電源の内部インピーダンス(抵抗)とは? 乾電池(1.5V)の等価回路を描いてみよう もし、等価回路がこのようなら、 この電池に1Ωの抵抗Rを繋いだ場合、 抵抗Rで消費される電力Pは、 E (1.5V) + - R =1μΩ R =1Ω R =0.1Ω この電池に0.1Ωの抵抗Rを繋いだ場合、 抵抗Rで消費される電力Pは、 乾電池の等価回路は、現実的には このような形で表すことはできない この電池に1μΩの抵抗Rを繋いだ場合、 抵抗Rで消費される電力Pは、 それでは、実際の乾電池の等価回路は、 どのように描くべきか?

供給電力最大の法則 負荷(インピーダンス Z )に流れる電流 I は、 E Z0=R0+jX0 Z=R+jX R jX I 負荷 電源の内部インピーダンス 負荷インピーダンス 負荷(インピーダンス Z )に流れる電流 I は、 E Z0=R0+jX0 Z=R+jX R jX I 負荷 負荷で消費される電力 P は、 電源側 負荷側 リアクタンスは電力を消費しない 電圧源型 負荷(アドミタンス Y )の両端の電圧 V は、 Y0=G0+jB0 J Y=G+jB G jB 負荷 V 負荷で消費される電力 P は、 サセプタンスも電力を消費しない 電流源型

供給電力最大の法則 負荷で消費される電力 P はが最大となる条件を、以下の場合について考えてみよう ここでは電圧源型についてのみ扱うが、電流源型についても同様に扱える [1] R 一定、X 可変の場合 より、X = −X0 の時に P が最大となる つまり、電源から負荷に供給される電力が最大となる [2] R 可変、X 一定の場合 を R について微分し、dP/dR = 0 から、 と求まる もっと簡単に求めるには、 矢印は、素子の値が可変であるという意味 電源の内部インピーダンス E R0 R jX jX0 E R0 R jX0 jX 電源側 負荷側 電源と負荷とのインピーダンス整合　　　　　　　　　　　　　　から上記が求まる

供給電力最大の法則 [3] R、X 両者可変の場合 E R0 R jX jX0 で、 X = −X0、 R = R0 の時に最大となり、 Pmaxは、電源から取り出し得る最大の電力で、電源の固有電力または有能電力と呼ばれる。 この場合、電圧源Eが発生している電力は、　　　　　　　　　であるから、P0の半分が電源自身のインピーダンス(R0)で、残りが負荷で消費される。 取り出し得る最大電力を電源から取り出したいのなら、電源の内部インピーダンス Z0の複素共役の値の負荷インピーダンス Z0* を繋げばよい。ただしその場合、半分の電力は電源内部で熱になって消費される。

乾電池の経済的な使い方 + 単一、単二、単三乾電池などの場合、E =1.5V ri + - 単一、単二、単三乾電池などの場合、E =1.5V ri の値は電池のサイズや種類によっても異なるが、一般的に ri (単一) < ri (単二) < ri (単三)、 　　　　　　 ri (アルカリ乾電池) < ri (マンガン乾電池)　となる 内部抵抗 今仮に、E = 2V、 ri = 1Wの電池を考えてみよう この電池に R = 1Wの負荷抵抗を繋いだ場合 乾電池の等価回路 内部抵抗 ri の複素共役 負荷抵抗 R に流れる電流は、1A E =2V ri =1W R =1W 1A 1W 従ってこの場合、 負荷抵抗 R で消費される電力も 内部抵抗 ri で消費される電力も共に等しく 1Wとなる 1W 1Wh 1Wh つまりこの場合、電池から取り出し得る最大電力を取り出していることになる 電池の性能として重要なものに電池の容量がある。容量とは電池に蓄えられているエネルギー量のことで、容量（mAh）＝放電電流（mA）×放電時間（h）で与えられる　 例えば 1000mAhの容量の電池の場合、1Aの電流を流し続けると、1時間でなくなる 従って上の例の場合、電池がなくなるまでに負荷が消費する電気エネルギーは1Wh 同じく 1Whのエネルギーが、電池の内部抵抗で熱となって消費される

乾電池の経済的な使い方 次に、この電池に R =3Wの負荷抵抗を繋いだ場合を考えてみよう E =2V ri =1W R =3W 0.5A 0.5Wh この場合、負荷抵抗 R に流れる電流は 0.5A 1.5Wh 従ってこの場合、 R で消費される電力は 0.75Wである 一方、内部抵抗 ri で消費される電力は 0.25Wとなる 1000mAhの容量の電池の場合、0.5Aの電流なら2時間流し続けることができる 従ってこの場合、電池がなくなるまでに負荷が消費する電気エネルギーは1.5Wh 一方、 電池の内部抵抗では、 0.5Whのエネルギーが熱となって消費される じゃあ、負荷抵抗 Rが 9Wの場合どうなるのか、考えてみてください E =2V ri =1W R =9W 0.2A 0.04W 0.36W 0.2Wh 1000mAhの容量の電池の場合、0.2Aの電流なら5時間流し続けることができる 1.8Wh この場合、電池がなくなるまでに負荷が消費する電気エネルギーは1.8Wh 一方、 電池の内部抵抗では、 0.2Whのエネルギーが熱となって消費される

インピーダンス整合 インピーダンス整合条件とは、 |Z| = |Z0| E Z0= R0+jX0 Z= R+jX 特に、Z = Z0* 即ち、 R = R0, X = −X0の時を 共役整合と言い、この時電源から最大電力を取り出せる 左側 右側 或いは を反射係数と言う Z0 = R0の時、r = r’ :電力(パワー)反射率 P を負荷で消費される電力とすると、 Pmax を負荷に向かう電力 より、 Z = R+jX 負荷から反射される電力 の関係が成り立つ P: 負荷で消費 　　される電力 インピーダンス整合条件においては、負荷で消費される電力は最大となり、特に共役整合においては、負荷に向かう電力 Pmax は全て負荷で消費され(P = Pmax )、反射電力はゼロとなる

信号源からの電力取り出し 例えば放送局などで、送信機から信号電力を取り出してアンテナへ送る場合 ← アンテナの記号 送信機 ←　アンテナの記号 送信機 そこで整合回路を用い、整合回路の左右のインピーダンスが等しくなるようにしてやれば、送信機の電力を効率よくアンテナに伝えることができる 従って、これらを直接接続しても|Z0| ≫ |Z| のため、信号電力はアンテナに殆ど伝わらない 整合回路 Z0 jwL Z Z 真空管の場合 プレート損失と言う 送信機の終段真空管の出力インピーダンス Z0は通常数kWと高い 一方、アンテナのインピーダンス Zは通常50Wや75Wと低い ただし、このインピーダンス整合がとれるのは、ある特定の周波数 w の近傍のみ。周波数が大きくずれると、インピーダンス整合条件は崩れる また、アンテナに送られる電力に等しい電力が、送信機内で熱となって消費される

インピーダンス整合回路 インピーダンスが不整合状態の左右の回路間で、電力または信号を効率良く伝達させるために、インピーダンス整合(マッチング)回路が用いられる 例題8.7　L型インピーダンス整合回路の例 jX1 jX2 Zin Zout |Zin| < |Zout|の時 |Zin| > |Zout|の時 ZL 整合回路 ZR ZL ≠ ZR TVアンテナ用各種インピーダンス整合器(75⇔300Ω変換用) (マスプロ社製) (マスプロ社製) (ビクター社製)

L形インピーダンス整合回路 問題 特性インピーダンスの値が300Wのフィーダーを、特性インピーダンスが75WのアンテナにL形インピーダンス整合回路を介して繋ぎたい、具体的にどのような整合回路となるか?　ただし、使用する周波数は1MHzである。 |Zin| > |Zout|なので、以下のL形整合回路を用いる ヒント jX2 jX1 Zin= 300W Zout= 75W フィーダー アンテナへ Zin, Zout などは、リアクタンス分を含まない実抵抗 Rと考えてよい 1 1’ 整合回路 端子1-1’から右を見たインピーダンスが300Wとなるような X1, X2の値を求め、それに対する具体的素子をあてはめれば良い。 X1がコイル L, X2がキャパシタ Cの場合と、その逆の X1が C, X2が Lの場合の2通りの実現方法が考えられるので、両方の場合について求めよ。

L形インピーダンス整合回路 jX2 jX1 R1= 300W R2= 75W 1 1’ 解答 従って、 上式が成り立つには、 上式からX1, X2 を求めると、 (ただし、複合同順)

L形インピーダンス整合回路 X1 > 0, X2 < 0の場合、右に示すようなL と Cからなる整合回路となる jX2 jX1 1230 pF 27.6 mH X1 < 0, X2 > 0の場合、右に示すようなL と Cからなる整合回路となる jX2 jX1 C L 20.7 mH 919 pF

インピーダンス整合 [4] X/R一定、|Z|可変の場合 n : 1 E Z0 E Z0= R0+jX0 Z= R+jX (一定) n2Z Z = 8W 高インピーダンス アンプ スピーカー マッチングトランス Z n : 1 E Z0 Z 左側を見たインピーダンス: Z0 右側を見たインピーダンス: n2Z 左右を見たインピーダンスの絶対値が等しい時、 左側 右側 つまり n2|Z|=|Z0| の時、インピーダンス整合条件 従って、負荷 Z で消費される電力は最大となる

消費電力最大の問題 演習問題(8.17) R で消費される電力が最大となるように R の値を定めよ 電源側 負荷側 E r R −jX jx 電源側のインピーダンスは、 これの絶対値に R を等しくとると、

消費電力最大の問題 例題 8.8 以下の回路で、R で消費される電力が最大となる可変回路素子の値を求めよ 電源側 負荷側 電源側 負荷側 E R0 R E jX0 R J jX0 R R0 (a) (b) (c) 電源側、負荷側でのインピーダンス整合([4]のケース)と考えて、 R = R0 電源側、負荷側でのインピーダンス整合([4]のケース)と考えて、 R = X0 電源側、負荷側でのインピーダンス整合([4]のケース)と考えて、

消費電力最大の問題 例題 8.8 以下の回路で、R で消費される電力が最大となる可変回路素子の値を求めよ E jX0 R −jX E jX0 (d) (e) (f) R 一定、X 可変の[1]のケースと考えると、 X0 = 0 この問題を電圧源型で考えると、実部も虚部も X の変数となってしまい、解析的に解けない。その場合は、電圧源を等価な電源源に変換し、電流源型として考えると、解析的に解けるようになる。 この問題も (e) と同様に電流源型として考える。

消費電力最大の問題 まず、(e)の問題を電圧源型(インピーダンス)で考えてみよう。 電源側 負荷側 負荷インピーダンス E jX0 Z R E jX0 この場合、負荷の実部も虚部も X の変数となってしまい、解析的には解けない。 従って、アドミタンスで考えてみよう。

消費電力最大の問題 電源を等価な電流源に変換して、アドミタンスで考えてみよう。 電源側 負荷側 電源側 負荷側 −jX E jX0 R 電源側、負荷側のアドミタンスを各々 Y0, Y とすると、 2枚目のスライドの電流源型で考えると、 に相当するので、R で消費される電力が最大となる X の値は、 より、 即ち、

消費電力最大の問題 次に、(f)の問題を考えてみよう。まず、電圧源型(インピーダンス)で考えてみる。 電源側 負荷側 電源を等価な電圧源に変換すると、 J jX0 R −jX jX0 R −jX E 電源側、負荷側のインピーダンスを各々 Z0, Z とすると、 従って、R で消費される電力が最大となる X0 の値は、 となり、簡単には求められない。

消費電力最大の問題 そこで、アドミタンス(電流源型)で考えてみる。 電源側 負荷側 電源側 負荷側 J jX0 R −jX B jX0 G 電源側、負荷側のアドミタンスを各々 Y0, Y とすると、 即ち、 R で消費される電力が最大となる X0 の値は、 より、 即ち、

電力の保存則 ある回路中の各電源(理想電源)が発生する瞬時電力の総和と、その他全ての回路素子が受け取る瞬時電力の総和は相等しい　(言い換えると、回路中の全ての素子が出す瞬時電力の総和はゼロである) コイルやキャパシタ、変成器などのリアクタンス素子は電力を消費しない(一時的に蓄積することはある)ことを考えると、電源の実効電力の総和は、抵抗素子で消費される電力の総和に相等しい テレゲン（Tellegen）の定理 回路の各枝を流れる電流と、枝間の電位差の積の和は0となる 例えば、N本の枝を持つ回路で、 i 番目の枝を流れる電流を Ii (t) 、枝間の電位差を Vi (t) とし、電流の流れる方向に電圧降下が起こるとすると、 が成り立つ