数理統計学(第ニ回） 期待値と分散 浜田知久馬 数理統計学第２回.

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1 数理統計学(第ニ回） 期待値と分散 浜田知久馬 数理統計学第２回

2 確率変数の特性量 期待値E[X]：Xがしたがう確率分布の平均 分散V[X]：Xのバラツキ度合 標準偏差：√分散
これらは，どのように計算し，どのような意味を持つのだろうか. 数理統計学第２回

3 年末ジャンボ宝くじの期待値 1枚300円×1000万本＝30億円
年末ジャンボ宝くじの期待値 1枚300円×1000万本＝30億円 　1等：2億円×2本＝4億円 1等前後賞：5千万円×4本＝2億円 1等組違い賞：10万円×198本＝1980万円 2等：1千万円×3本＝3千万円 3等：100万円×40本＝4千万円 4等：1万円×1000本＝1000万円 5等：3000円×10万本＝3億円 6等：300円×100万本＝3億 さよなら20世紀賞：5万円×3千本＝1億5千万円 賞金合計総額：14億4980万円。 　期待値： 14億4980万円／1000万＝144.98円 数理統計学第２回

4 数理統計学第２回

5 期待値計算の操作 1枚くじをかったときの賞金金額（確率変数） ｎ本の宝くじ，ａ通りの起こり得る場合(賞金） 度数 ｆ1 ｆ2 ・・・ ｆa
相対度数　p1　　p2　　　・・・　　pa　　xi/ｎ 数理統計学第２回

6 確率変数Xの期待値 E[X]:期待値(expected value) Σｘ・ｐ(x) 離散分布 E[X]＝ ∫ｘ・ｆ(x)dx 連続分布
期待値の公式 E[a1X1+ a2X2+・・・+ aｎXｎ] ＝a1 E[X1］+ a2 E[X2］+・・・+ aｎ E[Xｎ］ 宝くじを5枚買ったときの期待値は？ 数理統計学第２回

7 人はなぜ宝くじを 買うのだろうか？ 夢を買うため？ 2本に1本300円当たる宝くじを買う人が いるだろうか？ 一攫千金狙い
期待値は145円だが，SDは95053円 300円で10万円弱のバラツキの期待感 数理統計学第２回

8 宝くじの購入理由 数理統計学第２回

9 分散 平均値μ＝E[X]からどれくらい離れた点にばらつくか？ （X－μ)2 の期待値：V[X]＝E[（X－μ)2]
＝E[X2]-2μE[X]+μ2 ＝ E[X2]－μ2 　　　　　Σ（ｘ－μ)2・ｐ(x)　　離散分布 V [X]＝ 　　　　　∫（ｘ－μ)2・ｆ(x)dx　連続分布 数理統計学第２回

10 期待値の計算例(二項分布） 数理統計学第２回

11 疑問点 Σは0からｎまでのはず，1からｎまででいいのか？ 二項分布（4,ｐ）の場合 0・4Ｃ0ｐ0（1-ｐ）4 0
　　　　　　　0・4Ｃ0ｐ0（1-ｐ）4 　　 　0 　　　　　　+1・4Ｃ1ｐ1（1-ｐ）3　　　　　+ 4ｐ1（1-ｐ）3　　　 E[X]＝ 　+2・4Ｃ2ｐ2（1-ｐ）2 　　＝ +12ｐ2（1-ｐ）2 　　　　　　+3・4Ｃ3ｐ3（1-ｐ） ｐ3（1-ｐ）1 　　　　　　+4・4Ｃ4ｐ4（1-ｐ） ｐ4（1-ｐ）0 数理統計学第２回

12 疑問点の続き 期待値計算にはｘ=0の項は寄与しない. 黒字は｛ｐ+(1-p)｝３なので１
　　　　 　 4ｐ・　ｐ0（1-ｐ）3　　 　　 4ｐ・3Ｃ0ｐ0（1-ｐ）3　 E[X]＝+ 4ｐ・3ｐ1（1-ｐ）2 　＝ + 4ｐ・3Ｃ1ｐ1（1-ｐ）2　 　　　　 + 4ｐ・3ｐ2（1-ｐ） ｐ・3Ｃ2ｐ2（1-ｐ）1 　　　　 + 4ｐ・ ｐ3（1-ｐ） ｐ・3Ｃ3ｐ3（1-ｐ）0 ＝4ｐ 期待値計算にはｘ=0の項は寄与しない. 黒字は｛ｐ+(1-p)｝３なので１ 数理統計学第２回

13 分散の計算例(二項分布） 数理統計学第２回

14 期待値・分散の計算例(一様分布） ｆ(ｘ)＝1 (0≦ｘ≦1） ＝0 (x<0, x>1)
ｆ(ｘ)＝1　　　(0≦ｘ≦1） 　　 ＝ (x<0, x>1) E[X]＝∫ｘｆ(ｘ) dx＝ ∫01ｘdx＝[ｘ2／2] 01 　　　　 ＝1/2－0＝1/2 V[X]＝E[X2]－μ2 ＝∫ｘ2dx－1/4 ＝[ｘ3／3] 01－1/4 ＝ 1/3－0－1/4＝1/12 数理統計学第２回

15 モーメント 原点周りのｋ次のモーメントμ(ミュー） 離散分布：μk＝Σｘk・ｐ(x) 連続分布：μk＝∫ｘk・ｆ(x)ｄｘ
平均周りのｋ次のモーメントν(ニュー） 　離散分布：ν k＝Σ（ｘ－ μ1)k・ｐ(x)　　 　連続分布：νk＝∫（ｘ－ μ1)k・ｆ(x)ｄｘ　 数理統計学第２回

16 代表的なモーメント統計量 μ1 ：平均 ν2 ：分散 β1 ＝ ν3／σ3：歪度(ワイド） skewness
ν2　：分散 β1 ＝ ν3／σ3：歪度(ワイド）　skewness β2 ＝ ν4／σ4 －3 ：尖度(センド）　kurtosis 正規分布： μ1＝μ, ν2＝ σ2 , β1＝0, β2＝0 二項分布： μ1＝ｎπ, ν2＝ｎπ(1ーπ) 数理統計学第２回

17 積率母関数 モーメント統計量を求めることは簡単ではない. 積率母関数M(θ)：moment generating function
モーメントを計算するための道具 離散分布： M(θ)=E[eθｘ]= Σ eθｘ・p(x)　 連続分布： M(θ)=E[eθｘ]= ∫ eθｘ・ｆ(x)dx　　 数理統計学第２回

18 マクローリン展開 関数 f(x) の x=a におけるテイラー展開
数理統計学第２回

19 テイラー展開において、特に a=0 としたときの級数をマクローリン展開という。
数理統計学第２回

20 ｆ（ｘ）＝ eθｘの微分 ｆ（ｘ）＝ eθｘ ⇒ ｆ（0）＝ e0 ＝１ ｆ'（ｘ）＝θeθｘ ⇒ ｆ'（0）＝θe0＝θ
　　　　　　　　　　・・・　　 ｆk（ｘ）＝θk eθｘ　⇒　ｆk（0）＝θke0＝θk 　　　　　　　　　 数理統計学第２回

21 積率母関数とモーメント 数理統計学第２回

22 積率母関数 (1)M(θ)を1階微分してθ=0とすると, E[X]（期待値）が得られる. (2)M(θ)を2階微分してθ=0とすると,
(3)M(θ)をk階微分してθ=0とすると, 　　E[Xk]が得られる. 積率母関数を用いれば,原点周りのモーメントが 容易に計算できる. 数理統計学第２回

23 正規分布の例 数理統計学第２回

24 正規分布の例 数理統計学第２回

25 正規分布のモーメント M(θ)=exp(μθ+σ2θ2/2) M’(θ)=(μ+ σ2θ） exp(μθ+σ2θ2/2)
V[X]＝E[X2]- E[X] 2 ＝ σ2 +μ2 - μ2 ＝ σ2 数理統計学第２回

26 2項分布の例 数理統計学第２回

27 2項分布の例 数理統計学第２回

28 演習問題1 Ｘが1，２，･･･，10までの値を等しく0.1の確率でとる確率変数であるとする． １）確率関数 ２）累積分布関数 ３）期待値
４）原点周りの２次のモーメント ５）分散 ６）標準偏差 ７）メディアン を求めよ． 数理統計学第２回

29 演習問題2 1.Y=X 2 は確率変数と考えられるか. 2.Yの確率関数と分布関数を示すこと 3.Yの期待値，分散，標準偏差は？
4.E[Y]をXの特性量を用いて 表すと 確率変数の関数はまた確率変数となる 数理統計学第２回

30 SASでのサイコロの目の発生 一様分布を用いてもいいが， RANTBL(seed,p1,..pi,..pn)
returns a random variate from a tabled probability 数理統計学第２回

31 サイコロの目の発生プログラム例 data data; do i=1 to 1000;
y=rantbl(4989,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6); output; end; proc freq;tables y; run; 数理統計学第２回

32 データの平均と分布の平均 平均 データの平均 x = (x1 + x2 +…+ xn)/n 分布の平均 　　m = ∫x f(x) dx 平均という統計量X = (X1 + X2 + … + Xn) / n 経験分布(ｎが大きい世界で，母集団分布をデータの分布で近似する）という概念を導入すると上の二つは同じになる．３番目はその統計量版（確率変数版） 数理統計学第２回