Time Reversal E-Text: pp.80-83(PDF: pp.49-50) FM08002 太神 諭 2.6 時間反転 Time Reversal E-Text: pp.80-83(PDF: pp.49-50) FM08002 太神 諭

2.6 時間反転 時間反転・時間反転性の概念はとても生産的！ Markov連鎖 Monte Carloシミュレーション(Ch. 7) 2.6　時間反転 時間反転・時間反転性の概念はとても生産的！ Markov連鎖 Monte Carloシミュレーション(Ch. 7) 待ち行列定理(Ch. 9) これらの分野では特に！

2.6.1 反転連鎖 {Xn}n>0はHMC 行列Qを定義 遷移行列 Pをもつ 2.6.1　反転連鎖 {Xn}n>0はHMC 遷移行列 Pをもつ 任意の状態 i で式(6.1)で示すような一様分布をもつ 行列Qを定義 QはEによりインデックス付けされている Qの各要素において …(6.1) …(6.2)

ある状態 i から任意の状態 j に行く確率の和が1 2.6.1　反転連鎖 Qは確率的 式(5.2) 　　　　　　　　　　　　より ある状態 i から任意の状態 j に行く確率の和が1

2.6.1 反転連鎖 Qは確率的である Qは時間が反転した初期連鎖の遷移行列 π は{Xn}の初期分布と仮定する Bayesの定理から 2.6.1　反転連鎖 Qは確率的である π は{Xn}の初期分布と仮定する Bayesの定理から Qは時間が反転した初期連鎖の遷移行列 …(6.3) 式(6.3) 式(6.3) 式(6.2) …(6.3)

2.6.1 反転連鎖 定理6.1 反転テスト Pは加算集合Eでインデックス付けされた確率行列 πはE上の確率分布 2.6.1　反転連鎖 定理6.1　反転テスト Pは加算集合Eでインデックス付けされた確率行列 πはE上の確率分布 QはEでインデックス付けされた確率行列 πはPの一様分布 …(6.5)

2.6.1 反転連鎖 定理6.1 反転テストの証明 固定された i ∈ Eに対して式(6.5)をjについて加算 これより 2.6.1　反転連鎖 定理6.1　反転テストの証明 固定された i ∈ Eに対して式(6.5)をjについて加算 これより 定義5.1よりπはPの一様分布

2.6.1　反転連鎖 問題6.1　負の時間への一様連鎖の拡張 任意の i ∈ E に対して π(i) > 0 となるような一様分布πに対応する一様な状態において 問題2.6.2を参照 時間反転 拡張 負の時間

2.6.2 時間反転性 定義6.1 可逆性連鎖 この場合 式(6.6)が成立するとき 2.6.2　時間反転性 詳細平衡式 定義6.1　可逆性連鎖 式(6.6)が成立するとき 正の一様分布 π を初期分布にもつMarkov連鎖を可逆性であるという この場合 HMCの分布が初期分布と遷移行列から決定される(定理1.1) 連鎖と時間反転連鎖は統計的に等しい …(6.6)

2.6.2 時間反転性 推論6.1 詳細平衡式 Pは加算空間E上の遷移行列 πはE上の確率分布 式(6.6)が成立する πはPの一様分布 2.6.2　時間反転性 推論6.1　詳細平衡式 Pは加算空間E上の遷移行列 πはE上の確率分布 式(6.6)が成立する πはPの一様分布 …(6.6)

2.6.2 時間反転性 問題6.2 Ehrenfestの壺（問題2.6より） 区画A 区画B 粒子の個数(時間n) i N - i 2.6.2　時間反転性 問題6.2　Ehrenfestの壺（問題2.6より） 区画A 区画B 粒子の個数(時間n) i N - i 粒子の個数(時間n+1) i - 1 i + 1

2.6.2 時間反転性 問題6.2 Ehrenfestの壺（問題2.6→5.2） 詳細平衡式 区画A 区画B 区画A 区画B i - 1 2.6.2　時間反転性 問題6.2　Ehrenfestの壺（問題2.6→5.2） 詳細平衡式 区画A 区画B 区画A 区画B i - 1 N – i +1 i + 1 N – i - 1 i i

2.6.2　時間反転性 問題6.2　Ehrenfestの壺（問題5.2より） 詳細平衡式 境界状態 一様分布

2.6.2 時間反転性 問題6.2 Ehrenfestの壺（問題2.6, 5.2の続き） 一様分布 に対して 詳細平衡式 2.6.2　時間反転性 問題6.2　Ehrenfestの壺（問題2.6, 5.2の続き） 一様分布 に対して 詳細平衡式 を調べることは容易である 詳細平衡式が成立ならば可逆である

2.6.2　時間反転性 問題6.2　Ehrenfestの壺（問題2.6, 5.2の続き） より

2.6.2　時間反転性 問題6.3　一般化マウス 問題3.2で見られる迷路でのマウスの動きを抽象 グラフ上のランダムウォークと呼ばれる

2.6.2 時間反転性 問題6.3 一般化マウス（グラフ上のランダムウォーク） 有限の方向付けされていないグラフを考慮する 2.6.2　時間反転性 問題6.3　一般化マウス（グラフ上のランダムウォーク） 有限の方向付けされていないグラフを考慮する Eをこのグラフの頂点（ノード）の集合とする ノード i に「隣接した」線の数を di とする

2.6.2 時間反転性 問題6.3 一般化マウス（グラフ上のランダムウォーク） グラフを方向付けされたグラフへ変化させる 2.6.2　時間反転性 問題6.3　一般化マウス（グラフ上のランダムウォーク） グラフを方向付けされたグラフへ変化させる それぞれの線を2方向に方向付けされた2線に変化させる ノード i からノード j に遷移確率 1/di で遷移する遷移グラフにする

2.6.2 時間反転性 問題6.3 一般化マウス（グラフ上のランダムウォーク） 任意の状態 i において di > 0 と仮定する 2.6.2　時間反転性 問題6.3　一般化マウス（グラフ上のランダムウォーク） 任意の状態 i において di > 0 と仮定する 一様分布は 　によって与えられる（第3章参照） 推論6.1を用いて連鎖は可逆であると推測できる 一様分布をえて、連鎖の反転性が証明される を調べることで

2.6.2　時間反転性 問題6.3　一般化マウス（グラフ上のランダムウォーク） より

2.6.2 時間反転性 問題6.4 生と死（問題5.6, 5.7より） 問題5.6 問題5.7 i N i-1 i+1 i i-1 i+1 2.6.2　時間反転性 問題6.4　生と死（問題5.6, 5.7より） 問題5.6 問題5.7 i N i-1 i+1 i i-1 i+1 1 N 1 N-1 N

2.6.2　時間反転性 問題6.4　生と死（問題5.6より） 詳細平衡式 境界状態

2.6.2　時間反転性 問題6.4　生と死（問題5.6, 5.7より） 問題5.6 問題5.7

2.6.2 時間反転性 問題6.4 生と死 問題5.6, 5.7において一様分布 π が存在する 任意の i ∈Eにおいて 詳細平衡式 2.6.2　時間反転性 問題6.4　生と死 問題5.6, 5.7において一様分布 π が存在する 任意の i ∈Eにおいて 詳細平衡式 　は有効である

2.6.2　時間反転性 問題6.4　生と死