計測工学 - 測定の誤差と精度 2- 計測工学 2009 年 4 月 28 日 Ⅱ限目. 授業内容 2.1 数値計算における誤差 2.2 計算過程での誤差 2.3 測定の精度.

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1 計測工学 - 測定の誤差と精度 2- 計測工学 2009 年 4 月 28 日 Ⅱ限目

2 授業内容 2.1 数値計算における誤差 2.2 計算過程での誤差 2.3 測定の精度

3 授業内容 2.1 数値計算における誤差 2.2 計算過程での誤差 2.3 測定の精度

4 授業内容 2.1 数値計算における誤差 2.2 計算過程での誤差 2.3 測定の精度

5 2.2 計算過程での誤差 誤差 (error) ：測定値の不確かさ 測定値から真の値を差し引いたもの

6 2.2.1 桁落ち 同程度の大きさの数の減算による誤差が最大 以下の 2 つによって、誤差を小さくする 1) 必要とする桁数より１～ 2 桁以上余分に使用 2) 計算方法の工夫 有効数字は元の数の有効数字よりのうち、 最小のものより大きくならない

7 2.2.1 桁落ち 計算における誤差の原因 (1) 丸め誤差 四捨五入、切上げ、切捨て (2) 打切り誤差 無限級数を有限で打ち切る (3) 桁落ち 減算のしくみ

8 2.2.1 桁落ち 計算における誤差の原因 (1) 丸め誤差 四捨五入、切上げ、切捨て (2) 打切り誤差 無限級数を有限で打ち切る (3) 桁落ち 減算のしくみ

9 2.2.2 算術の工夫 1) 加算の例 不揃いの桁をある有効数字で統一して計算 ( 数値群の最小の有効桁数に統一 ) 2) 減算の例 “ 同程度の大きさの減算 ” において大きな誤差 が発生する原因 ルートの減算時は共役数をかける 3) 乗算の例

10 2.2.2 算術の工夫 3) 乗算の例 測定値に数をかけるとき、確度の高い数は桁 数を多くとって演算

11 授業内容 2.1 数値計算における誤差 2.2 計算過程での誤差 2.3 測定の精度

12 2.3.1 誤差の種類 (1) 系統誤差 (2) 偶然誤差 (3) 間違い誤差 (4) 誤差の公理

13 2.3.1 1) 系統誤差 ある測定環境下で一定のかたよりを与える誤差 ・測定器固有の誤差 ( 器差 ) ・目盛りのくるい ・地磁気などの環境条件 ・測定者のくせ etc. 経験による誤差の補正が可能 根本的解決には別の測定条件、装置を検討

14 2.3.1 2) 偶然誤差 種々の細かな原因に起因するばらつき誤差 ・気温の変動 ・計器の振動 ・測定者の姿勢・心理 ・その他雑音 etc. 原因は多種にわたり特定は極めて困難 誤差は正規分布に基づく

15 2.3.1 3) 間違い誤差 測定者に起因する人的誤差 ( ヒューマンエラー ) ・不注意 ・記録の誤り ・測定手順の過失 etc. 原因は測定者など人間 外れ値が出たとしても、明らかに間違いでな ければ測定値を除外すべきではない

16 2.3.1 4) 誤差の公理 1) 小さい誤差が起こる確率は大きい誤差 が起こる確率よりも大きい 2) 絶対値が同じで正負の誤差が起こる確 率は相等しい 3) はなはだ大きな誤差の起こる確率は零 全ての誤差は正負の両極限値の間に存在

17 2.3.2 記号 Σ と exp の意味 計測において頻出する単語 1) Σ(sigma : シグマ ) 1 行に並んだ変数を加算 2) exp(exponent : 指数、累乗 ) e x または exp(x) と表現 e ： 自然対数の底、恒数 = 2.718281828…

18 課題 4 に取り組む エクセルの使用方法を学ぼう！

19 2.3.3 誤差の正規分布 (1) 正規 ( ガウス ) 分布とは ガウスは誤差の公理を基に算術平均の原理を 用いて偶然誤差の確率分布を導いた。 真の平均値 μ と標準偏差 σ によって正規分布曲 線 f(x) が与えられる。 (2.8) 式を参照 =: 定義 N() ：平均値 μ 、分散 σ 2 の正規分布

20 2.3.3 誤差の正規分布 1) 正規 ( ガウス ) 分布とは 確度指数 h ：正確度を表す指数 h = 1 / (√2) * σ

21 2.3.3 誤差の正規分布 (2) 正規分布で使用される各種パラメータ 1) 母平均 (μ:population mean) ：母集団の平均 2) 真値 (T) ：精度を最良にして得る値 母集団の平均を真値とみなす μ=T

22 2.3.3 誤差の正規分布 (2) 正規分布で使用される各種パラメータ 3) 推定値 (estimated value): 標本 ( 資料 ) 平均値 4) 標本平均 (M) ：標本 ( 資料 )M i の N 回測定の平 均 算術平均 (arithmetic mean) が一般的に精度 が高いと考えられ、測定回数が多ければ真 値に限りなく近づく ( 大数の法則 )

23 2.3.3 誤差の正規分布 (2) 正規分布で使用される各種パラメータ 5) 誤差 (e i : error) e i = M i –T 誤差率： ±(e i / T)×100% 6) かたより (δ: bias): 母平均と真値の差 δ=μ － T

24 2.3.3 誤差の正規分布 (2) 正規分布で使用される各種パラメータ 7) 残差 (r i : residue): 測定値と標本平均値との差 r i = M i – M または x i - x 8) 偏差 (d i : deviation): 測定値と母平均値との差 d i = M i -μ

25 2.3.4 精密さ・正確さ 1) 精密さ (precision) ： ばらつき ( 偶然誤差 ) の小さい程度 良い、悪いで判断 2) 正確さ (trueness) : かたより ( 系統誤差 ) の小さい程度 良い、悪いで判断 3) 精度 (accuracy): 測定量の真の値との 一致の度合い