第６回授業（ 5/15) の目標 先回の第１章の WEB 宿題実行上の注意。 第３章の区間推定の基本的考え方を学ぶ（こ の途中までで、終了）。 第３章の母平均の区間推定に必要な数表の見 方を知る（岩原テキスト、 p.434, t- 分布表）。 テキスト p.13 の信頼区間はどのようにして得 られる？－信頼区間導出の概要について学ぶ。

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1 第６回授業（ 5/15) の目標 先回の第１章の WEB 宿題実行上の注意。 第３章の区間推定の基本的考え方を学ぶ（こ の途中までで、終了）。 第３章の母平均の区間推定に必要な数表の見 方を知る（岩原テキスト、 p.434, t- 分布表）。 テキスト p.13 の信頼区間はどのようにして得 られる？－信頼区間導出の概要について学ぶ。 検定と推定は、１つの関係式の見方の違いで あることを学ぶ。

2 第１章の WEB 宿題（５月１日分）実行上の注 意点 各自の学籍フォルダの下に作成した data フォルダの 下に、 TeraPad で 5/1 （金）の授業中に使った１０個 のデータは、 basic_stat.txt なるファイル名で保存。 各自が作成した sasprog フォルダの下に、千野の HP から basic_stat.sas なる SAS プログラムを保存し、 filename 文の basic_stat.txt へのパスの一部を修正保 存する。ただし、この時は、プログラム名はもとの ままとする。 出力結果は、各自が作成した sasout フォルダの下に basic_stat.lst なるファイル名で保存。

3 第１章の WEB 宿題（４月２４日分）実行上の 注意点 各自の data フォルダの下に既に作成したデータファ イル basic_stat.txt をコピーし、名前を basic_stat0.txt と変更したうえで、改めて TeraPad で開き、データの一部を削除・追加することにより 4/24 （金）の授業中に使った１０個に変えて上書き 保存する。 各自が sasprog フォルダの下に既に作成した SAS プ ログラム basic_stat.sas をコピーし、名前を basic_stat0.sas と変更したうえで、 filename 文の basic_stat.txt へのパスの一部を修正し上書き保存す る。 basic_stat0.sas の出力結果は、各自が作成した sasout フォルダの下に basic_stat0.lst なるファイル 名で保存。

4 母平均の区間推定とは？ （１） 標本 (sample) と母集団 (population) の違いを基 礎実験の１つであるミラーリエル錯視で考えて みよう。 例えば、３０度３０ mm 条件での２０名の被験者 の錯視量データを X 1, X 2, …,X 20 と書けば、この データセットは、当該錯視条件における標本で ある。 この標本の特徴を記述するには、第１章で学ん だ平均、標準偏差などを計算すればよい。

5 母平均の区間推定とは？ （２） 基礎実験では、これらの値を計算し、それらの値 をグラフにプロットし、錯視量に対して斜線分の 長さがどう影響するかを考察した（次のスライ ド）。 しかし、そこでの考察はあくまでも手にした２０ 個のデータ、すなわち標本についての情報のみか ら、データの特徴を記述したにすぎない。 このような特定の標本での数値の特徴ではなくて、 例えば、３０度３０ｍｍ条件で一般的に錯視量は どれぐらいかを推定できないだろうか。

6 基礎実験での考察課題の例 認知・行動領域のミラーリエル錯視実験 （１）斜線の長さ（ 15mm, 30mm, 45mm ）を変えた条件 下での錯視量を測定し、各条件の錯視量の平均値と SD を 計算し、「矢羽根の長さが錯視にどのような影響を及ぼ すか」を考察した。 斜線の長さ 15mm30mm45mm

7 母平均の区間推定とは？ （３） 特定の標本での数値の特徴ではなくて、例えば、 ３０度３０ｍｍ条件で一般的に錯視量はどれぐら いかという場合、我々は標本とそれが得られたも との数値の集まりを区別していることになる。 標本を抽出したもとの数値の集まりのことを、統 計学では母集団と呼ぶ（テキスト p.9 本文２行 目） 。 通常、母集団の数値の数は無限であると考えるこ とが多い。そのような母集団は、無限母集団 （ infinite population) と呼ばれる（テキスト p.9 本文４行目）。 このことを図式化すると、つぎのスライドのよう になる。

8 統計的推定・検定の基本的な考え方－ １ 母集団と標本の関係 我々が手にするデー タ は、大きな数値の集ま り から抽出された標本で あ り、特定のもの。 一方、大きな数値の 集 まりから成る集団は、 母 集団と呼ばれる。検定 の 文脈では、通常、無限 母 集団が仮定される。 母集団 無作為抽出 標本

9 統計的推定・検定の基本的な考え方－ ２ 母集団の数値について の特徴を調べるには、 数値の分布（母集団分 布）を考える必要があ る。 そうなると、母集団分 布の平均（母平均）や 標準偏差（母標準偏 差）を考える必要があ る。 手にした標本から母集 団の特性を推定したり 判断したりすることを、 推定・検定と呼ぶ。 母集団 推定・検定 標本

10 統計的推定・検定の基本的な考え方－ ３ 母集団の数値について の特徴を調べるには、 数値の分布（母集団分 布）を考える必要があ る。 そうなると、母集団分 布の平均（母平均）や 標準偏差（母標準偏 差）を考える必要があ る。 手にした標本から母集 団の特性を推定したり 判断したりすることを、 推定・検定と呼ぶ。 母集団分布（理論分布） 標本の分布（度数分布） μ σ 母標準偏差 母平均 標本平均 標本標準偏差 sxsx

11 第３章での母平均の区間推定の考え方 ここでは、例えば１０個 の標本からそれが抽出さ れたもとの集団、すなわ ち母集団の平均（母平 均）がどのぐらいになる かを推定する問題を扱う。 より具体的には、例えば １０個の標本の平均値等 から、それが得られた母 集団の平均値がある値か らある値（区間）に入る 可能性（確率）が例えば ９５％である、と推論 （区間推定）する。 母集団 推定・検定 標本

12 母平均の推定のための２つの方法 N 個の標本 x1, x2, …,xN から、それが抽出され た母平均の区間推定する方法には、２つの方法 がある。 １つは、母集団分布は未知、母分散（母標準偏 差）は既知、標本数が大の場合である（テキス ト、 pp.9-12 ）。 他方は、母集団分布が正規分布で、母分散（母 標準偏差）は未知の場合である（テキスト、 pp.12-13 ）。 正規分布とは、つぎのスライドにあるような対 称で釣鐘型の分布であり、統計学ではこの仮定 がこれまでは、よく用いられてきた。 この授業では、後者の場合の検定を学ぶ。

13 平均 μ 、分散 σ 2 の正規分布の特徴 μ,μ,μ-σ,μ-σ, μ+ σ,μ+ σ, μ +2 σ μ-2σ,μ-2σ, 34.13% 13.59% 2.15% 約７ 0% 約 95%

14 信頼区間導出の概要（参考） －１ テキスト p.13 の (3.18) 式は、後者の場合の母平 均の区間推定の公式である。これは、どのよう にして導かれるのであろうか？ その答えは、テキスト p.12 の最後から p.13 の最 初の式にある：

15 信頼区間導出の概要－１ この式の右辺の平均値は、平均 μ 0 の正規分布す る母集団からの N 個の標本から計算する。 この同じ平均を持つ母集団から、これとは異な る N 人の人の当該現象についてのデータを収集 すれば、少し異なる平均が得られよう。 この新たなデータの t 値を計算すると、以前と異 なる値となるだろう。つまり、 t の値は、 N 個の 標本を変えると、いろいろな値を取り得る、と 言える。

16 信頼区間導出の概要－２ つまり、 t は、同一母集団からの無作為サンプル であっても、標本を変えると異なる値になる。 ただし、標本を収集する前には、 t の値は決まら ない。 言い換えると、 t は標本を収集する前の段階では、 高々、それが如何なる値を取る可能性（確率） がどれ程あるか、と言えるに過ぎない。

17 信頼区間導出の概要－３（参 考） 実際、標本が得られた母集団の母分散が未知の 場合、平均 μ 0 なる正規分布からの N 個の標本を 用いて上記の t なる量を計算すると、 すなわち、 t は自由度 ν=N-1 の t- 分布に従う ことが証明できる。ここで、 t- 分布とは？

18 信頼区間導出の概要－４ （参 考） t 分布とは、テキスト p.13 の上方の (3.17) 式で表される分布で、 f(t) は任意 の t が特定の値を取る確率を表す：

19 自由度 v = N-1 の t- 分布の分布とは？ －正規分布に近い y 軸対称な分布 ｔ Ｎ－１ （ α/2) - ｔ Ｎ－１ （ α/2) ｔ t- 分布 確率 斜線部 １－ α