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Published byようた のあき Modified 約 8 年前
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1 『無限解析入門』 における誤差について 1.『無限解析入門』の誤差とは? 2.誤差に注目する理由 3.ある誤差リストの解釈 4.仮説の全体像 徳島大学工学部 高 橋浩樹
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2 Leonhard Euler (1707-1783) 生誕300周年 1.『無限解析入門』の誤差と は? 「オイラーは人が息をするように、 また鷲が空を舞い遊ぶように、 見た目には何の苦労もなく計算した」 天文学者 フランソア・アラゴ
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3 オイラーの解析三部作 著述 出版 『無限解析入門』 1745 17 48 『微分計算教程』 1748 17 55 『積分計算教程』 1763 17 68~1770 ・『入門』には,数値データに 60 個を超える間違いが ある. ・単なる誤植や数値の表現(四捨五入・切捨て)と いった 理由ではないようである. 疑問 オイラーは数値計算が不得意だったの か?
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4 log (1+ x )/(1-x) のマクローリン展開を用いた計算 53527 16963 04904
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5 sin (m/n π/2) の マクローリン展開 16 38 94 39 08 857 32 56 74 60 05 51 39 50 プログラム
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6 cos (m/n π/2) の マクローリン展開 00 49 63 72 62 30 70 10 36 23 86 15 30 84 67 28
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7 tan (m/n π/2) cot (m/n π/2) の マクローリン展開 35 15 373 69 33 53 60 27 58
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8 (ゼータ値の近似値) × (1-1/2 n ) 548818
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9 (ゼータ値の近似値) × 1/2 n 10 75 04 70 96 73 15 271503 08 53 9255 55 13 86 84 08 85 58 10 77 45 86 71 68
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10 素数ベキ和の近似値 ゼータ値の近似値を組 み合わせて求められる 1065 246 37 18 74437 35 25 19 02 24 46 84 55 33 26 30 07 51
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11 2.誤差に注目する理由 ゼータ関数に関わる 2 つの疑問 A.ゼータ関数の「美しい関係」 なぜオイラーは,関数等式を美しいと 形容したのか? B.ゼータ関数の特殊値 なぜオイラーは,特殊値を数多く計 算 したのか?
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12 A. 『美しい関係』(E352) 美しい? 定義
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13 注)1749年に 著述 太陽と月の記号
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14 E117E117 [ 著述 1748, 出版 1749] Reflexions sur la derniere eclipse du Soliel du 25 julliet a. 1748. 1748 年の金冠日食に関する文献 E142E142 [ 著述 1748, 出版 1750 以降 ?] Sur l'atmosphere de la lune prouvee par la derniere eclipse annulaire du soleil. 月の大気に関する推測 金冠日食の観測データ
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15 解釈 上の式・・・太陽が月の背後に位置す る. 下の式・・・太陽の光の環がなおも輝 く. Z(n-1)/Z(- n) Γ (n)cos(n π/ 2) πnπn
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16 E41 [ 著述 1735, 出版 1740.] バーゼル問題の解決 12 までのゼータ値 ゼータ値 E101 [ 著述 1745, 出版 1748.] 『無限解析入門』 ・・・「いくつか書き添えておく」 26までのゼータ 値 ゼータ 値 E352 [ 著述 1749, 出版 1768.] 美しい関係 ・・・ 「計算した限りを示す」 34 まで のゼータ値a b c ゼータ値abc B . ゼータ関数の特殊値のリスト E212 [ 著述 1748, 出版 1755.] 『微分計算教程』 30までのゼータ値 ゼータ値
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17 ゼータ関数の特殊値 ベルヌーイ数との関係(オイラーの発 見)
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18 予測できる素数たち
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19 予測が困難な素数たち 周期 p-1
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20 分子に現れない素数 分子に現れる素数 正則素数 2、3、5、7、11、13、 17、19、 23、29、31、4 1、・・・・・・ 非正則素数 37、59、67、101、103、131、・・・、 283、・・・、593、・・・、617、・・・、 683、691、・・・・・・ ⇔ B 0,B 2,B 4,…..,B p-3 のどの分子も p で割れな い。 ⇔ B 0,B 2,B 4,…..,B p-3 のどれかの分子が p で割れる。
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21 疑問 ・691という素数が ζ (12)に突如現れたことに 興味を抱かなかったのか? ・34までのゼータ値を求めたのに,最小の非正則 素数37に気づかなかったのか? 仮説 『無限解析入門』のゼータ値の近似値の誤差に, オイラーは非正則素数を書き記した. 基本的には,誤差の素因数として書き記した. 1998=54 ・ 37 1998-1526=472= 8 ・ 59 804=12 ・ 67=37+59+67+101+103+131+149+157 公表しなかった理由は後述
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22 60 を超える誤差の解釈 『無限オイラー解析』 現代数学社 この本はオイラーの問題集. 未発見の解答が残っている. 「理系への数学」(現代数学社) 9 月号より詳細な探究の連載 『オイラー数学の源流』 第 1 回 巨人オイラー 第 2 回 超越への助走
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23 3.ある誤差リストの解釈 sin と cos のマクローリン展開の係数の誤差リスト 01 -0.0000000000000000000000000000 03 +0.0000000000000000000000000002 05 -0.0000000000000000000000000006 07 +0.0000000000000000000000000007 09 -0.0000000000000000000000000003 11 +0.0000000000000000000000000005 13 -0.0000000000000000000000000006 15 +0.0000000000000000000000000008 17 -0.0000000000000000000000000006 19 +0.0000000000000000000000000004 21 -0.0000000000000000000000000004 23 +0.0000000000000000000000000002 25 -0.0000000000000000000000000001 27 +0.0000000000000000000000000000 29 -0.0000000000000000000000000001 00 -0.0000000000000000000000000000 02 +0.0000000000000000000000000004 04 -0.0000000000000000000000000004 06 +0.0000000000000000000000000008 08 -0.0000000000000000000000000004 10 +0.0000000000000000000000000004 12 -0.0000000000000000000000000005 14 +0.0000000000000000000000000002 16 -0.0000000000000000000000000006 18 +0.0000000000000000000000000003 20 -0.0000000000000000000000000005 22 +0.0000000000000000000000000003 24 -0.0000000000000000000000000003 26 -0.0000000000000000000000000001 28 -0.0000000000000000000000000002 30 +0.0000000000000000000000000002
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24 気づくこと ・31個中28個もの誤差がある. ・数値に対する誤差の割合は急激に膨張している. ・誤差は最終一桁の範囲に収まっている. ・ひとつのデータのみ絶対値が正値より大きい. → 奇妙な数値データに思える. 偶然の間違いではなく,意図的なものではないか? sin (正弦), cos (余弦) -楽譜であれば,面白いだろう.
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25 オイラーの公式 e ix =cos x+i sin x 係数を組み合わせて,元の指数関数の展開の順番で曲にする! 演奏1 楽譜への変換 - 1-シ 0-ド 1-レ 2-ミ 3- ファ 4-ソ 5-ラ 6-シ 7-ド 8-レ 演奏0 どうすれば,曲になるのだろうか?
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26 リズムの調整 賛美歌を参考
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27 楽譜
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28 オイラーの曲であると推測する理由
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30 4.仮説の全体像 『無限解析入門』がオイラーの問題集だとす ると,出題者の義務として解答集も残すだろ う. 解答集であると考えられる著作 E352 『美しい関係』 E343 『ドイツ王女への手 紙』
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31 非正則素数と指数 (1000まで)
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32 3年前に描いた非正則素数たちの宇宙 ( p cos (2πk/(p-1)), psin (2πk/(p- 1)))
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33 E343 ドイツ王女への手紙
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34 仮説の続き(公表しなかった理由) 非正則素数に関して,オイラーは神秘的な事実を見出し た. けれども,神秘の排除という学界の流れの中では, その事実の公表は立場上差し控えるべきだった. 他方,オイラーは彼自身の驚くべき発見を何らかの形で は 残しておきたかった. (ゼータ関数⇔天体 ⇔ ・・・) 1741 年 7 月 25 日 ロシアからベルリンに到着 ↓ 1748 年 7 月 25 日 金冠日食 1748 年 『無限解析入門』出版 問題集 ↓ 1768 年 『美しい関係』出版 解 答集1 1768 年 『ドイツ王女への手紙』出版 解答 集2
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35 仮説の反証可能性 ・誤差の生成理由を説明する. ・このような数値データは稀ではないこと を示す. (誤差が曲になり,しかも生成理由が説明 できないデータの例示)
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36 参考 log 10 5 の計算 log(ab) 1/2 =(log a+log b)/2
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