統計学勉強会 ～カイ二乗検定～ 地理生態学研究室 3 年 髙田裕之. カイ二乗検定とは 期待値・理論値が存在するときに用いる。 一般的にはピアソンのカイ二乗検定のことを指す。 ノンパラメトリックな検定である。 適合度検定と独立性検定がある。

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1 統計学勉強会 ～カイ二乗検定～ 地理生態学研究室 3 年 髙田裕之

2 カイ二乗検定とは 期待値・理論値が存在するときに用いる。 一般的にはピアソンのカイ二乗検定のことを指す。 ノンパラメトリックな検定である。 適合度検定と独立性検定がある。

3 適合度検定の例 東邦大学の学生の男女比は [1:1] と言えるか。 独立性検定の例 東邦大学の理学部と薬学部で男女比に差があると 言 えるか。

4 カイ二乗値 観測値と期待値の差の 2 乗を期待値で割った値の総 和。 χ2 ＝χ2 ＝ Σ n i=1 (Oi－Ei)2(Oi－Ei)2 EiEi O ：観測値 E ：期待値 期待値と観測値の差が小さいほど 0 に近付く。 期待値と観測値の差が大きいほど大きくなる。

5 カイ二乗分布 カイ二乗値をプロットした曲線。 自由度により異なる。 自由度 =1 自由度 =3 自由度 =8 20151050 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

6 カイ二乗分布のイメージ（自由度 1 の場 合） 赤と白のボールが 100 個ずつ入った箱から、無作為に 10 個 のボールを取ると、赤と白が 5 個ずつとなる確率が最も大き く、 10 個 0 個に近付くに従って確率は小さくなる。 この確率の分布したものが自由度 1 の時のカイ二乗分布であ る。 >

7 自由度 1 の時のカイ二乗分布 95 ％ 3.84 8642010 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

8 カイ二乗分布のイメージ（自由度 5 の場 合） サイコロを 120 回振って、出た目の数を記録する。すると、 全てが 20 回ずつとなる確率は 0 に近く、ある程度バラつく 確率が最も大きい。さらにバラつく確率は小さくなってい く。 ^ ^ ^ 11.07 95 ％ 0.00 0.10 0.05 0.15 15105020

9 0.95 の時のカイ二乗値表 自由度 12345678910 χ2 χ2 3.845.997.829.49 11.0 7 12.5 9 14.0 7 15.5 1 16.9 2 18.3 1 自由度 152025304050607080100 χ2 χ2 25.0 0 31.4 1 37.6 5 43.7 7 55.7 6 67.5 0 79.0 8 90.5 3 101. 9 124. 3 この値よりカイ二乗値が大きければ、帰無仮説を棄却する。 この値よりカイ二乗値が小さければ、帰無仮説を採用する。

10 例題① 現在東邦大学理学部では、男子 1500 名、女子 900 名が在籍 している。また、地理生態学研究室では、男子 13 名、女子 7 名が在籍している。これは、理学部の男女比と同じだと言 えるか。 地理生態学研究室の男女の人数の期待値は 男： 女 : カイ二乗値は 今回の自由度は 1 。また 1.07 は 3.84 より小さいため帰無仮説を採用する。 したがって、理学部と地理生態学研究室の男女比は同じだと言える。 20× ＝ 12.5 1500 1500 ＋ 900 20× ＝ 7.5 900 1500 ＋ 900 (13 － 12.5) (7 － 7.5) 12.5 7.5 ＋ ＝ 1.07

11 > geoeco <-c(13,7) > pn <-c(1500,900)/(1500+900) > chisq.test(x=geoeco, p=pn) Chi-squared test for given probabilities data: geoeco X-squared = 0.0533, df = 1, p-value = 0.8174 Ｒ でやってみる P 値＞ 0.05 であるから、帰無仮説は棄却できない。 よって、理学部と地理生態学研究室の男女比は同じ。

12 例題② ある年の生物学科の学生の進路を示した。 男女で、就職・進学・教職の割合に差はあるか。 就職進学教職 男子 38247 女子 32118

13 就職進学教職合計 男子 3824770 女子 3211850 合計 703515120 就職進学教職合計 男子？？？ 70 女子？？？ 50 合計 703525120 就職進学教職合計 男子 4120970 女子 2915650 合計 703515120 合計の比から期待値を算出する。

14 カイ二乗値を算出する。 (38 － 41) 2 (24 － 20) 2 (7 － 9) 2 (32 － 29) 2 (11 － 15) 2 (8 － 6) 2 41 20 9 29 15 6 + + + + + = 3.51 正確には 2.82 今回の自由度は 2×1 で 2 。カイ二乗値 3.51 は 5.99 より小さいため帰 無仮説を採用する。 したがって、男女で進路の比に差はないと言える。

15 > shinro <-matrix(c(38,24,7,32,11,8),ncol=3,byrow=T) > rownames(shinro) <-c("men","women") > colnames(shinro) <-c("syusyoku","shingaku","kyosyoku") > shinro syusyoku shingaku kyosyoku men 38 24 7 women 32 11 8 > chisq.test(shinro) Pearson's Chi-squared test data: shinro X-squared = 2.7719, df = 2, p-value = 0.2501 Ｒ でやってみる P 値＞ 0.05 であるから、帰無仮説は棄却できない。 よって、男女で進路の比に差はない。