 𝑧 2 2 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑏 𝑥+𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑐 𝑥−𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 【解答】 𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 =grad 𝑓 (1) 𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 =𝒊 𝜕 3 𝑥 2 𝑦− 𝑦 3 𝑧 2 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕 3 𝑥 2 𝑦− 𝑦 3 𝑧 2 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕 3 𝑥 2 𝑦− 𝑦 3 𝑧 2 𝜕𝑧 =6𝑥𝑦𝒊+ 3 𝑥 2 − 3𝑦 2 𝑧 2 𝒋− 2𝑦 3 𝑧𝒌

【22のつづき】. 【解答】 次のスカラー場 𝑓 に対し，𝛻𝑓 を求めよ． 次のスカラー場 𝑓 に対し，𝛻𝑓　を求めよ． 2 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑏 𝑥+𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝑐 𝑥−𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 【解答】 𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 =grad 𝑓 𝛻𝑓=𝒊 − 1 2 2𝑏 𝑥+𝑎 𝑥+𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 − 1 2 2𝑐 𝑥−𝑎 𝑥−𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 +𝒋 − 1 2 2𝑏𝑦 𝑥+𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 − 1 2 2𝑐𝑦 𝑥−𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 +𝒌 − 1 2 2𝑏𝑧 𝑥+𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 − 1 2 2𝑐𝑧 𝑥−𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 =− 𝑏 𝑥+𝑎 𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 𝑥+𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 − 𝑐 𝑥−𝑎 𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 𝑥−𝑎 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 3 (2)

23. 【解答】 点 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトル 𝒓 をとし， 𝑟= 𝒓 とするとき， 点　 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトル 𝒓 をとし，　𝑟= 𝒓 　　とするとき， 𝛻∙ 𝒓 𝑟 𝟐 , 𝛻 2 𝑟 , 𝛻 2 1 𝑟 2 を計算せよ。 【解答】 教科書𝑃167定理7.8− 2 div 𝜑𝑨 =grad 𝜑・𝑨+𝜑div 𝑨 1 𝛻∙ 𝒓 𝑟 𝟐 = 𝛻 1 𝑟 𝟐 ∙𝒓+ 1 𝑟 𝟐 𝛻∙𝒓

【23のつづき】. 【解答】 点 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトル 𝒓 をとし， 𝑟= 𝒓 とするとき， 𝛻 2 𝑟 を計算せよ。 点　 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトル 𝒓 をとし，　𝑟= 𝒓 　　とするとき， 𝛻 2 𝑟 を計算せよ。 【解答】 grad 𝑓=𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 2 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝑓 𝑟 =𝑟, 𝛻𝑟=𝒊 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑟 𝜕𝑧 =𝒊 1 2 𝑟 −1 (2𝑥) +𝒋 1 2 𝑟 −1 (2𝑦)+𝒌 1 2 𝑟 −1 (2𝑧) = 𝑟 −1 𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 = 𝑟 −1 𝒓 𝛻 1 𝑟 =𝛻 𝑟 −1 =𝒊 𝜕 𝑟 −1 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕 𝑟 −1 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕 𝑟 −1 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 =− 1 𝑟 2 𝒊 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑟 𝜕𝑧 =− 1 𝑟 2 𝑟 −1 𝒓 =− 𝒓 𝑟 3 教科書𝑃167定理7.8− 2 div 𝜑𝑨 =grad 𝜑・𝑨+𝜑div 𝑨 div 𝑨= 𝛻∙𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 𝛻∙𝒓= 𝜕𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 𝜕𝑧 =3 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 𝛻 2 𝑟=𝛻∙ 𝛻r =𝛻∙ 𝑟 −1 𝒓 =𝛻 𝑟 −1 ∙𝒓+ 𝑟 −1 𝛻∙𝒓=− 𝒓∙𝒓 𝑟 3 +3 𝑟 −1 =2 𝑟 −1

【23のつづき】. 【解答】 点 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトル 𝒓 をとし， 𝑟= 𝒓 とするとき， 𝛻 2 1 𝑟 2 を計算せよ。 点　 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトル 𝒓 をとし，　𝑟= 𝒓 　　とするとき， 𝛻 2 1 𝑟 2 を計算せよ。 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 【解答】 3 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , grad 𝑓=𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑓 𝑟 =𝑟, 𝛻 1 𝑟 2 =𝛻 𝑟 −2 =𝒊 𝜕 𝑟 −2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕 𝑟 −2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕 𝑟 −2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 =− 2 𝑟 3 𝒊 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑟 𝜕𝑧 =− 2 𝑟 3 𝑟 −1 𝒓 =− 2𝒓 𝑟 4 𝛻𝑟=𝒊 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 𝑟 −1 𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 = 𝑟 −1 𝒓 𝛻 𝑟 −4 =−4 𝑟 −5 𝒊 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑟 𝜕𝑧 =−4 𝑟 −5 𝑟 −1 𝒓 =−4 𝑟 −6 𝒓 教科書𝑃167定理7.8− 2 div 𝜑𝑨 =grad 𝜑・𝑨+𝜑div 𝑨 𝛻∙ 𝜑𝑨 = 𝛻 𝜑 ・𝑨+𝜑 𝛻∙𝑨 𝛻 2 1 𝑟 2 =𝛻∙ 𝛻 1 𝑟 2 =𝛻∙ − 2𝒓 𝑟 4 =𝛻 −2 𝑟 −4 ∙𝒓+ −2 𝑟 −4 𝛻∙𝒓 =8 𝑟 −6 𝒓∙𝒓−6 𝑟 −4 =2 𝑟 −4

【23のつづき】. 【解答】 教科書𝑃167定理7.8− 2 div 𝜑𝑨 =grad 𝜑・𝑨+𝜑div 𝑨 𝛻𝑟=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝛻∙ 𝒓 𝑟 𝟐 = 𝛻 1 𝑟 𝟐 ∙𝒓+ 1 𝑟 𝟐 𝛻∙𝒓 【23のつづき】. 点　 𝑥,𝑦,𝑧 の位置ベクトル 𝒓 をとし，　𝑟= 𝒓 　　とするとき， 𝛻∙ 𝒓 𝑟 𝟐 , 𝛻 2 𝑟 , 𝛻 2 1 𝑟 2 を計算せよ。 【解答】 1 grad 𝑓=𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 2 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝑓 𝑟 =𝑟, 𝛻𝑟=𝛻𝑓 𝑟 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝒊 1 2 𝑟 −1 (2𝑥) +𝒋 1 2 𝑟 −1 (2𝑦)+𝒌 1 2 𝑟 −1 (2𝑧) = 𝑟 −1 𝒓= 𝑟 −1 𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 (2) 𝛻 2 𝑟=𝛻∙ 𝑟 −1 𝒓 =𝛻 𝑟 −1 ∙𝒓+ 𝑟 −1 𝛻∙𝒓= 𝛻 2 𝜑= 𝜕 2 𝜑 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝜑 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝜑 𝜕 𝑧 2 𝑃164 (7.10) div 𝑨= 𝛻∙𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 𝛻 2 =𝛻∙𝛻 𝛻 2 𝑟=𝛻∙ 𝛻r 𝛻 2 𝑟=𝛻∙ 𝛻r =𝛻∙ 𝑟 −1 𝒓 = 𝜕 𝑟 −1 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑟 −1 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑟 −1 𝑧 𝜕𝑧 = 𝜕 𝑟 −1 𝜕𝑥 + 𝑟 −1 + 𝜕 𝑟 −1 𝜕𝑦 + 𝑟 −1 + 𝜕 𝑟 −1 𝜕𝑧 + 𝑟 −1 = 𝜕 2 𝑟 𝜕 𝑥 2 = 𝑟 −1 −𝑥 𝑟 −2 1 2 𝑟 −1 2𝑥 = 𝑟 −1 −𝑥 𝑟 −2 𝑥 𝑟 −1 = 𝑟 −1 1− 𝑥 2 𝑟 −2 𝜕𝑟 𝜕𝑥 = 1 2 𝑟 −1 2𝑥 = 𝑟 −1 𝑥 𝛻 2 𝑟=𝛻∙ 𝑟 −1 𝒓 = (3) 𝛻 2 𝑟= 𝜕 2 𝑟 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑟 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝑟 𝜕 𝑧 2 = 𝑟 −1 −𝑥 𝑟 −2 + 𝑟 −1 −𝑦 𝑟 −2 + 𝑟 −1 −𝑧 𝑟 −2 =3 𝑟 −1 −

24. 【解答】 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥,𝑦,𝑧 𝑥𝒊−  𝑥,𝑦,𝑧 𝑦𝒋 が至るところで div 𝑭=0, rot 𝑭=0 を満たすならば，  は定数であることを示せ。 【解答】 div 𝑨= 𝛻∙𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 div 𝑭= 𝛻∙𝑭= 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑧 = 𝜕 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 −𝑦 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑥+− 𝜕 𝜕𝑦 𝑦− = 𝜕 𝜕𝑥 𝑥− 𝜕 𝜕𝑦 𝑦=0 𝜕 𝜕𝑥 𝑥= 𝜕 𝜕𝑦 𝑦

【24のつづき】 ① 𝜕 𝜕𝑥 𝑥= 𝜕 𝜕𝑦 𝑦 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥,𝑦,𝑧 𝑥𝒊−  𝑥,𝑦,𝑧 𝑦𝒋 ①　 𝜕 𝜕𝑥 𝑥= 𝜕 𝜕𝑦 𝑦 【24のつづき】 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥,𝑦,𝑧 𝑥𝒊−  𝑥,𝑦,𝑧 𝑦𝒋 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐹 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐹 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 = 0− 𝜕 −  𝑥,𝑦,𝑧 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 0− 𝜕  𝑥,𝑦,𝑧 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 −  𝑥,𝑦,𝑧 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕  𝑥,𝑦,𝑧 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 =𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝒊+𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝒋+ −𝑦 𝜕 𝜕𝑥 −𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝒌 ②　𝑦 𝜕 𝜕𝑧 =0, ③　𝑥 𝜕 𝜕𝑧 =0, ④　−𝑦 𝜕 𝜕𝑥 −𝑥 𝜕 𝜕𝑦 =0 至るところなので，𝑦=0, 𝑥=0　とは限らない。 𝜕 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑧 =0 ②より　 𝜕 𝜕𝑧 =0, ③より　 𝜕 𝜕𝑧 =0, ①と④より　 𝑥 2 + 𝑦 2 𝜕 𝜕𝑦 =0 𝜕 𝜕𝑦 =0 𝜕 𝜕𝑥 =0  は定数である。

𝛻 𝑟 𝑛 ∙𝒓=𝑛 𝑟 𝑛−2 𝒓 ∙𝒓=𝑛 𝑟 𝑛−2 𝑟 2 =𝑛 𝑟 𝑛 25 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 とするとき，次を示せ。 ただし，　𝑓(𝑟)　はスカラー関数で，　𝒂　は定ベクトルである。 1 div 𝑟 𝑛 𝒓 =(𝑛+3) 𝑟 𝑛 2 rot 𝑓 𝑟 𝒓 =𝟎 3 rot 𝒂×𝒓 𝑟 3 =− 𝒂 𝑟 3 +3 𝒂∙𝒓 𝑟 5 𝒓 【解答】 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 教科書𝑃167定理7.8− 2 div 𝜑𝑨 =grad 𝜑・𝑨+𝜑div 𝑨 1 div 𝑟 𝑛 𝒓 =𝛻 𝑟 𝑛 ∙𝒓+ 𝑟 𝑛 (𝛻∙𝒓) div 𝑨= 𝛻∙𝑨= 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑧 grad 𝑓=𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝛻 𝑟 𝑛 =𝒊 𝜕 𝑟 𝑛 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕 𝑟 𝑛 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕 𝑟 𝑛 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 =𝑛 𝑟 𝑛−1 𝒊 1 2 𝑟 −1 (2𝑥) +𝒋 1 2 𝑟 −1 (2𝑦)+𝒌 1 2 𝑟 −1 (2𝑧) =𝑛 𝑟 𝑛−2 𝒓 𝛻 𝑟 𝑛 ∙𝒓=𝑛 𝑟 𝑛−2 𝒓 ∙𝒓=𝑛 𝑟 𝑛−2 𝑟 2 =𝑛 𝑟 𝑛 𝛻∙𝒓= 𝜕 𝑟 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑟 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝑟 𝑧 𝜕𝑧 =3 div 𝑟 𝑛 𝒓 =𝛻 𝑟 𝑛 ∙𝒓+ 𝑟 𝑛 𝛻∙𝒓 =(𝑛+3) 𝑟 𝑛

25-2 【解答】 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 𝑓(𝑟) はスカラー関数 2 rot 𝑓 𝑟 𝒓 =𝟎 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 𝑓(𝑟)　はスカラー関数 2 rot 𝑓 𝑟 𝒓 =𝟎 【解答】 教科書𝑃173定理7.9− 2 rot 𝜑𝑨 =(grad 𝜑)×𝑨+𝜑rot 𝑨 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 grad 𝑓=𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝛻𝑓 𝑟 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝒊 1 2 𝑟 −1 (2𝑥) +𝒋 1 2 𝑟 −1 (2𝑦)+𝒌 1 2 𝑟 −1 (2𝑧) = 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝑟 −1 𝒓 𝛻𝑓 𝑟 ×𝒓= 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝑟 −1 𝒓×𝒓=0 rot 𝒓= 𝛻×𝒓= 0−0 𝒊− 0−0 𝒋+ 0−0 𝒌=𝟎 2 rot 𝑓 𝑟 𝒓 =𝛻𝑓 𝑟 ×𝒓+𝑓 𝑟 𝛻×𝒓=𝟎+𝑓 𝑟 𝟎=0

25−3 【解答】 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 𝑓(𝑟) はスカラー関数， 𝒂 は定ベクトル 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌 , 𝑟= 𝒓 𝑓(𝑟)　はスカラー関数，　𝒂　は定ベクトル 3 rot 𝒂×𝒓 𝑟 3 =− 𝒂 𝑟 3 +3 𝒂∙𝒓 𝑟 5 𝒓 【解答】 教科書𝑃173定理7.9− 2 rot 𝜑𝑨 = grad 𝜑 ×𝑨+𝜑rot 𝑨= 𝛻𝜑 ×𝑨+𝜑𝛻×𝑨 rot 𝒂×𝒓 𝑟 3 = 𝛻 1 𝑟 3 × 𝒂×𝒓 + 1 𝑟 3 𝛻× 𝒂×𝒓 𝑨×𝑩= 𝒊 𝒋 𝒌 𝐴 𝑥 𝐴 𝑦 𝐴 𝑧 𝐵 𝑥 𝐵 𝑦 𝐵 𝑧 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 grad 𝑓=𝛻𝑓 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝒂= 𝑎 1 𝒊+ 𝑎 2 𝒋+ 𝑎 3 𝒌 　とする。 𝑟= 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑨×𝑩= 𝐴 𝑦 𝐵 𝑧 − 𝐴 𝑧 𝐵 𝑦 𝒊− 𝐴 𝑥 𝐵 𝑧 − 𝐴 𝑧 𝐵 𝑥 𝒋+ 𝐴 𝑥 𝐵 𝑦 − 𝐴 𝑦 𝐵 𝑥 𝒌 𝒂×𝒓= 𝑎 2 𝑧− 𝑎 3 𝑦 𝒊− 𝑎 1 𝑧− 𝑎 3 𝑥 𝒋+ 𝑎 1 𝑦− 𝑎 2 𝑥 𝒌 𝛻× 𝒂×𝒓 = 𝑎 1 + 𝑎 1 𝒊− − 𝑎 2 − 𝑎 2 𝒋+ 𝑎 3 + 𝑎 3 𝒌=2𝒂 𝛻𝑓 𝑟 =𝛻 1 𝑟 3 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 =𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 = 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝒊 1 2 𝑟 −1 (2𝑥) +𝒋 1 2 𝑟 −1 (2𝑦)+𝒌 1 2 𝑟 −1 (2𝑧) = 𝜕𝑓 𝜕𝑟 𝑟 −1 𝒓=−3 1 𝑟 4 𝑟 −1 𝒓=− 3𝒓 𝑟 5

rot 𝒂×𝒓 𝑟 3 = 𝛻 1 𝑟 3 × 𝒂×𝒓 + 1 𝑟 3 𝛻× 𝒂×𝒓 𝛻× 𝒂×𝒓 = 𝑎 1 + 𝑎 1 𝒊− − 𝑎 2 − 𝑎 2 𝒋+ 𝑎 3 + 𝑎 3 𝒌=2𝒂 𝛻𝑓 𝑟 =𝛻 1 𝑟 3 =− 3𝒓 𝑟 5 𝑨× 𝑩×𝑪 = 𝑨∙𝑪 𝑩− 𝑨∙𝑩 𝑪 𝛻 1 𝑟 3 × 𝒂×𝒓 = − 3𝒓 𝑟 5 × 𝒂×𝒓 = − 3 𝑟 5 𝒓× 𝒂×𝒓 = − 3 𝑟 5 𝒓∙𝒓 𝒂− 𝒓∙𝒂 𝒓 = − 3 𝑟 5 𝑟 2 𝒂− 𝒓∙𝒂 𝒓 rot 𝒂×𝒓 𝑟 3 = 𝛻 1 𝑟 3 × 𝒂×𝒓 + 1 𝑟 3 𝛻× 𝒂×𝒓 = − 3 𝑟 5 𝑟 2 𝒂− 𝒓∙𝒂 𝒓 + 2𝒂 𝑟 3 =− 𝒂 𝑟 3 + 3 𝒓∙𝒂 𝑟 5 𝒓

26. 【解答】 𝑭=2𝑥 𝑧 2 𝒊−𝑦𝑧𝒋+ 3𝑥𝑧 3 𝒌 , 𝑓= 𝑥 2 𝑦𝑧 のとき， rot 𝑓𝑭 を求めよ。 教科書𝑃173定理7.9− 2 より　　 rot 𝜑𝑨 =(grad φ)×𝑨+𝜑rot 𝑨 grad 𝑓=𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝛻𝑓=2𝑥𝑦𝑧𝒊+ 𝑥 2 𝑧𝒋+ 𝑥 2 𝑦𝒌 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 rot 𝑭= 𝜕 3𝑥𝑧 3 𝜕𝑦 − 𝜕 −𝑦𝑧 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 3𝑥𝑧 3 𝜕𝑥 − 𝜕 2𝑥 𝑧 2 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 −𝑦𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 2𝑥 𝑧 2 𝜕𝑦 𝒌= 0+𝑦 𝒊− 3𝑧 3 −4𝑥𝑧 𝒋+ 0−0 𝒌=𝑦𝒊− 3𝑧 3 −4𝑥𝑧 𝒋 𝛻 𝑓 ×𝑭= 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝐹 𝑧 − 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝐹 𝑦 𝒊− 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝐹 𝑧 − 𝜕𝑓 𝜕𝑧 𝐹 𝑥 𝒋+ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝐹 𝑦 − 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝐹 𝑥 𝒌 = 𝑥 2 𝑧× 3𝑥𝑧 3 − 𝑥 2 𝑦×(−𝑦𝑧) 𝒊− 2𝑥𝑦𝑧× 3𝑥𝑧 3 − 𝑥 2 𝑦×2𝑥 𝑧 2 𝒋+ 2𝑥𝑦𝑧 −𝑦𝑧 − 𝑥 2 𝑧×2𝑥 𝑧 2 𝒌 = 3 𝑥 3 𝑧 4 + 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 𝒊− 6 𝑥 2 𝑦 𝑧 4 −2 𝑥 3 𝑦 𝑧 2 𝒋− 2𝑥 𝑦 2 𝑧 2 +2 𝑥 3 𝑧 3 𝒌

26. 𝑭=2𝑥 𝑧 2 𝒊−𝑦𝑧𝒋+ 3𝑥𝑧 3 𝒌 , 𝑓= 𝑥 2 𝑦𝑧 のとき， rot 𝑓𝑭 を求めよ。 rot 𝜑𝑨 =(grad φ)×𝑨+𝜑rot 𝑨 𝛻 𝑓 ×𝑭= 3 𝑥 3 𝑧 4 + 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 𝒊− 6 𝑥 2 𝑦 𝑧 4 −2 𝑥 3 𝑦 𝑧 2 𝒋− 2𝑥 𝑦 2 𝑧 2 +2 𝑥 3 𝑧 3 𝒌 rot 𝑭=𝑦𝒊− 3𝑧 3 −4𝑥𝑧 𝒋 𝑓rot 𝑭=𝑓 𝛻×𝑭 = 𝑥 2 𝑦𝑧 𝑦𝒊− 3𝑧 3 −4𝑥𝑧 𝒋 rot 𝑓𝑭 = grad 𝑓 ×𝑭+𝑓rot 𝑭= 𝛻𝑓 ×𝑭+𝑓𝛻× 𝑭 = 3 𝑥 3 𝑧 4 + 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 𝒊− 6 𝑥 2 𝑦 𝑧 4 −2 𝑥 3 𝑦 𝑧 2 𝒋− 2𝑥 𝑦 2 𝑧 2 +2 𝑥 3 𝑧 3 𝒌+ 𝑥 2 𝑦𝑧 𝑦𝒊− 3𝑧 3 −4𝑥𝑧 𝒋 = 3 𝑥 3 𝑧 4 +2 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 𝒊− 9 𝑥 2 𝑦 𝑧 4 −6 𝑥 3 𝑦 𝑧 2 𝒋− 2𝑥 𝑦 2 𝑧 2 +2 𝑥 3 𝑧 3 𝒌

27. 【解答】 ベクトル場 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝒊+ 𝐹 2 𝑥,𝑦,𝑧 𝒋+ 𝐹 3 𝑥,𝑦,𝑧 𝒌 が ベクトル場 𝑭 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝒊+ 𝐹 2 𝑥,𝑦,𝑧 𝒋+ 𝐹 3 𝑥,𝑦,𝑧 𝒌 が を満たせば，スカラー場 rot 𝑭=0 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 0 𝑥 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝑦 0 𝑦 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦+ 𝑧 0 𝑧 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 𝑑𝑧 は　grad 𝑓=𝑭 を満たすことを示せ。 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 【解答】 rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 𝒌=0 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑧 =0, 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑧 =0, 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 =0 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 = 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑦 = 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑧 , 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑥 = 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑧 ,

𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 0 𝑥 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝑦 0 𝑦 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦+ 𝑧 0 𝑧 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 𝑑𝑧 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 = 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑦 = 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑧 , 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑥 = 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑧 , rot 𝑭=0 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 の右辺の第1，第2と第3の積分はそれぞれ　 𝑥,𝑦,𝑧 , y,z と 𝑧 の関数なので 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑥 0 𝑥 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥= 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 , 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑥 0 𝑥 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝜕 𝜕𝑦 𝑦 0 𝑦 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦= 𝑥 0 𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 = 𝑥 0 𝑥 𝜕 𝜕𝑥 𝐹 2 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 = 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 rot 𝑭=0 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 𝜕 𝜕𝑧 𝑥 0 𝑥 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝜕 𝜕𝑧 𝑦 0 𝑦 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦+ 𝜕 𝜕𝑧 𝑧 0 𝑧 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 𝑑𝑧

𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 0 𝑥 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝑦 0 𝑦 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦+ 𝑧 0 𝑧 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 𝑑𝑧 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑥 = 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑧 , 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑥 = 𝜕 𝐹 1 𝜕𝑦 𝜕 𝐹 3 𝜕𝑦 = 𝜕 𝐹 2 𝜕𝑧 , rot 𝑭=0 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = 𝜕 𝜕𝑧 𝑥 0 𝑥 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝜕 𝜕𝑧 𝑦 0 𝑦 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦+ 𝜕 𝜕𝑧 𝑧 0 𝑧 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 𝑑𝑧 = 𝑥 0 𝑥 𝜕 𝜕𝑧 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝑦 0 𝑦 𝜕 𝜕𝑧 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦+ 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 = 𝑥 0 𝑥 𝜕 𝜕𝑥 𝐹 3 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝑦 0 𝑦 𝜕 𝜕𝑦 𝐹 3 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦+ 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 = 𝐹 3 𝑥,𝑦,𝑧 𝑥 0 𝑥 + 𝐹 3 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑦 0 𝑦 + 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 = 𝐹 3 𝑥,𝑦,𝑧 grad 𝑓=𝛻𝑓=𝒊 𝜕𝑓 𝜕𝑥 +𝒋 𝜕𝑓 𝜕𝑦 +𝒌 𝜕𝑓 𝜕𝑧 =𝒊 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 +𝒋 𝐹 2 𝑥,𝑦,𝑧 +𝒌 𝐹 3 𝑥,𝑦,𝑧 =𝑭

28. 【解答】 次のベクトル場 𝑭 に対し， 𝛻𝑓=𝑭 となるスカラー場 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 を求めよ。 次のベクトル場 𝑭 に対し，　𝛻𝑓=𝑭 となるスカラー場　𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 を求めよ。　 1 𝑭= 6𝑥𝑦+ 𝑧 3 𝒊+ 3 𝑥 2 −𝑧 𝒋+ 3 𝑥𝑧 2 −𝑦 𝒌 2 𝑭=2𝑥𝑦 𝑧 3 𝒊+ 𝑥 2 𝑧 3 𝒋+ 3 𝑥 2 𝑦𝑧 2 𝒌 【解答】 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 (1) rot 𝑭= 𝛻×𝑭= 𝜕 3 𝑥𝑧 2 −𝑦 𝜕𝑦 − 𝜕 3 𝑥 2 −𝑧 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 3 𝑥𝑧 2 −𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 6𝑥𝑦+ 𝑧 3 𝜕𝑧 𝒋 + 𝜕 3 𝑥 2 −𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 6𝑥𝑦+ 𝑧 3 𝜕𝑦 𝒌　= −1+1 𝒊− 3 𝑧 2 −3 𝑧 2 𝒋+ 6𝑥−6𝑥 =0 前問(27)より 𝑥 0 = 𝑦 0 = 𝑧 0 =0　とすれば 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 0 𝑥 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝑦 0 𝑦 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦+ 𝑧 0 𝑧 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 𝑑𝑧 = 0 𝑥 6𝑥𝑦+ 𝑧 3 𝑑𝑥+ 0 𝑦 3× 0 2 −𝑧 𝑑𝑦+ 0 𝑧 3 ×0×𝑧 2 −0 𝑑𝑧=3 𝑥 2 𝑦+𝑥 𝑧 3 −𝑦𝑧+𝐶

2 𝑭=2𝑥𝑦 𝑧 3 𝒊+ 𝑥 2 𝑧 3 𝒋+ 3 𝑥 2 𝑦𝑧 2 𝒌 rot 𝑨= 𝛻×𝑨= 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑦 − 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 𝐴 𝑧 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝐴 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕 𝐴 𝑥 𝜕𝑦 𝒌 【解答】 (2) rot 𝑭= 𝛻×𝑭 = 𝜕 3 𝑥 2 𝑦𝑧 2 𝜕𝑦 − 𝜕 𝑥 2 𝑧 3 𝜕𝑧 𝒊− 𝜕 3 𝑥 2 𝑦𝑧 2 𝜕𝑥 − 𝜕 2𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑧 𝒋+ 𝜕 𝑥 2 𝑧 3 𝜕𝑥 − 𝜕 2𝑥𝑦 𝑧 3 𝜕𝑦 𝒌　 = 3 𝑥 2 𝑧 2 − 3 𝑥 2 𝑧 2 𝒊− 6 𝑥𝑦𝑧 2 −3 𝑥𝑦𝑧 2 𝒋+ 2𝑥 𝑧 3 −2𝑥 𝑧 3 =0 前問(27)より 𝑥 0 = 𝑦 0 = 𝑧 0 =0　とすれば 𝑓 𝑥,𝑦,𝑧 = 𝑥 0 𝑥 𝐹 1 𝑥,𝑦,𝑧 𝑑𝑥+ 𝑦 0 𝑦 𝐹 2 𝑥 0 ,𝑦,𝑧 𝑑𝑦+ 𝑧 0 𝑧 𝐹 3 𝑥 0 , 𝑦 0 ,𝑧 𝑑𝑧 = 0 𝑥 2𝑥𝑦 𝑧 3 𝑑𝑥+ 0 𝑦 𝑥 2 𝑧 3 𝑑𝑦+ 0 𝑧 3 𝑥 2 𝑦𝑧 2 𝑑𝑧 = 𝑥 2 𝑦 𝑧 3 + 0 2 𝑦 𝑧 3 + 0 2 0× 𝑧 3 +𝐶= 𝑥 2 𝑦 𝑧 3 +𝐶

7章の演習問題はここまで