●モールの応力円 （土質力学編） （圧縮正） γｚ ・土中応力＝土かぶり圧（γｚ）＋ 荷重ｑによる伝達応力

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1 ●モールの応力円 （土質力学編） （圧縮正） γｚ ・土中応力＝土かぶり圧（γｚ）＋ 荷重ｑによる伝達応力
・土中の1点（の微小要素）に着目して、 応力の作用方向と値を調べる 構造物 目次▼ ・応力状態をモールの応力円で表し、任意 面上の応力（σ,τ）を作図で求める 荷重ｑ 鉛直 土かぶり圧 土かぶり圧＋伝達応力 深さ ｚ γｚ σ1 σ1 σ1＝σv＝γｚ σ1 σ2 σ2 σ2 σ2 σ2 ｚ σ2＝σh σ2 σ2 σ1 σ1 σ1 ｘ 水平 σ1

2 ・応力記号の約束 ・２次元応力状態 ・応力の正負（圧縮正） ・地盤内応力とすべり ・応力の正負（引張正） ・地盤内応力のモール円表示
●直角座標応力成分 ●モール円の極 ・応力記号の約束 ●モール円作図 ・２次元応力状態 ●地盤内応力 ・応力の正負（圧縮正） ・地盤内応力とすべり ・応力の正負（引張正） ●三軸圧縮試験 ●任意面上の応力 ・地盤内応力のモール円表示 ・主応力 ・モール円表示例 ・最大せん断応力 ・試験手順とモール円 ●モールの応力円 ・一軸・三軸圧縮試験 ・モール円（主応力） ・モール円（ｘｚ面応力） □□□目次□□□ ・主応力と任意面応力 表紙≪ ≫直角座標の導入

3 地盤 ●直角座標の導入 ｐ σ τ τ ｐ σ ・土中に微小四角形要素を考え、これに働く応力成分を調べる ・土中に直角座標（ｘ，ｚ）導入
≫TOP ・土中に微小四角形要素を考え、これに働く応力成分を調べる ・土中に直角座標（ｘ，ｚ）導入 ｐ ｘ面＝ｘ軸に垂直な面 地盤 σ ｚ面＝ｚ軸に垂直な面 τ τ ｐ ｚ＋面 ・ｘ面，ｚ面は各２つある ｘ－面 ｘ＋面 正方向の面 → 正（＋） σ 負方向の面 → 負（－） ｚ ｚ－面 ・合応力ｐは垂直・せん断成分 ｘ に分解できる ｐ＝ｐ（σ，τ） 目次≪ ≫応力記号

4 ●応力記号の約束 σxx σｚ ← (σzｚ) τｚｘ σｘ ← (σｘｘ) τｘｚ ・ｘ,ｚ面に働く（σ,τ）に２つの添字を付けて識別する
≫TOP ・ｘ,ｚ面に働く（σ,τ）に２つの添字を付けて識別する ・同じ添字は垂直応力（σ）、異なる添字はせん断応力（τ） 応力の作用方向 ・ｘ面に働くｘ方向の垂直応力 σxx σｘｘ → σｘ （略記） 作用面の方向 ・ｚ面に働くｚ方向の垂直応力 σｚ ← (σzｚ) σzz → σz （略記） τｚｘ ・ｘ面に働くｚ方向のせん断応力 ｚ＋面 σｘ ← (σｘｘ) τｘz ｚ ｘ＋面 ・ｚ面に働くｘ方向のせん断応力 τｘｚ τzx ｘ ｘｚ面≪ ≫2次元応力状態

5 ●２次元応力状態 σｚ τｚｘ σｘ σｘ τｘｚ τｘｚ τｚｘ σｚ ・ｘ,ｚ面内の１点の応力状態は（σｘ,σｚ,τｘｚ）で表される
≫TOP ・ｘ,ｚ面内の１点の応力状態は（σｘ,σｚ,τｘｚ）で表される ・４種の成分（垂直2、せん断2） σｚ （σｘ，σｚ，τｘｚ ，τｚｘ） τｚｘ σｘ σｘ ・モーメント釣り合い （τｘｚ＝τｚｘ ） τｘｚ τｘｚ ｚ τｚｘ ・独立な応力成分（2次元） σｚ ｘ ｘｚ面≪ 応力記号≪ ≫応力の正負（圧縮正）

6 ・正（負）の面に働く負（正）の方向の応力を正とする
●応力の正負（圧縮正＝土質力学） ≫TOP ・正（負）の面に働く負（正）の方向の応力を正とする σｚ ・圧縮の垂直応力を正 ｘ－面 τｘｚ → ｢圧縮正｣の約束 ｚ＋面 ｢土質力学｣ σｘ σｘ ｘ＋面 ・せん断応力の正 τｘｚ ｚ ｚ－面 ｚ σｚ ｘ x ※対応して、｢収縮｣変形を正とする 応力記号≪ 2次元応力状態≪ ≫応力の正負（引張正）

7 ・正（負）の面に働く正（負）の方向の応力を正とする
●応力の正負（引張正＝構造力学） ≫TOP ・正（負）の面に働く正（負）の方向の応力を正とする σｚ ・引張の垂直応力を正 ｘ－面 τｘｚ → ｢引張正｣の約束 ｚ＋面 ｢構造力学｣ σｘ σｘ ｘ＋面 ・せん断応力の正 τｘｚ ｚ ｚ ｚ－面 σｚ ｘ x ※対応して、｢伸び｣変形を正とする 2次元応力状態≪ 圧縮正≪ ≫任意面上の応力

8 ●任意面上の応力 σ τ α σｘ τｘｚ τｘｚ σｚ ・直角座標応力成分（σｘ，σｚ，τｘｚ）と任意面上の応力（σ，τ）
≫TOP ・直角座標応力成分（σｘ，σｚ，τｘｚ）と任意面上の応力（σ，τ） ・α面上の応力（σ，τ） σ τ α σｘ Δｚ Δｓ τｘｚ Δｘ τｘｚ ｚ σｚ ｘ ・αを変えて（σ，τ）の変化を調べる →　主応力、最大せん断応力の誘導 応力の正負（圧縮正）≪ ≫主応力

9 ●任意面上の応力（計算例） σ，τ σ～α σm σm τ α σ1 σ τmax σ2 α（°） τmax τ～α 60 （kPa） 40
20 τmax σ2 α（°） 30 60 90 120 150 180 15kPa τmax τ＝0 τ＝0 －20 20kPa τ～α ※τ＝0 の面（主面／互いに直交）で、σが最大・最小（主応力）

10 ●主応力 σ1 σ1 σ2 σ2 σ3 σ2 σ2 σ1 σ1 ・面αを変えて（σ,τ）を調べると、τ＝０の面（主面）が存在する
≫TOP ・面αを変えて（σ,τ）を調べると、τ＝０の面（主面）が存在する ・主面に働く垂直応力を｢主応力｣という ・主応力（主面）は互いに直交する σ1 σ1 σ2 σ2 　 ２次元 （σ1，σ2） 　 　３次元 （σ1，σ2，σ3） σ3 σ2 σ2 σ1 σ1 任意面上の応力≪ ≫最大せん断応力

11 ●最大せん断応力 σ1 σｍ σｍ σ2 τmax τmax σ2 σ1 ・面αを変えて（σ,τ）を調べると、τが最大になる面が存在する
≫TOP ・面αを変えて（σ,τ）を調べると、τが最大になる面が存在する ・τの最大値を｢最大せん断応力｣τmax という ・τmax の作用面には平均垂直応力σmが働く ＊主面と(σm,τmax)の 作用面は45°交差 σ1 σｍ σｍ σ2 τmax τmax σ2 σ1 任意面上の応力≪ 主応力≪ ≫モール円(誘導)

12 ●モールの応力円（誘導） τ τmax σ σm ・任意面上の応力（σ,τ）は円上の１点（応力点）で表される 任意面上の応力（σ,τ）
≫TOP ・任意面上の応力（σ,τ）は円上の１点（応力点）で表される 任意面上の応力（σ,τ） ＊α消去 τ （σ,τ） 半径 τmax 中心： σ 中心 σm 半径： 任意面上の応力≪ 主応力≪ ≫モール円(主応力)

13 ●モールの応力円（主応力） ↑τ＝反時計回りを正 τ （σ,τ） τmax → σ＝圧縮を正 σ2 σm σ1 σ σm
≫TOP ・主応力（σ1,σ2）と最大せん断応力τmaxを表す応力点 ↑τ＝反時計回りを正 ・(σm，τmax) は２頂点 τ ・(σ1，0)， (σ2，0) は２端点 最大せん 断応力 （σm,τmax） （σ,τ） τmax 主応力 主応力 → σ＝圧縮を正 σ2 σm σ1 σ σm ・反時計 　回りのτ 最大せん 断応力 （σm,τmax） 主応力≪ モール円(誘導)≪ ≫モール円(ｘｚ面)

14 ●モールの応力円（ｘｚ面応力） （応力円） ・ｘ,ｚ面上の（σ,τ）もモール円上の応力点で表される ・2点A,Bを通る （ｚ面に働く応力）
≫TOP ・ｘ,ｚ面上の（σ,τ）もモール円上の応力点で表される ・2点A,Bを通る 　　（応力円） （ｚ面に働く応力） σｚ＝200kPa τｘｚ＝50kPa（反時計） τ（kPa） 200 50 100 50 B（σｚ，τｘｚ） 100 50 100 50 100 200 ｚ σ（kPa） 50 50 200 ｘ A（σｘ，τｘｚ） （ｘ面に働く応力） σｘ＝100kPa τｘｚ＝50kPa（時計） 例：（σｘ，σz，τｘｚ） ・A-B線とσ軸の 交点が円の中心 ＝（100, 200, 50）kPa 任意面上応力≪ モール円(誘導)≪ ≫主応力と任意面応力

15 ●主応力と任意面応力 σ τ σ 実平面 モール円 τmax τ τ σ2 2α α σ2 σ1 σ σ1 σm
≫TOP ・主応力（σ1，σ2） ～ 任意面上の（σ，τ） σ τ σ 実平面 モール円 τmax τ τ σ2 2α α σ2 σ1 σ σ1 σm σ1作用面から反時計回り角α　→ σ1点から反時計回り角２α モール円(ｘｚ面)≪ ≫極の性質1

16 ●極の性質1 σB τB 面B θ B（σB，τB） O τA 2θ σA 面A A（σA，τA） 実平面 モール円
≫TOP ・実平面の応力（σ,τ）とモール円上の応力点の関係 －（実平面で）面Ａとθ隔たった面Ｂの応力は、モール円上で面Ａに 　　対応する応力点Ａから中心角2θ隔たった応力点Ｂで表される－ σB τB 面B θ B（σB，τB） O τA 2θ σA 面A A（σA，τA） 実平面 モール円 主応力と任意面応力≪ ≫極の性質2

17 ●極の性質2 σB τB 極Ｐ 面B θ θ B（σB，τB） O τA 2θ σA 面A A（σA，τA） 実平面 モール円
≫TOP ・モール円上の応力点とその作用面の関係から｢極｣を定義する －モール円上の応力点Ａ（or 点Ｂ）から、その作用面Ａ（or 面Ｂ） 　　に平行に引いた直線がモール円と再び交わる点を｢極｣という－ σB 面Bに平行 τB 極Ｐ 面B θ θ B（σB，τB） O τA 2θ σA 面A 面Aに平行 A（σA，τA） 実平面 モール円 極の性質1≪ ≫極の性質3

18 ●極の性質3 σD D(σＤ，τD） σC τD 極Ｐ τC σ C(σC，τC）
≫TOP ・｢極｣が知れると、作図により応力点や作用面の方向が知れる ①作用面が既知の場合：極からその面に平行に引いた線と応力円 の交点が、その面上の応力を与える ②応力点が既知の場合：極からその応力点に引いた線の方向が、 その応力の作用面の方向を与える 面Dに平行 σD D(σＤ，τD） σC τD 極Ｐ τC 面Ｃ 面Ｄ σ 面Cに平行 時計 反時計 C(σC，τC） 極の性質1≪ 極の性質2≪ ≫作図例1

19 ●モール円作図１・・・ 直角座標応力（σx,σz,τxz）が既知
≫TOP ・任意面ＡＣ上の応力（σ,τ）をモール円の作図で求める ①極を求める τ（kPa） A ・AB面に平行 ・BC面に平行 100 σ BC面応力 σｘ＝ 100kPa 極Ｐ α （σy,τｘｚ） 50 τ 100 200 σ（kPa） B C 50 τｘｚ＝50kPa AC面応力 （σ，τ） AB面応力 （σｘ,τｘｚ） ｚ σｚ＝200kPa ・AC面に平行 ｘ ②AC面上の応力を求める モール円(ｘｚ面)≪ 極の性質3≪ ≫作図例2

20 ●モール円作図2・・・ 主応力（σ1，σ2）が既知
≫TOP ・（σ1,σ2）の応力点から各主面に平行に引いて極を求める ・主面とτmax面は45°交差する AB，CD面 （σm，τmax） ・極を求める ・極を求める σm τ σ1 主面（σ2） 主面（σ1） τmax 極Ｐ σ2 τmax 45° B σm A 45° 45° C σ2 D σ2 σm σ1 σ σ1 （σm，τmax） ・τmaxの作用面を求める BC，AD面 最大せん断応力≪ 作図例1≪ ≫作図例3

21 ●モール円作図3・・・ AA面上の応力（σ，τ）を求める(1)
≫TOP 2.50σ0 σ1＝3σ0 τ 0.866σ0 σ0 A A σ2＝σ0 A A σ0 2σ0 3σ0 σ AA面 30° σ0 P 主面（σ2）方向 主面（σ1）方向 ※主応力（σ1，σ2）の応力点は、作用方向に関わらず モール円がσ軸と交差する2つの端点で表される （τ＝0 だから） 作図例２≪ ≫作図例４

22 ●モール円作図4・・・ AA面上の応力（σ，τ）を求める(2)
≫TOP τ σ0 A σ0 反時計回り σ0 σ0 ｘ面 z面 P σ0 60° σ0 σ 60° 時計回り A σ0 A AA面 0.5σ0 σ0 引張 圧縮 0.866σ0 ※土質力学では・・・ A ・垂直応力は、圧縮が正、引張りが負 ・せん断応力は、反時計回りが正、時計回りが負 作図例3≪ ≫作図例5

23 ●モール円作図5・・・ 一軸圧縮試験(1) σ1 τ σ τ τ α 2α α σ σ σ/σ1 σ/σ1 σ1 τ/σ1 τ/σ1
≫TOP ・一軸供試体のα＝0～90°面上の応力（σ,τ）を求める σ1 α面 τ 中心：σ1/2 ・正規化表示 σ 半径：σ1/2 τ τ α 2α P α 1.0 σ σ1 σ σ/σ1 σ/σ1 σ1 τ/σ1 0.5 τ/σ1 15 30 45 60 75 90 α（°） 作図例４≪ ≫作図例６

24 ●モール円作図6・・・ 一軸圧縮試験(2) τ σα τα σ1 σ1 β面 σβ α τβ σα β α σ1 σ σβ τβ τα σ1
≫TOP ・供試体の方向によって極の位置が異なる τ σα τα σ1 σ1 β面 σβ α τβ σα β P α σ1 σ σβ τβ τα σ1 σ1 α面 β 作図例5≪ ≫地盤内応力

25 ●地盤内の応力状態 ｑ＝Ｑ/A (σ1＞σ2＝σ3） σz τxz σx ・土の自重（γz）や地表面の載荷重ｑにより地盤内応力が発生
≫TOP ・土の自重（γz）や地表面の載荷重ｑにより地盤内応力が発生 座標応力（σx,σz,τxz）または主応力（σ1,σ2）で表示 紙面に垂直 ｑ＝Ｑ/A ＊３次元 (σ1＞σ2＝σ3） ＊荷重中心では対称 σz σ1 σ1 σ2 τxz σ2 σ2 すべり面 σx σ1 z σ2 σ1 ｘ ＊一般に（σ1,σ2）は傾斜する 作図例6≪ ≫地盤内応力とすべり

26 ●地盤内応力とすべり ※τ≧τf → ｢すべる｣ (σ2＝σ3） ・主応力（σ1,σ2）とすべり面上の（σ,τ）の関係
≫TOP ・主応力（σ1,σ2）とすべり面上の（σ,τ）の関係 ｢垂直応力σ｣：すべり面を押さえ付ける応力（拘束圧） ～ すべり抵抗応力τfに寄与する（τf＝ｃ＋σtanφ） ｢せん断応力τ ｣：すべりを起こす応力（滑動応力） ※τ≧τf → ｢すべる｣ σ1 σ すべり面 σ2 τ σ1 σ2 σ2 τf σ τ すべり面 τf σ1 σ1 σ2 (σ2＝σ3） 地盤内応力≪ ≫地盤内応力の再現

27 ●三軸圧縮試験1・・・ 地盤内応力の再現 ｚA σA ↓ ｚB σB ↓ σ3 （σ2＝σ3） σ1
≫TOP ・土の｢強さ｣・｢硬さ｣は周囲から受ける圧力（拘束圧σ）に依存する ～ 深い所（ｚ大）では、拘束圧σ大で、強度τf が大きい 軸圧σ1 ＊深さ： ｚB＞ｚA ｚA σA ↓ A ＊拘束圧：σB＞σA ｚB σB ↓ 側圧σ3 σ3 B ＊強度：τfB＞τfA （σ2＝σ3） σ1 ・｢三軸圧縮試験｣：３方向から圧力を加える圧縮試験 周囲から側圧（拘束圧σ3）を負荷し、軸圧（σ1）で圧縮 （軸圧σ1，側圧σ3）の組合わせで応力状態を表示 地盤内応力とすべり≪ ≫地盤内応力のモール円表示

28 ●三軸圧縮試験2・・・ 応力状態のモール円表示
≫TOP ・軸圧σ1と側圧σ3を主応力とするモール円で、極Ｐはσ3点 σ1 軸圧σ1 A τ σ A(σ，τ） τ 側圧σ3 σ3 σ3 σ3 α σ1 極Ｐ α σ1 A 側圧σ3 軸圧σ1 σ α σ1 B σ τ σ3 B(σ，τ） σ3 α ※AA面とBB面上の応力（σ,τ）は大きさが等しい B σ1 τの作用方向（反時計，時計）が異なる 地盤内応力の再現≪ ≫モール円表示例1

29 ●三軸圧縮試験3・・・ 試験手順とモール円 ① ② A(σ,τ） τ 拡大 α σ
≫TOP ・試験は、①側圧(σ3)負荷、②ピストン圧(σ1-σ3)負荷の２段階 σ1－σ3 σ1 σ3 A 軸圧σ1 σ σ3 σ3 σ3 σ3 ① ＋ ② ＝ 側圧σ3 τ σ3 α A A(σ,τ） σ3 σ1 σ1 τ σ1－σ3 ピストン圧 拡大 （主応力差） 極Ｐ ・側圧一定、ピストン圧増加 → 破壊 α σ 側圧σ3 軸圧σ1 モール円表示≪ モール円表示例1≪ ≫一軸・三軸試験

30 ●三軸圧縮試験4・・・ 強度定数（ｃ，φ）の決定
≫TOP ・側圧σ3を幾つか変え、ピストン圧を加えて破壊 軸圧σ1 ・破壊時のモール円を描き、包絡線を引く → ｃ，φ 主応力差：（σ1－σ3）f σ3 側圧σ3 τf＝ｃ＋σtanφ 摩擦角φ σ1 τ 破壊モール円 モール円の拡大 粘着力ｃ σ 側圧σ3 軸圧σ1 (σ1－σ3)f モール円表示≪ モール円表示例1≪ 試験手順とモール円≪

31 ●三軸圧縮試験5・・・ 破壊の判定（安全性の評価）
≫TOP ・AA面（α面）に沿って破壊する（すべる）か、否か σ1 ・モール円： A σ σ3 σ3 τf＝ｃ＋σtanφ τ φ τ α A σ1 τf 半径τmax τ ｃ 極Ｐ α 2α σ3 σ1 σ 中心σm σ モール円表示≪ モール円表示例1≪ 試験手順とモール円≪

32 ●三軸圧縮試験6・・・ 一軸・三軸圧縮試験のモール円表示
≫TOP ・一軸圧縮試験 ・三軸圧縮試験 軸圧σ1 軸圧σ1 ＊σ2＝σ3 ＊σ2＝σ3 ＝0 ＝σ0 σ0 側圧σ0 （無拘束） （拘束圧） σ1 σ1 τ 軸圧σ1増加 τ ピストン圧増加 モール円拡大 モール円拡大 極Ｐ 極Ｐ σ σ σ3＝0 σ1 σ3＝σ0 σ1 （試験中一定） モール円表示≪ モール円表示例1≪ 試験手順とモール円≪