物質移流スキームにおいて 使用される 格子点データの内挿法

Presentation on theme: "物質移流スキームにおいて 使用される 格子点データの内挿法"— Presentation transcript:

1 物質移流スキームにおいて 使用される 格子点データの内挿法
惑星宇宙グループ 地球流体力学研究室 村橋 究理基

2 目次 目的 物質移流 大気大循環モデル 時間の離散化 空間の離散化 内挿法 まとめ・今後の目標 参考文献

3 1. 目的 目的 本発表の内容 惑星スケールにおける大気で起こる現象について調べるのに, 大気大循環モデルを用いて数値計算する方法がある.
惑星スケールにおける大気で起こる現象について調べるのに, 大気大循環モデルを用いて数値計算する方法がある. 大気大循環モデルの一つにDCPAMというものがあり, その中で 使われている物質移流スキームがどのように計算されている か, その原理を理解したい. 本発表の内容 物質移流スキームで使われているセミラグランジュ法につい て, Staniforth & Côté(1991) を元に理解する. セミラグランジュ法を用いるのに必要な内挿法についてどの ようなものがあるのか調べ, その仕組みについて理解する.

4 2. 物質移流 物質移流とは 大気や海洋などにおける流れによって運ばれる水蒸気などの物質 の移動のこと.
速度vで移動するある物質qの移流を生成・消滅項をSとして式で 表すと以下のようになる. ∂𝑞 𝑥 ,𝑡 ∂𝑡 + 𝑣 ⋅∇𝑞=𝑆 速度vが一定で生成・消滅項S=0, 初期条件q(x,0)=p(x)であるとき, 空間1次元で考えると解析的に解くことができる. ∂𝑞 ∂𝑡 +𝑣 ∂𝑞 ∂𝑥 =0 𝑞 𝑥,𝑡 =𝑝 𝑥−𝑣𝑡 解→ 一般的には解析的に解くことはできず, 数値計算で求めることにな る.

5 3. 大気大循環モデル 惑星スケールにおける大気循環をシミュレー ションする計算モデル.
現象を数式で表現し, 時間と空間に関する微分方 程式を計算機を用いて解くことによって数値計 算を行う そのため数式を計算機で解釈できるように変換 する必要が出てくる

6 4. 時間の離散化 離散化とは 数値計算を行うために連続した値を有限の点で表すこ と. 有限の点のことを格子点とよぶ. 時間の離散化
等間隔の点で領域[0, T]をtn (n=0,1,...,N)で表した例 𝑡 𝑛 =𝑛Δ𝑡 Δ𝑡= 𝑇 𝑁 𝑛=0,1,…𝑁 𝑡 0 𝑡 1 𝑡 2 𝑡 𝑛 𝑡 Δ𝑡 𝑡 𝑁 𝑇 時間の離散化 上図のように等間隔なΔtを用いて離散化する

7 5-1. 空間の離散化 オイラー法 オイラー法 空間に固定された点を通過する物理量や物質を 計算し, 現象の時間発展をみる方法
分割数が少ないと精度のよい結果が得られにく い ただし空間の分割幅を小さくすると, その分安 定した計算のために, 時間の分割幅も小さくす る必要がでてくる x0 x1 x2 x3 Δ𝑥 Δ𝑧 Δ𝑦

8 5-2. 空間の離散化 ラグランジュ法 ラグランジュ法
A1 A'1 A2 A'2 A3 A'3 ラグランジュ法 各流体粒子に着目してそれぞれが どのような動きをするのかを計算 することで現象の時間発展を見る 方法 オイラー法と異なり, 空間の刻み幅に時間の刻み幅が制限を受け ない 粒子の動きによっては流体の特徴が十分に表せない場合がある.

9 5-3. 空間の離散化 セミラグランジュ法 セミラグランジュ法
オイラー法のように空間に固定された格子点を考え, その 点にくる流体粒子をラグランジュ法のように追いかけるこ とで求めて現象の時間発展をみる方法 空間的に固定された格子点を考 えるため, 考える空間に偏りが 生じない. ラグランジュ的に粒子の動きを 追うことで安定性が高い計算が できる.

10 5-4. 空間の離散化 セミラグランジュ法 セミラグランジュ法 上記(3), (4)の手続きのために内挿法が必要となる
全ての格子点上での時刻t-Δt におけ る物質qと時刻 t, における速度がわ かっているとする 時刻 t+Δt に空間の格子点上にくる物 質qについて考える qが時刻 t-Δt に存在した位置を(1)の 情報を元に求める (3)で求めた位置を元に, その物質qを 求めて, 求めたい格子点上における物 質qを決定する 上記(3), (4)の手続きのために内挿法が必要となる

11 6-1. 内挿法 ある複数のデータからなるデータ列において, 各データ の間を埋めるデータを求める方法 例として以下のような方法がある
ある未知関数f(x)にしたがう複数個の値が存在し, その値から未知 関数f(x)を推定する方法 例として以下のような方法がある 線形内挿 ラグランジュ内挿 スプライン内挿 エルミート内挿 変則エルミート5次内挿 内挿多項式は次のように表される 𝑝 𝑁 𝑥 = 𝑗=0 𝑁 𝑎 𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+...+ 𝑎 𝑁 𝑥 𝑁

12 6-1. 内挿法 ある複数のデータからなるデータ列において, 各データ の間を埋めるデータを求める方法 例として以下のような方法がある
格子点(x0, x1, …, xN)における値yj=f(xj)がわかっている. この点を通る曲線をN次の多項式pN(x)を用いて表そうとする方法 ある座標Aについて求めたい場合, 得られた多項式pN(x)を用いて pN(A)を計算すればよい. 例として以下のような方法がある ラグランジュ内挿 スプライン内挿 エルミート内挿 変則エルミート5次内挿 N次の内挿多項式 𝑝 𝑁 𝑥 = 𝑗=0 𝑁 𝑎 𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥+...+ 𝑎 𝑁 𝑥 𝑁

13 6-2. 内挿法 線形内挿 y x x0 y0=f(x0) x1 y1=f(x1) 線形内挿 2点(x0, y0), (x1, y1)の間が直線的に変化 していると仮定して直線を用いて内装 する方法 𝑦= 𝑦 1 − 𝑦 0 𝑥 1 − 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 + 𝑦 0 これは次に説明するラグランジュ内挿におい てN=1としたときと同じものである

14 6-2. 内挿法 ラグランジュ内挿 ラグランジュ内挿 全ての点を通るpn(x)を求める方 法 満たす条件は以下 一般的な形 …(1)
𝑝 𝑛 𝑥 𝑗 =𝑓 𝑥 𝑗 𝑗=0,1,...,𝑛 一般的な形 𝑝 𝑛 𝑥 = 𝑗=0 𝑛 𝑙 𝑗 𝑥 𝑦 𝑗 𝑙 𝑗 𝑥 = 𝑥− 𝑥 0 𝑥− 𝑥 𝑥− 𝑥 𝑗−1 𝑥− 𝑥 𝑗 𝑥− 𝑥 𝑛 𝑥 𝑗 − 𝑥 0 𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑗−1 𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑗 𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑛 …(1)

15 6-3. 内挿法 エルミート内挿 エルミート内挿 全ての点を通り, それぞれの微 分値も一致するp2n+1(x)を求める 方法
満たす条件は以下 肩付( j )はj階微分を表す 𝑝 2n+1 𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑓 𝑗 𝑥 𝑗 𝑗=0,1,...,𝑛 一般的な形. lj(x)は(1)式である. 𝑝 2n+1 𝑥 = 𝑗=0 𝑛 { 𝑙 𝑗 𝑥 } 2 {1−2 𝑙 𝑗 ′ 𝑥 𝑗 𝑥− 𝑥 𝑗 } 𝑦 𝑗 + 𝑗=0 𝑛 { 𝑙 𝑗 𝑥 } 2 𝑥− 𝑥 𝑗 𝑦 ′ 𝑗

16 6-4. 内挿法 スプライン内挿 一般的な形 (3次)スプライン内挿
区間[xj, xj+1]を取り出し, それぞれの区間ごと に異なる補間多項式Sj(x)を定義する. Sj(x)とSj+1(x)が境界において1階及び2階微分 値が一致するようなSj(x)を用いて pn(x)|n=3を求める方法 満たす条件は以下 𝑆 𝑗 𝑥 𝑗 =𝑓 𝑥 𝑗 𝑆 𝑗 𝑥 𝑗+1 =𝑓 𝑥 𝑗+1 𝑆 ′ 𝑗 𝑥 𝑗+1 =𝑆 ′ 𝑗+1 𝑥 𝑗+1 𝑗=0,1,...,𝑛−1 𝑗=0,1,...,𝑛−2 𝑆′ ′ 𝑗 𝑥 𝑗+1 =𝑆′ ′ 𝑗+1 𝑥 𝑗+1 一般的な形 𝑝 𝑛 𝑥 = 𝑗=0 𝑛 𝑆 𝑗 𝑥

17 6-5. 内挿法 変則エルミート内挿 変則エルミート5次内挿
エルミート5次内挿では格子点における値と 1,2階微分値を用いて内挿多項式を求める 必要な微分値を減らすため, 変則エルミート5 次内挿では内挿したい点の周囲4点まで利用 して計算する 一般的なエルミート5次内挿 変則エルミート5次内挿 X印が内挿したい点. 下付き添字はその数で空 間微分の階数を示す. 必要な値の数は同じだが , 変則エルミート5次内挿は1階微分値までで解 くことができ, 一般的なものと比べて計算コス トが小さい.

18 7. まとめ・今後の目標 まとめ 数値的に移流方程式を解くのに安定性が高く, 空間的に偏り が少なく計算する方法としてオイラー法とラグランジュ法 を組み合わせたセミラグランジュ法という方法がある セミラグランジュ法には内挿計算が必要であり, 内挿法には 考え方によっていくつかの方法がある. 今後の目標 移流計算をセミラグランジュ法のもとに数値的に行うにあ たって, どのような内挿計算を用いれば計算精度や計算コス トがよくなるか注意して, 効率良く精度の高い数値シミュ レーションを行うことができるようにしたい.

19 8. 参考文献 [1] Hachisuka, T., 2006: Advection Equation Solver using Mapping Functions – Thesis for Bachelor of Engineering, The University of Tokyo, 45pp. [2] Kashimura, H., Enomoto, T., and Takahashi, Y., 2013: Non-negative filter using arcsine transformation for tracer advection with semi-Lagrangian scheme, SOLA.9, [3] Staniforth, A., and J. Côté, 1991: Semi- Lagrangian integration scheme for atmospheric models - A review, Mon. Wea. Rev. 119, [4] 高橋 芳幸, 竹広 真一, 石渡 正樹, 納多 哲史, 小 高 正嗣, 堀之内 武, 森川 靖大, 林 祥介, DCPAM 開 発グループ, 2011: 惑星大気モデル DCPAM, 地球流体 電脳倶楽部. [5] 高橋大輔, 1996:数値計算 理工系の基礎数学 8, 岩波書店, 194pp. [6] 安田仁彦, 2008:数値解析基礎, コロナ社, 197pp. [7] 矢部孝, 内海隆行, 尾形陽一, 2003: CIP 法 原子 から宇宙までを解くマルチスケール解法, 森北出 版, 222pp.