母平均の区間推定 ケース２ ・・・ 母分散 σ ２ が未知 の場合 母集団（平均 μ 、分散 σ ２） からの N 個の無作為標本から平均値 が得られてい る 標本平均は平均 μ 、分散 σ ２ ／Ｎの正規分布に近似的に従 う 信頼水準１－ α で区間推定 95 ％信頼水準 α=0.05 99% 信頼水準.

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1 母平均の区間推定 ケース２ ・・・ 母分散 σ ２ が未知 の場合 母集団（平均 μ 、分散 σ ２） からの N 個の無作為標本から平均値 が得られてい る 標本平均は平均 μ 、分散 σ ２ ／Ｎの正規分布に近似的に従 う 信頼水準１－ α で区間推定 95 ％信頼水準 α=0.05 99% 信頼水準 α=0.01

2 標本平均が前提区間の最大値の位置にある場合（母平均の信頼区間の最小 値） 標準化 母分散 σ ２ が既知 ：標準正規分布においてその 上側確率が α ／ 2 となる値 母分散が既知

3 標本平均が前提区間の最大値の位置にある場合（母平均の信頼区間の最小 値） ：自由度 n-1 のｔ分布においてそ の 上側確率が α ／ 2 となる値 標準化 母分散 σ ２ が未知 不偏分散 を 使う 自由度 n-1 のｔ分 布 母分散が未知

4 標本平均が前提区間の最小値の位置にある場合（母平均の信頼区間の最大 値） ：自由度 n-1 のｔ分布においてそ の 下側確率が α ／ 2 となる値 標準化 母分散 σ ２ が未知 不偏分散 を 使う 自由度 n-1 のｔ分 布

5 信頼水準１－ α での母平均の区間推定 （母分散が未知の場合） まとめ 自由度 n-1 のｔ分 布 標本平均が前提区間の最大値に位置している場合 ：自由度 n-1 のｔ分布においてその 下側確率が α ／ 2 となる値 自由度 n-1 のｔ分布 標本平均が前提区間の最小値に位置している場合 ：自由度 n-1 のｔ分布においてその 上側確率が α ／ 2 となる値 母集団からの n 個の無作為標本から標本平均値 が得られている。この時、標 本不偏分散が とすると、母平均 μ の信頼水準１－ α の信頼区間は下式で与え られる。

6 適用例 母平均の区間推定 （母分散が未知の場合） ３６個の標本から標本平均 100 と不偏分散 144 が得られている。この時、信頼水準 95 ％ と 99 ％の信頼区間を求めよ 95%99% 不偏分散 144 が母分散だとしたら 95%

7 ｔ分布と正規分布 正規分布 自由度５のｔ分 布 広い 狭い

8 標本比率の分布 母比率 π の母集団からのｎ個の無作為標本に基づく標本比率ｐの分布 平均 π 、分散 π （１－ π ）／ｎ の正規分布で近似できる 分散は？ → 既知 又は 未知 ？ 分散は未知 → どのように推定する か？ 分散が既知（ π （１－ π ）） 分散は未知 ← 母分散 π が既知 ×○×○ 標本比率 p を用い る 標本比率の分布の分散は p(1-p) ／ n とする 標本比率を議論する場合には標本数が多いことが前提 平均 π 、分散 ｐ（１－ｐ）／ｎ の正規分布で近似でき る

9 その１：標本比率が前提区間の最大値の位置にある場合（母比率の信頼区間の最小 値） 標準化 ：標準正規分布においてその 上側確率が α ／ 2 となる値 母比率の区間推定（信頼水準１－ α ） π － a π π+a

10 その２：標本比率が前提区間の最小値の位置にある場合（母比率の信頼区間の最大 値） 標準化 ：標準正規分布においてその 下側確率が α ／ 2 となる値 母比率の区間推定（信頼水準１－ α ） π － a π π ＋ a

11 信頼水準１－ α での母比率の区間推定 まとめ 標本比率が前提区間の最大値に位置している場合 標本平均が前提区間の最小値に位置している場合 母集団からの n 個の無作為標本から標本比率 が得られている。この時、母比率 π の信頼水準１－ α の信頼区間は下式で与えられる。 ：標準正規分布においてその 上側確率が α ／ 2 となる値 ：標準正規分布においてその 下側確率が α ／ 2 となる値

12 適用例 母比率の区間推定 100 個の標本から標本比率 0.5 が得られている。この時、母比率の信頼水準 95 ％と 99 ％ の信頼区間を求めよ 95%99%

13 区間推定の精度に基づく標本数の決定 ①母分散が既知の場合の、ｎ個の標本に基づく標本平均の区間推定 信頼区間の長さは？ 精度の高い（区間幅の狭い）予測値を得るために は？ 標本数を多くす る 区間幅をある値 a より小さくするためには？

14 ②母分散が未知の場合の、ｎ個の標本に基づく標本平均の区間推定 区間幅をある値 a より小さくするためには？ ③ｎ個の標本に基づく標本比率の区間推定 の値は過去の類似調査を参考とす る 区間幅をある値 a より小さくするためには？ ● P の値は過去の値を参考とする ● 安全を見越すとすれば p(1-p) は p=0.5 の時最大値となる → p=0.5 を用い る

15 例 ： 区間推定の精度に基づく標本数の決定 ①標本平均の区間推定の精度に基づく標本数の決定（母分散が既 知） 母分散が 100 の時、信頼係数 95 ％の信頼区間の幅を５以内 に抑えたい ②母分散が未知の場合の、ｎ個の標本に基づく標本平均の区間推定 不偏分散が 100 の時、信頼係 数 95 ％の信頼区間の幅を５以 内に抑えたい ③ｎ個の標本に基づく標本比率の区間推定 TV 番組の視聴率調査をする。 この時、信頼係数 95 ％の信頼 区間の幅を５％以内に抑えた い 安全を見込めば TV 番組の視聴率で あることを考えれ ば N=64