5 章 標本と統計量の分布 湯浅 直弘. 5-1 母集団と標本 ■ 母集合 今までは確率的なこと これからは，確率や割合がわかっていないとき に， 推定することが目標． 個体：実験や観測を行う 1 つの対象 母集団：個体全部の集合  ・有限な場合：有限母集合 → １つの箱に入っているねじ．  ・無限な場合：無限母集合.

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1 5 章 標本と統計量の分布 湯浅 直弘

2 5-1 母集団と標本 ■ 母集合 今までは確率的なこと これからは，確率や割合がわかっていないとき に， 推定することが目標． 個体：実験や観測を行う 1 つの対象 母集団：個体全部の集合  ・有限な場合：有限母集合 → １つの箱に入っているねじ．  ・無限な場合：無限母集合 → 将来つくられると思われる ねじ．

3 ■ 調査と標本 全数調査：母集団の個体すべてを調べるこ と．  例：国勢調査，ファラの下ネタ発言  無限母集合は全数調査はできない．  ※全数調査は多大な労力，費用，時間がかかる． ↓ 一部から，効率よく傾向や特性などが分か れば嬉しい．

4 標本に関する用語 標本調査：母集団から 1 部の個体を抽出して特性 を推測する 標本抽出：母集団から 1 つの固体を抽出する 標本：抽出した固体の集合 標本の大きさ：個体の総数 無作為抽出：特性を推測するため，無作為に抽 出． 無作為標本：無作為抽出によって取り出された 標本．

5 ■ 乱数表 乱数：無作為に抽出するための１つの手法とし て用いる． 乱数表：０から９までの数字を同確率で独立に 並べたもの． P.212 ・復元抽出：重複を認める ・非復元抽出：重複を認めない． 層別抽出：母集団を性別や年齢などの層に分け て， それより抽出を行う手法． より正確な情報が得られる．

6 例題 例 100 人の学生の中から 10 人を無作為抽出す る． 解 00 から 99 まで番号付けする 乱数表から 2 桁ずつを 1 つの数字として 10 個抽出． 今回は乱数表の 10 行目から抽出した． 96 ｜ 75 ｜ 41 ｜ 76 ｜ 76 ｜ 55 ｜ 65 ｜ 94 ｜ 41 ｜ 05 ｜ 47 この番号付けされた学生を抽出すればよい．

7 5-2 標本の整理 ■ 度数分布 抽出した標本から母集団の特性を推測す るために標本を整理する． 数値の範囲を区間に分けて，標本の個数 を数える． 階級：各区間のこと． 度数：その区間に入る標本の個数．

8 度数分布表．

9 身長の度数分布表

10 ■ 標本平均 抽出した標本の平均値． 標本の大きさｎ，各標本の値 x1,x2,x3...xn 全体ではなく，抽出した標本についての算術平均． ・中央値 (median) ：標本の値を並べたときの中央にあ る値． ・奇数なら，ちょうど真ん中． ・偶数なら，真ん中の値の平均を取る． ・最頻値 (mode) ：度数分布表で度数のもっとも大きい 階級の標識の値． ( 一番出現する値.)

11 例題 ※例１．乱数を 100 個取得して，その値から度数分布表を生成． その値から標本平均を求める． ※例 2 ．身長の度数分布から標本平均を求める． 標本値を用いたとき 全員の測定値を標本としたとき 度数分布は全員の計測値を元に計算した値のため，近似してい る．

12 ■ 標本分散 標本のばらつきを示す量. 各標本値と標本 平均との差を 2 乗した値． 標本標準偏差：標本分散の平方根 s  標準分散 σ^2 は全体が分かっているときの分散  標本分散 s^2 は全体から抽出した標本について 計算した値．

13 5-3 統計量の性質 ■ 母集団の分布 母集団分布：有限母集団の数値付けを行った個 体に対して確率変数に従うときの値． 母集団分布の特性 母数 ・母平均： μ ・母分散： σ^2 ・母標準偏差： σ ・母比率：ある特性を持っている個体の割合

14 例題 不良品が 20 本含まれているねじ 100 本を母集 団とする． 不良品には 1 ，正常品 0 と数値付ける． 母平均 μ=1*0.2+0*0.8=0.2 母分散 σ^2={1-0.2}^2*0.2+{00.2}^2*0.8=0.16 不良品の割合母比率 p=20/100=0.2

15 ■ 標本の分布 標本値から母集団の分布を考える． 母集団から標本 xi を抽出するときの確 以上．率変数 Xi を標本確率変数という 標本確率変数の平均 ( 標本平均 ) 標本確率変数の分散 ( 標本分散 ) 標本平均の分布を知るには， 大きさｎの標本から多数回 x~ を計算することが重要

16 ■ 標本平均の期待値と分散 標本平均の期待値 E[X]=μ( 母集団の平均 ) 標本平均の分散 E[(X-μ)^2]=σ^2( 母集団の分散 )

17 標本平均の期待値は母平均に等しい．

18 標本平均の分散は母分散を標本の大きさ で割ったものに等しい

19 ■ 標本分散の期待値 標本分散 S^2 の期待値は母分散で表せる．  標本分散の期待値は母分散 σ^2 の (n-1)/n 倍に等しい．

20 終わり．

21 標本空間に対する確率変数では根元事象に対し て数値を対応させたもの． 例えば，サイコロを振るとき 1,2,...6 の数値に対 応する 6 個の根元事象のみを確率変数に含ませる． 確率が先に分かっているとき． 母集団に対する確率変数では無限回の測定の個 体を数値化して対応させたもの． 無限回の測定結果を確率変数に含ませる． 全数調査をして初めて決まる．