流体の鉄人～ゲーム屋さんのための流体入門～田村　尚希株式会社 Pyramid.

流体の鉄人～ゲーム屋さんのための流体入門～田村　尚希株式会社 Pyramid

0.会社紹介＜弊社の説明＞設立　　２００１年９月（５年目）従業員　３４名（内プログラマ１９名）コンシューマゲーム機を中心に開発を行っている　

0.会社紹介＜タイトル＞ DATA CARDDASS DRAGON BALL Z SHINING FORCE NEO
DRAGONBALL Z BUDOKAI2(GAMECUBE　port) GUNSLINGER GIRL SEVEN SAMURAI 20XX THE WILDRINGS DOUBLE STEAL　　・・その他、自社コンテンツ開発　

0.会社紹介＜開発＞ XP,SCRUM 等のアジャイル開発プロセスを採用している

0.会社紹介＜運営＞受託業務 ※運転資金の調達自社コンテンツ開発 ※自社コンテンツの発信技術研究開発 ※最先端技術の研究・共有・習得、及び発表　

発表の流れ 1.概要 2.微分 3.Stable Fluids 4.応用 5.まとめ

1.概要　～はじめに～本セッションの内容ゲーム開発者向けの流体力学の解説

1.概要　～背景～本セッションの背景流体力学を用いて、写実的なCGを作成する技術が発展

1.概要　～背景～「Visual Simulation of Smoke」 [Fedkiw et al. SIGGRAPH2001]

1.概要～背景～「Animation and Rendering of Complex Water
1.概要　～背景～「Animation and Rendering of Complex Water Surfaces」 [Enright et al. SIGGRAPH2002]

1.概要～背景～「Rigid Fluid : Animating the Interplay Between Rigid
1.概要　～背景～「Rigid Fluid : Animating the Interplay Between Rigid bodies and Fluid」 [Carlson et al. SIGGRAPH2004]

1.概要　～背景～特徴既存技術では不可能なリアルな視覚表現・演出が可能現在は非リアルタイム　（1フレームの計算時間：数秒～数十分）

1.概要～概要～ゲーム利用への課題 1.複雑な数学の理解帰る頃には、すらすらです！！ 2.多大な計算コストの解消流体理論を丁寧に解説
1.概要　～概要～ゲーム利用への課題 1.複雑な数学の理解帰る頃には、すらすらです！！　帰るころには、ばっちり分かります流体理論を丁寧に解説 2.多大な計算コストの解消次世代機の処理能力（+皆様の処理能力）　

煙ではなく、（空気の）流れそのものを計算
1.概要　～概要～流体シミュレーションの概念煙ではなく、（空気の）流れそのものを計算

1.概要　～概要～流体計算の解き方 1.ボクセルベース 2.パーティクルベース

1.概要　～概要～ボクセルベース

1.概要　～概要～パーティクルベース

1.概要～概要～長所・短所ボクセルベースパーティクルベース長所：アルゴリズムの理解・実装が容易
1.概要　～概要～長所・短所ボクセルベース長所：アルゴリズムの理解・実装が容易短所：単位ボクセルよりも小さな流れが欠落パーティクルベース長所：局所的な細かな動きに対応できる短所：パーティクルの数が少ないとノイズが発生

1.概要～目的～本セッションの目的ボクセルベースの流体シミュレーションの基礎理論・実装方法の理解（一部リアルタイム処理）
1.概要　～目的～本セッションの目的ボクセルベースの流体シミュレーションの基礎理論・実装方法の理解（一部リアルタイム処理）皆さんが流体シミュレーションに興味を持つ機会になれば理想

2.微分～スカラー・ベクトル～スカラー・ベクトルスカラーベクトルある位置に対して値が一つ定まる量 (ex.温度)
2.微分　～スカラー・ベクトル～スカラー・ベクトルスカラーある位置に対して値が一つ定まる量 (ex.温度) ベクトルスカラーをいくつか並べたもの（ex.速度）

2.微分　～スカラー・ベクトル～スカラー場

2.微分　～スカラー・ベクトル～ベクトル場

2.微分～微分～微分・微分・偏微分・勾配・発散・ラプラシアン・微分・偏微分・勾配・発散・ラプラシアン・微分
2.微分　～微分～微分・微分・偏微分・勾配・発散・ラプラシアン・微分・偏微分・勾配・発散・ラプラシアン・微分・偏微分・勾配・発散・ラプラシアン・微分・偏微分・勾配・発散・ラプラシアン・微分・偏微分・勾配・発散・ラプラシアン非圧縮性流体のNavier・Stokes方程式

2.微分　～微分～微分

2.微分　～微分～微分の差分近似

2.微分　～偏微分～偏微分 x軸方向 y軸方向

2.微分　～偏微分～偏微分の差分近似

2.微分　～まとめ～・微分　微小区間における傾き・偏微分　各軸方向の微分

2.微分　～勾配～勾配（グラディエント）スカラーに作用してで計算されるベクトルを「勾配」と呼ぶ

2.微分　～勾配～勾配の概念勾配は各位置において、変化が最も大きくなる方向を示すベクトル変化が大きいほど、ベクトルの絶対値も大きい

2.微分　～勾配～勾配の差分近似

2.微分　～発散～発散（ダイバージェンス）ベクトルに作用してで計算されるスカラーを「発散」と呼ぶ

2.微分　～発散～発散の概念

2.微分～発散～発散の概念微小体積において、流出する量と流入する量との差を表す物理量正ならば、場が対象領域から外部に流出
2.微分　～発散～発散の概念微小体積において、流出する量と流入する量との差を表す物理量正ならば、場が対象領域から外部に流出負ならば、場が外部から対象領域に流入

2.微分　～発散～発散の差分近似

2.微分　～まとめ～・勾配　変化が最も大きい方向を示すベクトル

2.微分～まとめ～微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー・発散正ならば、場が対象領域から外部に流出
2.微分　～まとめ～・発散　微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー正ならば、場が対象領域から外部に流出負ならば、場が外部から対象領域に流入

2.微分　～ラプラシアン～ラプラシアンスカラーに作用してで計算されるスカラーを「ラプラシアン」と呼ぶ

2.微分　～ラプラシアン～ラプラシアンの概念

2.微分～ラプラシアン～ラプラシアンの概念ラプラシアンとは、周囲との相対的な差を表す物理量周りと比べて小さければプラス
2.微分　～ラプラシアン～ラプラシアンの概念ラプラシアンとは、周囲との相対的な差を表す物理量　自分が周りと比べて大きければマイナス周りと比べて小さければプラス

2.微分　～ラプラシアン～ラプラシアンの概念三次元スカラー場のラプラシアン

2.微分　～まとめ～・微分　微小区間における傾き・偏微分　各軸方向の微分

2.微分　～まとめ～・勾配　変化が最も大きい方向を示すベクトル

2.微分～まとめ～微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー・発散正ならば、場が対象領域から外部に流出
2.微分　～まとめ～・発散　微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー正ならば、場が対象領域から外部に流出負ならば、場が外部から対象領域に流入

2.微分～まとめ～周りとの相対的な差を表すスカラー・ラプラシアン大きければマイナス小さければプラス自分が周りと比べて
2.微分　～まとめ～・ラプラシアン　周りとの相対的な差を表すスカラー　　自分が周りと比べて　　大きければマイナス　　自分が周りと比べて　　小さければプラス

3.Stable Fluids ～概要～「Stable Fluids」 [Stam, SIGGRAPH 1999] ボクセルベースの手法
非圧縮流体を対象近年の流体計算を使った論文で広く利用される手法 Navier-Stokes方程式を4Stepに分けて計算

3.Stable Fluids　～概要～ Navier-Stokes方程式の概念速度場速度場の時間変化を表す式表3-1参照

3.Stable Fluids　～概要～ Navier-Stokes方程式の概念非圧縮条件表3-1参照

3.Stable Fluids　～外力～外力：風、重力などの外からの力表3-1参照

3.Stable Fluids　～移流～移流 : 流れに沿って移動する効果表3-1参照

3.Stable Fluids　～拡散～拡散 : 速度場を均一化しようとする効果表3-1参照

3.Stable Fluids　～圧力～圧力 : 非圧縮条件を満たすように働く力表3-1参照

3.Stable Fluids　～概要～ Navier-Stokes方程式の概念表3-1参照

3.Stable Fluids ～概要～ Stable Fluidsの概念微小時間を考え、離散的に速度場の時間変化を計算
全ての要因を一度に考えるのは難しい表2参照

3.Stable Fluids ～概要～ Stable Fluidsの概念 step4 step2 step3 step1 step4
表2参照

3.Stable Fluids　～外力～ Stable Fluids : step1 外力 step1 表3-2参照

3.Stable Fluids　～外力～外力：風、重力などの外からの力表3-2参照

3.Stable Fluids　～外力～外力の計算方法表3-2参照

3.Stable Fluids ～外力～ step1の擬似コード表3-2参照
step1(u{x,y,z}, u{x,y,z}_force, u{x,y,z}_step1 ) { for(i=0; i<(Xvoxel_num);++i) { for(j=0; j<(Yvoxel_num);++j) { for(k=0; k<(Zvoxel_num);++k) { ux_step1[i][j][k] = ux[i][j][k] + dt * ux_force[i][j][k]; uy_step1[i][j][k] = uy[i][j][k] + dt * uy_force[i][j][k]; uz_step1[i][j][k] = uz[i][j][k] + dt * uz_force[i][j][k]; } } } } 表3-2参照

3.Stable Fluids　～移流～ Stable Fluids : step2 移流 step2 表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～移流 : 流れに沿って移動する効果表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～一次元の移流表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～一次元の移流 f が速度uで移動する様子を表す表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～多次元の移流（一次元）（二次元）（三次元）表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～三次元の移流表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～多次元の移流 →スカラー　が速度場　によって移動表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～多次元の移流 →スカラー　が速度場　によって移動 →　　　が速度場　によって移動表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～多次元の移流表3-3参照

3.Stable Fluids ～移流～ semi-Lagrange法（Stable Fluidsの移流解法）前後からlinear補間
表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～三次元のsemi-Lagrange法 trilinear補間表3-3参照

3.Stable Fluids　～移流～三次元のsemi-Lagrange法表3-3参照

3.Stable Fluids ～移流～ step2の擬似コード表3-3参照
step2( u{x,y,z}_step1, u{x,y,z}_step2 ) { for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { x = i - dt * ux_step1[i][j][k]; y = j - dt * uy_step1[i][j][k]; z = k - dt * uz_step1[i][j][k]; ux_step2[i][j][k] = trilinear( ux_step1, x, y, z ); uy_step2[i][j][k] = trilinear( uy_step1, x, y, z ); uz_step2[i][j][k] = trilinear( uz_step1, x, y, z ); } } 表3-3参照

3.Stable Fluids　～拡散～ Stable Fluids : step3 拡散 step3 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～拡散 : 速度場を均一化しようとする効果表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～拡散方程式の概念 (拡散方程式) 場が均一化していく表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～拡散の計算方法 (拡散方程式) 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～拡散の計算方法表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～拡散の計算方法ラプラシアン　　は前頁のような行列　で記述可能表3-4参照

3.Stable Fluids ～拡散～連立方程式拡散の計算方法はと同じ形要素数nは、非常に大きい (i.e. 三次元の場合n3)
は　　　　　と同じ形連立方程式要素数nは、非常に大きい　(i.e. 三次元の場合n3) 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ガウス・ザイデル法表3-4参照

3.Stable Fluids ～拡散～ガウス・ザイデル法右辺に適当な初期値を設定し、反復計算
右辺　　　に適当な初期値を設定し、反復計算収束条件：行列Aの対角成分が0ではない。　　　　　　　行列Aの対角成分が他の成分より大きい表3-4参照

3.Stable Fluids ～拡散～ step3の擬似コード(1/2) 表3-4参照
Gauss-Seidel( float* in, float*out ) { a = dt * ν / ( Δx*Δx ); for ( iter=0; iter < (iter_num(i.e. 20)); ++iter) { for ( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { out[i][j][k] = ( in[i][j][k] + a * ( out[i+1][j][k] + out[i-1][j][k] + out[i][j+1][k] + out[i][j-1][k] + out[i][j][k+1] + out[i][j][k-1] )) / ( 1+ 6*a ) } } } 表3-4参照

3.Stable Fluids ～拡散～ step3の擬似コード(2/2) 表3-4参照
step3( u{x,y,z}_step2, u{x,y,z}_spte3 ) { Gauss-Seidel( ux_step2, ux_step3 ); Gauss-Seidel( uy_step2, uy_step3 ); Gauss-Seidel( uz_step2, uz_step3 ); } 表3-4参照

3.Stable Fluids　～拡散～ Stable Fluids : step4 圧力 step4 step4 表3-5参照

3.Stable Fluids　～圧力～圧力 : 非圧縮条件を満たすように働く力表3-5参照

3.Stable Fluids　～圧力～圧力の計算方法両辺、発散を計算表3-5参照

3.Stable Fluids　～圧力～圧力の計算方法非圧縮条件より表3-5参照

3.Stable Fluids　～圧力～圧力の計算方法圧力のスカラー場　を計算の勾配を計算し、　　　から減算表3-5参照

3.Stable Fluids ～圧力～圧力の計算方法拡散と同じく、ラプラシアンは行列で記述可能はと同じ形 →ガウス・ザイデル法
拡散と同じく、ラプラシアン　　は行列　で記述可能は　　　　　と同じ形 →ガウス・ザイデル法表3-5参照

3.Stable Fluids ～圧力～ step4の擬似コード(1/3) 表3-5参照
step4( u{x,y,z}_step3, u{x,y,z}_step4 ) { for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { div[i][j][k] = ( ) / ( 2*Δx ); ux_step3[i+1][j][k] - ux_step3[i-1][j][k] + uy_step3[i][j+1][k] - uy_step3[i][j-1][k] uz_step3[i][j][k+1] - uz_step3[i][j][k-1] } 表3-5参照

3.Stable Fluids ～圧力～ step4の擬似コード(2/3) 表3-5参照 a = (Δx*Δx );
for ( iter=0; iter < (iter_num(i.e. 20)); ++iter) { for ( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { p[i][j][k] = ( -a*div[i][j][k] + ( p[i+1][j][k] + p[i-1][j][k] + p[i][j+1][k] + p[i][j-1][k] + p[i][j][k+1] + p[i][j][k-1] )) / 6; } } 表3-5参照

3.Stable Fluids ～圧力～ step4の擬似コード(3/3) 表3-5参照
for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { ux_step4[i][j][k] = ux_step3[i][j][k] - (p[i+1][j][k] – p[i-1][j][k]) / ( 2*Δx ); uy_step4[i][j][k] = uy_step3[i][j][k] - (p[i][j+1][k] – p[i][j-1][k]) / ( 2*Δy ); uz_step4[i][j][k] = uz_step3[i][j][k] - (p[i][j][k+1] – p[i][j][k-1]) / ( 2*Δz ); } } 表3-5参照

3.Stable Fluids　～境界～境界の扱い速度：　　　境界で速度0 シミュレーションボクセル圧力：　　微分値が0 境界ボクセル

3.Stable Fluids　～まとめ～ Navier-Stokes方程式表3-1参照

4.応用　～概要～応用煙煙の濃度計算煙の可視化

4.応用　～煙の濃度計算～非圧縮流体のNavier-Stokes方程式煙の方程式表4参照

4.応用　～煙の濃度計算～外力：煙の供給などの外からの影響表4参照

4.応用　～煙の濃度計算～移流：流れに沿って移動する効果表4参照

4.応用　～煙の濃度計算～拡散 : 濃度を均一化しようとする効果表4参照

4.応用　～煙の濃度計算～煙の変化の概念 step2 step3 step1 表4参照

4.応用　～煙の外力～煙の変化の概念 step1 表4参照

4.応用　～煙の外力～外力の計算方法表4参照

4.応用～煙の外力～ step1の擬似コード表4参照 step1(d, d_force, d_step1 ) {
4.応用　～煙の外力～ step1の擬似コード step1(d, d_force, d_step1 ) { for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { d_step1[i][j][k] = d[i][j][k] + dt * d_force[i][j][k]; } } 表4参照

4.応用　～煙の移流～煙の変化の概念 step2 表4参照

4.応用　～煙の移流～多次元の移流 →スカラー　が速度場　によって移動表4参照

4.応用　～煙の移流～三次元のsemi-Lagrange法表4参照

4.応用～煙の移流～ step2の擬似コード表4参照 step2( d_step1, d_step2 ) {
4.応用　～煙の移流～ step2の擬似コード step2( d_step1, d_step2 ) { for( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { x = i - dt * ux[i][j][k]; y = j - dt * uy[i][j][k]; z = k - dt * uz[i][j][k]; d_step2[i][j][k] = trilinear( d_step1, x, y, z ); } } 表4参照

4.応用　～煙の拡散～煙の変化の概念 step3 表4参照

4.応用　～煙の拡散～拡散方程式の概念 (拡散方程式) 場が均一化していく表4参照

4.応用　～煙の拡散～拡散の計算方法 (拡散方程式) 表4参照

4.応用　～煙の拡散～拡散の計算方法は　　　　　と同じ形 →ガウス・ザイデル法表4参照

4.応用～煙の拡散～ step3の擬似コード(1/2) 表4参照 Gauss-Seidel( float* in, float*out )
4.応用　～煙の拡散～ step3の擬似コード(1/2) Gauss-Seidel( float* in, float*out ) { a = dt * κ / ( Δx*Δx ); for ( iter=0; iter < (iter_num(i.e. 20)); ++iter) { for ( i, j, k=0; i, j, k < (X,Y,Zvoxel_num); ++i, j, k) { out[i][j][k] = ( in[i][j][k] + a * ( out[i+1][j][k] + out[i-1][j][k] + out[i][j+1][k] + out[i][j-1][k] + out[i][j][k+1] + out[i][j][k-1] )) / ( 1+ 6*a ) } } } 表4参照

4.応用～煙の拡散～ step3の擬似コード(2/2) 表4参照 step3( d_step2, d_spte3 ) {
4.応用　～煙の拡散～ step3の擬似コード(2/2) step3( d_step2, d_spte3 ) { Gauss-Seidel( d_step2, d_step3 ); } 表4参照

4.応用～煙の可視化～煙の可視化シミュレーション結果（煙の濃度）は、ボクセルデータ（ボリュームデータ）
4.応用　～煙の可視化～煙の可視化シミュレーション結果（煙の濃度）は、　　　　ボクセルデータ（ボリュームデータ）ボリュームレンダリングを行い可視化レイキャスティング法、スプラッティング法　などを利用

4.応用　～煙の可視化～レイキャスティング法 Δｓ screen

4.応用　～煙の可視化～レイキャスティング法ボクセルの色C（s3）＊不透明度α（s3）＊透明度(1-α（s2）)＊透明度(1-α（s1）) ボクセルの色C（s2）＊不透明度α（s2）＊透明度(1-α（s1）) ボクセルの色C（s1）＊不透明度α（s1）

4.応用～煙の可視化～ GPUを利用したボリュームレンダリングスライス(ポリゴン)を一定間隔に配置ボリュームデータをfetchし描画
4.応用　～煙の可視化～ GPUを利用したボリュームレンダリングスライス(ポリゴン)を一定間隔に配置ボリュームデータをfetchし描画 alpha blendingを用いて加算

1.概要　～概要～ GPUを利用したボリュームレンダリング

4.応用～応用～応用煙のシミュレーション速度場の計算 → 煙の濃度を移流・拡散火のシミュレーション速度場の計算
4.応用　～応用～応用煙のシミュレーション速度場の計算 → 煙の濃度を移流・拡散火のシミュレーション速度場の計算 → 熱・温度を移流・拡散水のシミュレーション速度場の計算 → 水表面（水表面からの距離）を移流・拡散

5.まとめ～まとめ～まとめ流体の基礎理論を解説非圧縮性流体のNavier-Stokes方程式の説明ボクセルベースの解法について説明
5.まとめ　～まとめ～まとめ流体の基礎理論を解説非圧縮性流体のNavier-Stokes方程式の説明ボクセルベースの解法について説明 Stable Fluidsの解説

5.まとめ　～まとめ～非圧縮性流体のNavier-Stokes方程式外力移流拡散圧力 +非圧縮条件

5.まとめ　～まとめ～ Stable Fluids

5.まとめ～高速化～高速化の方向性 GPU、SIMDの利用大部分は各ボクセル独立→並列化グリッドサイズの最小化
5.まとめ　～高速化～高速化の方向性 GPU、SIMDの利用　大部分は各ボクセル独立→並列化グリッドサイズの最小化　三次元の処理コストはO(n3)

5.まとめ～最後に～質問・ご意見は以下までお寄せ下さい Pyramid HP - http://www.pyramid-inc.net/
5.まとめ　～最後に～質問・ご意見は以下までお寄せ下さい Pyramid HP - 近日中にPowerPointファイルをUpします　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5.まとめ～参考文献～参考文献 Real-Time Fluid Dynamics for Games GPU Gems
5.まとめ　～参考文献～参考文献 Real-Time Fluid Dynamics for Games 　　Stam氏自らStable Fluidsを解説　　二次元のStable Fluidsのソースコード付き　 Research/pub.html GPU Gems 二次元のStable Fluidsの解説+GPU実装（38章）　　GPUを用いたボリュームレンダリングの解説（39章）

5.まとめ～参考文献～参考文献(Paper) 今回紹介した大本の論文 Stable Fluids, SIGGRAPH 1999
5.まとめ　～参考文献～参考文献(Paper) 今回紹介した大本の論文 Stable Fluids, SIGGRAPH 1999 よりDL可能煙関係 Visual Simulation of Smoke, SIGGRAPH 2001

5.まとめ～参考文献～参考文献(Paper) 水関係
5.まとめ　～参考文献～参考文献(Paper) 水関係 Animation and Rendering of Complex Water Surfaces, SIGGRAPH2002 Practical Animation of Liquids, SIGGRAPH 2001 炎関係 Physically Based Modeling and Animation of Fire, SIGGRAPH 2002

5.まとめ～参考文献～参考文献(書籍) Javaによる流体・熱流動の数値シミュレーション
5.まとめ　～参考文献～参考文献(書籍) Javaによる流体・熱流動の数値シミュレーション　峯村　吉泰/著　森北出版　ISBN ・基礎から実際のソースコードまで幅広く解説粒子法　　　越塚誠一/著　丸善 ISBN ・パーティクルベースの流体解析手法の解説

5.まとめ～参考文献～参考文献（Homepage） Ronald Fedkiw氏のHomepage Jos Stam氏のHomepage
5.まとめ　～参考文献～参考文献（Homepage） Ronald Fedkiw氏のHomepage Jos Stam氏のHomepage Tim Rowley氏のHomepage(論文リンク集)

5.まとめ　～終わり～ご清聴ありがとうございました

6.Appendix　～表1.微分のまとめ～・微分　微小区間における傾き・偏微分　各軸方向の微分

6.Appendix　～表1.微分のまとめ～・勾配　変化が最も大きい方向を示すベクトル

6.Appendix ～表1.微分のまとめ～微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー・発散正ならば、場が対象領域から外部に流出
　微小空間の流入・流出量の差を表すスカラー正ならば、場が対象領域から外部に流出負ならば、場が外部から対象領域に流入

6.Appendix ～表1.微分のまとめ～周りとの相対的な差を表すスカラー・ラプラシアン大きければマイナス小さければプラス
　周りとの相対的な差を表すスカラー　　自分が周りと比べて　　大きければマイナス　　自分が周りと比べて　　小さければプラス

6.Appendix ～表2.Navier Stokes～
非圧縮条件

6.Appendix ～表2.Stable Fluids～

6.Appendix　～記号表～表3-1　「Stable Fluidsの概念」までで使用する記号

6.Appendix　～記号表～表3-2　「step1:外力」で使用する記号

6.Appendix　～記号表～表3-3　「step2:移流」で使用する記号

6.Appendix　～記号表～表3-4　「step3:拡散」で使用する記号 x x

6.Appendix　～記号表～表3-5　「step4:圧力」で使用する記号

6.Appendix　～記号表～表4　「煙の濃度計算」で使用する記号

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