数理統計学 西 山. 前回の問題 ある高校の 1 年生からランダムに 5 名を選 んで 50 メートル走の記録をとると、 12.32 、 15.28 、 14.19 、 13.72 、 13.26 だった。学年全体の平均を推定しなさい． 信頼係数は９０％とする。 当分、 は元の分散と一致 していると仮定する.

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1 数理統計学 西 山

2 前回の問題 ある高校の 1 年生からランダムに 5 名を選 んで 50 メートル走の記録をとると、 12.32 、 15.28 、 14.19 、 13.72 、 13.26 だった。学年全体の平均を推定しなさい． 信頼係数は９０％とする。 当分、 は元の分散と一致 していると仮定する 点推定

3 点推定と区間推定 区間推定は、 ここをどれだけ広くとるか 誤差を評価しない推定を点推定といいま す 標準誤差 ここまで 6 ／ 16

4 練習問題【１】 ある高校の 1 年生からランダムに２０名を 選んで 100 メートル走の記録をとると、 だった。学年全体の平均について推定 しなさい。但し、信頼係数は９５ % と する。

5 練習問題【１】の解答

6 推定には手順がある 信頼係数を決める 標準誤差を求める＝標準偏差 「ルートＮの公式」 標準値で区間をつくる  95 ％信頼区間なら、 ±2 以内 標準値の定義式で置き換える 未知数 μ の区間に変形する 教科書： 151 ～ 156 ペー ジ

7 区間推定のまとめ： ９５％信頼 区間 母集団の分散が分らない場合は、不偏分散を求めて、代わりに使 う サンプル数が 10 個未満なら、必ず T 分布の数値表を見て、 1.96 を修正しないといけない 標準誤差 1.96 を四捨五入して２としても、推定結果はほぼ同じです

8 【例題】 ○○ 率の推定 ある人気ドラマをみたかどうかを、 100 人のサンプルに対して質問したところ、 40 人の人が「みた」と答えた。社会全体 では、何％程度の人がこのドラマを見た だろうか。 信頼係数は９５％で答えてください。 この例題は あとまわし 6 ／ 21

9 知りたいのは社会全体の視聴率で す 視聴率は 40 ％だと、 いまわかったじゃない 社会全体のことは調べてませんか ら、 分かりません

10 ゼロイチ母集団の特徴 みた → １ みない → ０ 社会全体では ３０％（＝ 0.30 ）が みた 本当の視聴率は 母平均（ μ ）のこと

11 １の確率を未知数 P として 平均 分散

12 100 人サンプルの視聴率 はこうなる（ 30% の場 合）

13 サンプル平均と標準誤差を求めよ！ サンプル平均 標準誤差 母平均（ μ ）＝ 0.40±2×0.049 95 ％信頼区間

14 練習問題【２】 札幌地区在住者を対象に、ある人気ドラ マをみたかどうかを、 300 人のサンプル に対して質問したところ、 60 人の人が 「みた」と答えた。札幌圏では、何％程 度の人がこのドラマを見ただろうか。区 間推定をしなさい。 信頼係数は９５％で答えてください。

15 解答のポイント サンプル平均 標準誤差 母平均（ μ ）＝ 0.20±2×0.023 95 ％信頼区間

16 今までのポイント 母平均（ μ ）の区間推定 標準誤差が決め手。元の母集団の 分散 σ 2 はわからない。不偏推定を母 分散のつもりで使う。 正規分布の性質から標準値で割り切 る。 95 ％信頼区間なら Z が ± ２以内 → 誤差は標準誤差の 2 倍まで

17 不偏分散は正しくはない！ 指定した値は μ ＝ 170 、 σ 2 ＝ 10 2 、データ数は 5 個で反復 正規分布 カイ二乗 分布 不偏分散を使っていますが

18 T 値の定義 サンプルから求めた不偏分散を、 母集団の分散の代わりに使う 母集団の σ 2 に近ければ 大したことではない データ数が十分多け ればよい Gosset, W. S. 1906 年にペンネーム Student で T 分布の存在を発見しました

19 Ｔ値のポイント： Ｚより大きめ に！ とにかく細かい話 平均＝ 170 センチ 標準偏差＝ 10 センチ サンプル 5 人 １７０

20 正規分布 ÷ カイ二乗 →T 分布 T 分布は正規分布とカイ二乗分布 の子どもです。フィッシャーが 1920 年までに数学的基礎を与え ました。 Fisher, R.A. T の値は自由度ｋの T 分布 フィッシャーの公式

21 T 値のイメージ 標準値（正規分布） カイ二乗値（自由度４ ) 0.5 5 自由度は４

22 T 値とＴ分布 ① ②

23 T 分布の特徴 ± ２以内とはいえな い ５個のサンプル＝自由度 ４

24 T 値の９５％区間、９０％区間 これは自由度（ n － 1) ９５％圏 ９０％圏

25 練習問題 【３】 ある高校の 1 年生からランダムに 5 名を選 んで 50 メートル走の記録をとると、 12.32 、 15.28 、 14.19 、 13.72 、 13.26 だった。学年全体の平均を推定しなさい． 信頼係数は 95 ％とする。 しばらくの間、不偏分散が学 年全体の分散に一致している と、前提します この問題のイ ントロまで 6 ／ 21

26 ヒント： まず下の形で答えて下さ い 自由度は、データ数－１

27 例題【１】の 解答 自由度は、 5 ー１＝４ ← 違いはここだけ